Кооперативни игри

1. Природа и структура на кооперативните игри с n играчи В коалиционните игри е важно не само как коалицията от играчите ще получи сумарната си печалаба, но и как тя ще бъде разпределена (по отделно) между играчите (кооперативен доход). Нека J = {1,2,..., n} e множеството от всички играчи. Произволно наредено множество S J се нарича коалиция. Характеристичната функция на игра с n играчи се нарича реална функция V(S), определна на всички коалиции S J, ако за произволни непресичащи се коалиции S и T е в сила неравенството: (1) Числото V(S) е гарантирано математическо очакване на печалбата на играчите от коалицията S, действаща съвместно против обединените играчи от коалицията J \ S. Двойката

                          Г=(J,V),

Където J=(1,2,...,n) – множеството на играчите, а V(S) (V(0)=0) – характическата функция, се нарича класическа кооперативна игра или само кооперативна игра с n играчи. С помоща на метода на математическата индукция от наравенството (1) се получава следното неравенство: (2) , Където (i=1,2,….k) са непресичащи се коалиции. Следователно:

        (3)                  р

Играта Г = (J,V) се нарича съществена, ако

(4)

В противен случай се нарича несъществена 2. Дележ – се нарича векторът , удовлетворяващ всловията:

        (5)                     всяко i   J
        (6)

Условие (5) се нарича условие за индивидуална рационалност, а условие (6) се нарича условие за колективна рационалност. От (5) и (6) условие следва, че необходимото и достатъчно условие векторът да бъде дележ и да е в сила равенството :

Като По нататък с x(S) ще се означава , а с H – всички дележи. Доминиране Дележът х доминира у по коалицията S(означава се ), ако:

             (7)                             
             (8)                             x(S)  V(S)

Условие (7) означава,че дележът х е по – добър от дележа у за всички членове на коалицията S, а условие (8) отразява реализуемост на дележа за коалицията S. Дележът х доминира дележа у ако съществува поне една коалиция S, за която:

Методи за решаване на кооперативни игри  С – ядро – множеството от недоминеруеми дележи в кооперативната игра (J,V) се нарича нейно С – ядро. Теорема: Необходимо и достатъчно условие дележът х да принадлежи на С – ядрото е : (9) V(S) x(S) за Дележът х принадлежи на С – ядрото тогава и само тогава, когато за всяка коалиция е в сила неравенството

          (10)           x(S)  V(J)-V(J \ S)

 Вектор на Шепли На всяка кооперативна игра и се поставя в съответствие вектора:

                   (11)            ,

Компонентите на който се интерпретират като печалби, получени от играчите в резултат на съглашение или решение на арбитър. Съображенията за справедлив дележ са вложени в следните аксиоми на Шепли. • Аксома №1 - Ефективност – ако произволна коалиция се изпълнява равенството:

• Аксома №2 - Оптималност на Парето

• Аксома №3 - Симетричност – ако П е пермутация на играчите, като V(S)=V(П(S)),то

                ,
          Където П(i) e означен образът на i играч при пермутация П.

• Аксома №4 - Агрегация – ако (J,V) и (J,U) са 2 произволни кооперативни игри, то

       Теорема: Съществува единствена функция Ф, определена за всички игри (J,V) и удовлетворяващи аксиомите от 1 до 4. Компонентите на вектора Ф(V) се определят с формулите:

(12)

Следствие: За проста игра формулата на Вектора на Шепли приема вида: (13) Векторът на Шепли дава единствено решение и ако той принадлежи на С – ядрото, то дележът не е само справедлив но и устойчив.  n – ядро Дележът е справедлив, ако х(S) „малко” се отличава от V(S) за произволна коалиция , при условие че V(S)>x(S) Величината (14) е(S, x)=V(S)- x(S) се нарича ексцес. Ексцесът може да се интерпретира като неудовлетвореност на играчите, влизащи в коалицията S, от дележа х. На всеки дележ х се съпоставя (m= ) – мерен вектор.

Където е коалицията с най – голям ексцес, - коалицията със следващия по голимина ексцес и т.н, т.е:

Нека к е първият индекс на координатите на вектора е(х), която е различна от съответната компонента на вектора е(у),т.е:

Тогава:

Максималният елемент относно предпочитанието по ексцес се нарича n- ядро. Теорема : За всяка кооперативна игра съществува единствено n – ядро Първи етап: търси се min y, при (14) (15) Ако ( ) е множеството от коалициите, за които първите к от неравенствата (14) се явяват равенства при всички решения на задачите на линейното оптимиране, а стойността на минимума е , то се приминава към втори етап и т.н. Ако С – ядрото не е празно то съдържа n – ядро.

Вижте още

Източници

Steve Steinhilber, Strategic Alliances: Three Ways to Make Them Work (Memo to the Ceo)
James D. Bamford, Benjamin Gomes-Casseres and Michael S. Robinson, Mastering Alliance Strategy: A Comprehensive Guide to Design, Management, and Organization (Jossey-Bass Business & Management)
Edwin Richard Rigsbee, Developing Strategic Alliances (Crisp Professional Series)
Brian Tjemkes, Pepijn Vos and Koen Burgers, Strategic Alliance Management
Dumela, Strategic Alliance

Външни препратки

Кооперативни игри

Вижте още

Източници

Външни препратки

Навигация

Търсене