Бейсова проверка на хипотези
В контекста на бейсовата статистика проверката на хипотези представлява вероятностно сравняване на равнопоставени алтернативи, поради което понятието за нулева хипотеза няма особеното значение, което му се придава в класическите изследвания.
Същност
В общия случай разглеждаме твърдения H0 и H1, които се отнасят до различни модели M0 и M1 за данните x. За модел Mi, i = 1,2, съответната функция на правдоподобие е fi(x|θi), а априорната плътност е fi(θi). Тук долните индекси i в правдоподобията и априорните плътности са използвани, за да отчетем възможността да се сравняват хипотези за различни механизми на генериране на данните, съответно с различни априорни очаквания. Това не изключва възможността да се разглеждат по-прости случаи, например когато параметрите θ0 и θ1, в съответствие с хипотези H0 и H1 се изменят в различни области на едно и също параметрично пространство. При условие, че е верен модел Mi, маргиналната плътност на данните (маргинална функция на правдоподобие) е
f(x|Mi) =∫Rθi (x|θi)fi(θi)dθi
Тогава множител на Бейс се дефинира като отношението между маргиналните функции на правдоподобие за двата модела:
B01(x)=f(x|M0) f(x|M1)
Интуитивно множител на Бейс, който е по-голям от 1, може да се интерпретира като индикация за по-голяма достоверност на модел M0 (или съответно H0) в сравнение с M1 (H1). При анализ в Бейсова схема може да има априорна информация и за достоверността на самите модели, която да се отчете при сравняването на хипотезите. Ако P(Mi) е априорната вероятност на модел Mi, то можем да изчислим апостериорната вероятност на на този модел при условие данните x с помощта на формулата на Бейс:
P(Mi|x)=P(Mi)f(x|Mi)∑1j=0P(Mj)f(x|Mj)
Тогава апостериорният шанс в полза на модел M0 сравнен с M1 се дефинира като отношението на апостериорните вероятности на двата модела:
K01(x) =P(M0|x)P(M1|x)P(M0) (M1)×f(x|M1)P(M0) (x).
Уравнение (22) показва защо B01(x) се нарича множител на Бейс: това е величината, с която умножаваме априорния шанс
Р(M0)/P(M1),
за да го коригираме с информацията от данните и да стигнем до апостериорния шанс. С други думи, множителят на Бейс показва дали наблюдаваните данни увеличават или намаляват достоверността на единия модел в сравнение с другия. Макар че горните разглеждания бяха дадени в термините на сравняване на модели, те се пренасят без изменения и за случая на сравняване на хипотези. Това означава, че ако сме изчислили апостериорния шанс K01(x) при сравняване на хипотеза H0 с H1, с негова помощ можем да определим коя хипотеза е по-вероятна. При отсъствието на априорна информация в полза на едната от двете хипотези, те могат да се разглеждат като равновероятни и съответно априорният шанс е единица. Тогава апостериорният шанс става равен на множителя на Бейс и B01(x) е достатъчен, за да се направи извод за сравняваните хипотези. Ако задачата е в явен вид да се приеме или отхвърли хипотезата H0 в сравнение с H1, използването само на апостериорния шанс е относително непрецизно средство за вземане на решение. В такива случаи се препоръчва да се работи от гледна точка на теорията за вземане на решения, като се запише в явен вид функция на загубите L(Hi,ˆHj), където Hi е истинското състояние, а ˆHj е приетата от изследователя хипотеза. След това можем да изчислим очакването на функцията на загубите при условие, че е взето решение ˆHj и да приемем онова ˆHj, за което съответната очаквана загуба е най-малка.
Вижте още
- Томас Бейс
- Вероятност
- Бейс формула
- Бейсова теорема
- Бейсови области на достоверност
- Бейсов анализ при повече от една извадка с данни
- Точкови оценки на параметри при бейсовия подход
Източници
- Бергер, Джеймс O (1985). Статистически решение Теория и Bayesian анализ. Springer серия по статистика (втори изд.).
- Бернардо Жозе М. ; Смит, Ейдриън Е. М. 1994 г. Bickel, Питър Дж. и Doksum, Kjell A. (2001 г.). Математическа статистика, том 1 Основни и избраните теми
- Дейвидсън, Доналд ; Suppes, Патрик ; Сийгъл, Сидни 1957). (вземане на решения: експериментално подход
- де Finetti, Бруно . "Probabilism: критично есе върху теория на вероятностите и върху стойността на науките" (превод от 1931 г. статия) в Erkenntnis, том 31 септември 1989 година.
- де Finetti, Бруно (1937) "La предвиждане: ЕЕН Лоис logiques, SES източници subjectives" Annales де l'Institut Анри Поанкаре,
- де Finetti, Бруно. "Форсайт: Logical си закони, му Субективните източници"
- де Finetti, Бруно от. теория на вероятностите,
- DeGroot, Морис (2004) Оптимално статистически решения. Wiley Classics Library.
- Сух, Йън (декември 1967 г.). "малко по-реалистична Лични вероятностите" .
- Сух, I (1988 г.) "малко по-реалистична Лични вероятностите". 1967 статия частично препечатани в: Gärdenfors, Петър и Салин, Нилс-Ерик. (1988 г.) решение, вероятностите, и полезни: Избрани четения.
- Хайек, А. и Хартман, С. (2010): "Бейс епистемологията", в:, Данси J., Соса, Д., Steup, М. (ред.) (2001) спътник на епистемологията, Уайли.
- Hald, Андерс (1998). История на Математическа статистика Хартман, С. и Sprenger, Дж. (2011 г.) "Бейс епистемологията", в: Bernecker, С. и Причард, Д. (ред.) (2011 г.) Routledge спътник на епистемологията.
- Хаусън, В. ; Urbach, П. (2005). научните аргументи на Бейс подход
- Jaynes ET (2003) Теория на вероятностите: Логиката на науката,
- Моргенщерн, Оскар (1978). "Някои Из Utility ". В Андрю Schotter. Избрани икономически писането на Оскар Моргенщерн. Пиърс, CS и Jastrow J. (1885). " На малките разлики в Sensation " Pfanzagl, J (1967 г.). "Субективните вероятности Въз основа на Моргенщерн-фон Нойман Utility Theory"
- Pfanzagl, в сътрудничество с Й. В. З. Бауман и Хубер (1968 г.). "Събитията, полезни и субективно на вероятностите". Теория на оценяване. Уайли
- Рамзи, Франк Plumpton (1931) "Истина и вероятностите" ( PDF ), глава VII в основите на математиката и други есета Логически,
- Stigler, Стивън М. (1990). "История на статистиката неопределеността на измерването преди 1900 година
- Stigler, Стивън М. (1999) Статистически данни за маса: "История на статистически понятия и методи