Логистично диференциално уравнение
Логистичната функция е решението на простото от първи ред нелинейно диференциално уравнение.
Същност
Фракции {г} {} DT P (T) = P (у) (1-P (т))
където Р е променлива, по отношение на времето t и с граничното условие P (0) = 1 / 2. Това уравнение е непрекъснатата версия на логистичната карта.
Качественото поведение е лесно разбираемо в условията на фаза линия: производната е 0 при P = 0,1 и производната е положителна за P между 0 и 1, и отрицателни за P над 1 или по-малко от 0 (въпреки негативната популация която като цяло не съответства с физическия модел).
Така се получава едно нестабилно равновесие на 0 и стабилно равновесие на 1, и по този начин за всяка Р стойност по-голямаот 0 и по-малка от 1, P нараства до 1.
Човек може лесно да намери „символичното” решение на
P(t)=\frac{e^{t}}{e^{t}+e^{c}}
Изборът на постоянната интеграцията ec = 1 дава другите добре познати форми на определението на логистичната крива
P(t) = \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} \! = \frac{1}{1 + e^{-t}}
По голямо количество, както може да се види от аналитично решение, логистичната крива показва началото на показателния растеж на отрицателната стойност t, която е приблизителен резултат от намаляването на този растеж по наклон ¼ при t = 0, тогава приближаването y = 1 не съответства с разлагащата се прогресивна разлика.
Логистичната функция е обратна на естествената логит функция (на англ. logit) и може да се използва за превръщане на логаритъма от неравенство във вероятност; преобразуването от лог - вероятност съотношение на две алтернативи също е под формата на логистична крива.
Логистичната сигмоидна функция е свързана с хиперболичен тангенс
2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right)
Вижте още
Източници
- Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer (2003). Probabilistic Linguistics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press
- Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
- Kingsland, Sharon E. (1995). Modeling nature: episodes in the history of population ecology. Chicago: University of Chicago Press.
- Weisstein, Eric W., "Logistic Equation" from MathWorld.