Разлика между версии на „Функция“
| Ред 1: | Ред 1: | ||
Функция в [[математика]]та е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10. | Функция в [[математика]]та е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10. | ||
| − | + | ||
==[[Графика на функция]]== | ==[[Графика на функция]]== | ||
| − | + | [[ Image: function3.jpg |left |thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. | Графики на различни функции.]] | |
Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсциса]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията: | Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсциса]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията: | ||
y = ax + b (a, b – константи) е права линия. | y = ax + b (a, b – константи) е права линия. | ||
| Ред 65: | Ред 65: | ||
===Периодични функции=== | ===Периодични функции=== | ||
| − | + | [[ Image: function4.jpg | thumb | right | alt=Grafiki na funkciite y = log3 x и y = log1/3 . | Графики на функциите y = log3 x и y = log1/3 .]] | |
| + | [[ Image: function2.jpg | thumb | right | alt=Grafika na kvadratna funkciq. | Графика на квадратна функция.]] | ||
| + | [[ Image: function1.jpg | thumb | right | alt=Grafika na lineina funkciq.| Графика на линейна функция.]] | ||
| + | [[ Image: function5.jpg | thumb | right | alt=Trigonometrichni funkcii sinus, cosines, tanger, kotanges, sekans, kosekans . | | ||
| + | Тригонометрични функции: [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]], котангес, секанс, косеканс.]] | ||
Функцията f(x), наричаме периодична с [[период]] w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w). | Функцията f(x), наричаме периодична с [[период]] w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w). | ||
Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата: | Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата: | ||
| Ред 86: | Ред 90: | ||
Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната [[система]], а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy. | Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната [[система]], а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy. | ||
| − | |||
| − | |||
===Квадратна функция=== | ===Квадратна функция=== | ||
| Ред 93: | Ред 95: | ||
Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа. | Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа. | ||
Квадратната функция е цяла рационална функция. | Квадратната функция е цяла рационална функция. | ||
| − | |||
| − | |||
===Логаритмична функция=== | ===Логаритмична функция=== | ||
y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща. | y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща. | ||
| − | |||
===Тригонометрични функции=== | ===Тригонометрични функции=== | ||
y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π. | y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
===Растенe, намаляване на функция=== | ===Растенe, намаляване на функция=== | ||
Версия от 16:32, 27 май 2012
Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат реални числа, но също и елементи на всяко друго множество. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.
Графика на функция
Под графика на една функция f(x) се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за абсциса една допустима стойност х1 на аргумента, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията: y = ax + b (a, b – константи) е права линия.
Видове функции
Явни, неявни функции
Явна (експлицитна), когато се дефинира чрез равенство от вида: y = f(x), т.e. равенство, което е решено спрямо у. Например явни са следните функции: y = sinx, y = x - 3vx, y = lnx + 5 Aкo дефиниционното равенство на функцията у не е решено спрямо у , а именно y = f(x,у) = 0 то функцията е неявна (имплицитна). Например: 3у2 - 2x + x3 = 0 ; y4 - sinx = 0 са неявни. Една неявна функция може да се обърне в явна, когато можем да превърнем дефинационното равенство от нерешено спрямо у в решено спрямо у.
Прави и обратни функции
Ако приемем, че функцията f(x) е права, то за да получим обратната функция на f(x), постъпваме така: в равенството y = f(x), заменяме х с у и у с х и получаваме х = f(у), след това решаваме това равенство спрямо у: у = g(x). Така получената функция g(x) се нарича обратна на правата функция f(x), обаче може да се каже и обратното, т.е. че g(x) е права, а f(x) обратна функция. Например, ако ex е правата функция, то обратната й ще бъде ln x, защото имаме последователно у = ex; х = eу; ln eу = ln x или y ln e = ln x; т.е. у = ln x
Еднозначни и многозначни функции
Една функция f(x), наричаме еднозначна, когато на всяка допустима стойност на х отговаря една и само една реална стойност на у. Например функциите у = cos x, y = ln x, y = 5x2 - 3sin x са еднозначни. Ако на една допустима стойност на х отговарят две или повече реални стойности на една функция, то функцията е многозначна. Пример за многозначни функции: у2 = 5х4 + 2 (у2 - 6х4)(у2 - sin2x) = 0 Първото от тези равенства ни дефинира двузначна функция, второто четеризначна.
Ограничени, неограничени функции
Функциите на един аргумент (от друга гледна точка) се делят на ограничени и неограничен и в даден интервал (а, b). Функцията f(x), казваме че е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две числа А, В такива, че А ≤ f(x) ≤ В за всяко х ε( а, b). С други думи, функцията f(x) е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две успоредни на абсцисната ос прави у = А и у = В такива, че частта от графиката на f(x), лежаща над (или под) интервала (а, b), е заключена между тях. В противен случай, функцията f(x),се смята за неограничена в интервала (а, b). Така например следните функции са ограничени в посочените интервали: y = sin x в интервала (-∞, +∞) у = cos x (-∞, +∞) y = 5x2 +x (A, В), където А и В са две дадени реални числа (В > А) у = 5/х (1/2, 10) у = ln (1 + x) (0, B), където В > 0 Следните функции са неограничени: у = 5/х в интервала (0, 10) у = ln (1 + x) (-1, B), където В дадено число > -1 у = 2/(3 – х) (-∞, 3)
Четни, нечетни и функции
Функциите се делят още на четни, нечетни и функции, които са нито четни нито нечетни. Функцията f(x), дефинирана в интервала (-а, +а) където а е дадена положителна константа, се нарича четна, ако за всяко хот този интервал е в сила равенството: f(- x) = f(x) Така например функцията cos x е четна, защото е дефинирана в интервала (-∞, +∞) и за всяко х от този интервал е в сила равенството cos(-x) = cos x Eто още няколко примера за четни функции y = |х| с дефиниционен интервал (-∞, +∞) y = х2 + 3cos(x) където x ε (-∞, +∞) y = x.sin(x) където x ε (-∞, +∞) y = √(9 - x) където x ε (-3, +3) y = ln (a 4 - x 4 където x ε (-a, +a) където а е дадено положително число. Известни е, че графиката на една четна функция е симетрично разположена спрямо ординатната ос. Функцията f(x), която е дефинирана в интервала (-а, +а), където а(a > 0) е дадена константа, се нарича нечетна, когато за всяко х ε(-а, + а) е в сила равенството f(-x) = - f(x). Така например нечетни са следните функции: sin(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), x3, x.cos(x), 2x3 + cotg x Графиката на една нечетна функция е симетрично разположена спрямо началото О (0, 0) на координатната система.
Периодични функции
Функцията f(x), наричаме периодична с период w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w). Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата: sin (x + 2π) = sin x cos (x + 2π) = cos x Равенствата, показват, че tg x и cotg x са периодични с период π. tg (x + π) = tg x cotg (x + π) = cotg (x)
Прости и съставни функции
Функциите се разделят още на прости и съставни. Ако f(u) e проста функция на променливата u, a и u e функция на х, т.е. u = u(x), то тогава функцията у = f[u(x)] e сложна(съставна) функция на х (или функция от функция). За сложната функция у = f[u(x)], функцията u(x) се нарича неин междинен аргумент. Една съставна функция може да има не само един, а няколко междинни аргумента. Например: f1{u[v(x)]} За една функция у на х се казва, че е параметрично зададена ако е дефинирана с две равенства от вида: |х = f(t) |y = z(t) kъдето f и z са познати функции на една независима променлива t, която се нарича параметър и която се мени в даден интервал (а, b) Интервалът може да бъде затворен, отворен или полузатворен.
Линейна функция
Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната система, а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy.
Квадратна функция
Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа. Квадратната функция е цяла рационална функция.
Логаритмична функция
y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща.
Тригонометрични функции
y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π.
Растенe, намаляване на функция
Ако f(x) е една функция, дефинирана в D, то: f(x) е растяща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) < f(x2) f(x) е намаляваща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) > f(x2)
История на понятието
Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. Птолемей е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал тригонометрични функции. Идеята за понятието обаче започва да се оформя през 14 век. Самото понятие функция се използва за първи път от Готфрид Лайбниц около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат[диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията граница и производна. По-късно през 1755 г.Леонард Ойлер дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. Фурие започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез ред на Фурие. Дирихле за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.
Вижте още
- Производна
- Монотонност
- Хомогенност
- Непрекъсната функция
- Интеграл
- Логаритъм
- Четна функция
- Критична точка