Кооперативни игри

Кооперативните игри са игри, които се наблюдава групово разпределение на силите по играчи.

Природа и структура на кооперативните игри с n играчи

В коалиционните игри е важно не само как коалицията от играчите ще получи сумарната си печалаба, но и как тя ще бъде разпределена (по отделно) между играчите (кооперативен доход). Нека J = {1,2,..., n} e множеството от всички играчи. Произволно наредено множество S J се нарича коалиция. Характеристичната функция на игра с n играчи се нарича реална функция V(S), определна на всички коалиции S J, ако за произволни непресичащи се коалиции S и T е в сила неравенството:

(1) V(S)+V(T) < или = V (S обединено с T),V(0) Числото V(S) е гарантирано математическо очакване на печалбата на играчите от коалицията S, действаща съвместно против обединените играчи от коалицията J \ S. Двойката: Г=(J,V), Където J=(1,2,...,n) – множеството на играчите, а V(S) (V(0)=0) – характическата функция, се нарича класическа кооперативна игра или само кооперативна игра с n играчи. С помоща на метода на математическата индукция от наравенството (1) се получава следното неравенство: (2) Където (i=1,2,….k) са непресичащи се коалиции. Следователно:

Като По нататък с x(S) ще се означава , а с H – всички дележи.

Доминиране

Методи за решаване на кооперативни игри

С – ядро – множеството от недоминеруеми дележи в кооперативната игра (J,V) се нарича нейно С – ядро.

Теорема: Необходимо и достатъчно условие дележът х да принадлежи на С – ядрото е : (9) V(S) x(S) за Дележът х принадлежи на С – ядрото тогава и само тогава, когато за всяка коалиция е в сила неравенството (10) x(S) V(J)-V(J \ S)

Вектор на Шепли

На всяка кооперативна игра и се поставя в съответствие вектора: (11) , Компонентите на който се интерпретират като печалби, получени от играчите в резултат на съглашение или решение на арбитър. Съображенията за справедлив дележ са вложени в следните аксиоми на Шепли.

Аксома №1 - Ефективност – ако произволна коалиция се изпълнява равенството:
Аксома №2 - Оптималност на Парето
Аксома №3 - Симетричност – ако П е пермутация на играчите, като V(S)=V(П(S)),то

Където П(i) e означен образът на i играч при пермутация П.

Аксома №4 - Агрегация – ако (J,V) и (J,U) са 2 произволни кооперативни игри, то

Теорема: Съществува единствена функция Ф, определена за всички игри (J,V) и удовлетворяващи аксиомите от 1 до 4. Компонентите на вектора Ф(V) се определят с формулите: (12) Следствие: За проста игра формулата на Вектора на Шепли приема вида: (13) Векторът на Шепли дава единствено решение и ако той принадлежи на С – ядрото, то дележът не е само справедлив но и устойчив.

n – ядро

Дележът е справедлив, ако х(S) „малко” се отличава от V(S) за произволна коалиция , при условие че V(S)>x(S) Величината (14) е(S, x)=V(S)- x(S) се нарича ексцес. Ексцесът може да се интерпретира като неудовлетвореност на играчите, влизащи в коалицията S, от дележа х. На всеки дележ х се съпоставя (m= ) – мерен вектор. Където е коалицията с най – голям ексцес, - коалицията със следващия по голимина ексцес и т.н, т.е:

Нека к е първият индекс на координатите на вектора е(х), която е различна от съответната компонента на вектора е(у),т.е:

Тогава:

Максималният елемент относно предпочитанието по ексцес се нарича n- ядро. Теорема : За всяка кооперативна игра съществува единствено n – ядро Първи етап: търси се min y, при (14) (15) Ако ( ) е множеството от коалициите, за които първите к от неравенствата (14) се явяват равенства при всички решения на задачите на линейното оптимиране, а стойността на минимума е , то се приминава към втори етап и т.н. Ако С – ядрото не е празно то съдържа n – ядро.

Вижте още

Източници

Steve Steinhilber, Strategic Alliances: Three Ways to Make Them Work (Memo to the Ceo)
James D. Bamford, Benjamin Gomes-Casseres and Michael S. Robinson, Mastering Alliance Strategy: A Comprehensive Guide to Design, Management, and Organization (Jossey-Bass Business & Management)
Edwin Richard Rigsbee, Developing Strategic Alliances (Crisp Professional Series)
Brian Tjemkes, Pepijn Vos and Koen Burgers, Strategic Alliance Management
Dumela, Strategic Alliance

Външни препратки