Корелация

От Администрация и управление
Направо към навигацията Направо към търсенето

Корелацията представлява отношение между членове, при което от единия логически следва другият. По време на растежа на индивида неговите ръст и тегло се увеличават едновременно. В училище силните ученици имат добър успех по всички предмети, а неинтелигентните изостават почти във всичко. В тези различни случаи се казва, че съществува положителна корелация между променливите елементи. В статистиката коефициент на корелация се нарича индексът, който изразява степента на свързаност на две определени променливи (например ръста и теглото на група индивиди). В зависимост от това, дали променливите се изменят в една и съща посока, в противоположна посока или независимо една от друга, коефициентът на корелация клони към +1, -1 или 0. Посредством изучаването на корелациите между различни тестове за интелигентност С. Е. Спиърман успява да открои общ фактор (фактор G), който може да бъде приравнен към общата интелигентност.

Същност

 

Статистиката изучава зависимостите, проявяващи се в масовите явления. При тях връзката между явлението “фактор” и явлението “резултат”  се съдържа във всеки отделен случай, но  може да бъде доловена само на базата на масово наблюдение. Единствено тогава се елиминира влиянието на случайните фактори и се проявява  закономерната връзка между изучаваните явления. Целта на голяма част от научните изследвания се състои в разкриване на факторите на спортното постижение, изграждане на модели за оптимизирането и прогнозирането му. За решаване на проблеми от подобен характер се използват статистическите методи за изследване на зависимости. Понятието зависимост  означава връзка между две или повече променливи величини. Когато зависимостта е изразена математически, тя се нарича функция. Най-общият аналитичен вид на една зависимост е: Y=f(X), където X и Y са метрично скалирани променливи:

Основните характеристики на зависимостите са  вид, форма и сила. Тъй като те са изучавани в бакалавърската степен, на фигурата е направено съвсем кратко тяхно описание.

 

A scheme of correlation.
Характеристики на зависимостите и мястото на корелационната зависимост сред тях.

Основни понятия

  • Форми на връзка:
    • Функционална
    • Корелационна – зависимата променлива не реагира винаги по еднакъв начин на промените в независимата. От този тип са връзките в биологията и медицината (живата природа). Корелационните връзки са в сила не за отделно взет случай, а за съвкупността като цяло.
  • Корелационен анализ - видове 
    • Единична  корелация – изследва зависимостта между една независима променлива (x) и една зависима променлива (y)
    • Частична корелация – изследва зависимостта между една независима променлива (x) и една зависима променлива (y), като се контролират останалите независими променливи.
    • Множествена корелация – изследва връзката между две и повече независими променливи и една зависима променлива.
  • Корелационна зависимост 
    • Права връзка  (+) с увеличаване на явлението причина се увеличава и явлението следствие
    • Обратна връзка (-) с увеличаване на явлението причина, явлението следствие намалява
  • Коефициент на корелация (r) - число, което дава представа за направлението и силата на връзката между явленията:
    • По величина този коефициент приема стойности от -1 до +1
    • При стойност 1 – корелационната връзка преминава във функционална
    • При стойност 0 – липсва връзка между изучаваните явления
  • Непараметрични  методи за изчисляване  на коефициента  на корелация 
  • Параметрични  методи за измерване  на корелационната  зависимост  
    • Коефициент  на корелация на  Пирсън –  Браве 
  • Анализ на диаграмата на разсейване на наблюдение – по-голяма яснота за посоката и формата на корелационната зависимост може да се постигне, ако събраните данни за X и Y се изобразят графично върху правоъгълна координатна система (XOY). За всяка двойка от коресподиращи си стойности (xi yj) т.е. за всяко съвместно наблюдение на фактора и следствието се маркира съответна точка. Диаграмата на разсейването съдържа толкова точки, колкото е броят на наблюдаваните двойки от стойности.
  • Проверка  на статистическата  значимост на коефициентите  на корелация Когато корелационният  кофициент е получен по данни  от репрезентативна извадка,той  в една или друга степен  е деформиран от влиянието  на репрезентативната грешка.Това  обуславя необходимостта от проверка  на значимостта на получените  коефициенти. В редица случаи е в сила правилото: Корелационният коефициент е значим, ако е 3 пъти по-голям от стандартната си грешка.
  • Оценка на коефициента  на корелация:
    • Репрезентативна  грешка
    • Съпоставка  на два коефициента на корелация
    • Необходим брой  случаи за оценка на коефициента  на корелация
  • Производни  коефициенти на  коефициента на  корелация 
    • Коефициент  на определението – показва какъв % от изменението в явлението следствие се дължи на промени в явлението причина - D=r2*100
    • Коефициент на акорелация – характеризира липсата на връзка между явленията - K=√1-r2
    • Коефициент на неопределението – показва какъв % от промените в явлението следствие не се дължат на промени в явлението причина - N=100.K2

Корелационен анализ

Признаците, описващи състоянието или поведението на човека в условията на спорта, са под въздействието на множество фактори. Като се изследва влиянието само на един или няколко от тях не е възможно да се предвиди точно състоянието на явлението “резултат”. Поради това зависимостите са непълни или корелационни. Основната задача на корелационния анализ е да опише количествено силата (теснотата) на корелационните зависимости. Статистическите показатели, които носят тази информация, се наричат коефициенти на корелация. Те заемат стойности от –1 до +1. Абсолютната стойност на коефициента носи информация за силата (степента) на зависимост между Х и Y, както е описано в таблицата

A table.
Таблица, за корелационните зависимости.

 

В случай че става дума за линейна зависимост, на интерпретация се подлага и знакът на коефициента на корелация – той носи информация за посоката на зависимостта:

 

При r  > 0 зависимостта е възходяща (еднопосочна) - на по-големи стойности на явлението “фактор” (Х) отговарят по-големи стойности на явлението “резултат” (Y).

A graphic of correlation.
Посока на зависимостта при r>0.

 

При r < 0 зависимостта е низходяща (разнопосочна) – нарастването на стойностите на Х води до намаляване на стойностите на Y.

 

A graphic of correlation.
Посока на зависимостта при r<0.

 

Логиката на корелационните коефициенти може да бъде пояснена и по друг начин. Значенията на зависимата променлива (Y) варират под влияние на различни фактори. Една част от тяхното разсейване се обяснява с влиянието на независимата променлива (Х), а останалата – с влиянието на други фактори. Колкото по-силна е зависимостта между променливите – толкова по-голяма част от дисперсията на стойностите на Y се дължи на влиянието на  Х, а съответно по-малка – на неизследваните фактори.

  • Коефициентът на детерминация (r2), който е равен на квадрата на коефициента на корелация, описва т. нар. обяснена дисперсия. Той показва каква част от вариацията на Y се дължи на различията в стойностите на Х, т.е. на влиянието на изучавания фактор. Ако се умножи по 100, изразява  силата на влияние на зависимата променлива в  проценти.
  • Коефициентът на неопределеност  (k2) описва влиянието на невключените в изследването фактори, на които се дължи т. нар. необяснена дисперсия. Стойността му се получава, като от общата дисперсия на променливата Y, изразена като единица (100%), се извади обяснената с помощта на коефициента на детерминация (r2). С други думи k2 = 1 - r2. Очевидно е, че колкото по-силна е зависимостта между променливите величини, толкова обяснената дисперсия е по-голяма, а необяснената – по-малка.

В зависимост от вида и формата на зависимостта, както и от начина на скалиране на променливите величини, в практиката се използват различни коефициенти на корелация. На фигурата е направен преглед на най-често използваните коефициенти.

 

a scheme of correlation coefficients.
Схема на корелационните коефициенти.


Коефициент на обикновена линейна корелация на Пирсън (r) - той се прилага се прилага в случай, че зависимостта е:

  • обикновена по вид, т.е. изследва се връзката между две променливи величини.
  • линейна по форма, т. е. предварителната проверка е доказала линейния характер на връзката между променливите.
  • признаците Х и Y са представени в пропорционална или интервална скала. 

Стойността на коефициента на  Пирсън (r) се изчислява по следната формула, където: Р – момент на произведенията; SX – стандартно отклонение на променливата Х; SY – стандартно отклонение на променливата Y

R.jpg


Моментът на произведенията (Р) се изчислява по формула, където: SХ – сумата на стойностите на Х; SY – сумата на стойностите на Y; SXY – сумата на произведенията на Х и Y:

P.jpg


Коефициент на рангова корелация на Спирман  (rS) - използването на този коефициент е коректно, когато:

  • двете променливи са рангово скалирани признаци.
  • едната променлива е рангова, а другата количествена. В такъв случай предварително е необходимо количествената променлива да бъде трансформирана в рангова скала. 

Коефициентът на рангова корелация на Спирмън има голямо приложение в спортните игри, тъй като там спортния резултат е рангово скалиран. Стойността  на коефициента се изчислява по формулата, където: d – разлика в ранговите номера по Х и Y; n – обем на извадката:

Rs.jpg


Статистическа  значимост на коефициентите на корелация - При статистически проучвания изследователят се интересува от проявлението на зависимостите между явленията. Информацията, с която разполага, обикновено се базира на данни от извадка, а това означава, че стойността на коефициента на корелация  може да бъде повлияна от случайни фактори. Поради това се налага проверка на хипотезата за статистическата значимост на корелационния коефициент. Нулевата хипотеза гласи, че зависимост между изучаваните явления обективно не съществува, т.е. r=0, следователно емпиричният коефициент може да се счита за случаен. В случай, че стойността на изчисления по данни от извадката коефициент на корелация е по-малък от критичната стойност, за вярна се приема нулевата хипотеза, която твърди, че няма зависимост между променливите величини.

 

Линейна корелация

Практиката показва, че типичното разпределение на дадена метрична величина X има следната характерна форма,прикоято се наблюдава ясно изразен център на разпределението (с единствена мода),както и две симетрично разположени опашки.

A graphic.
Ясно изразен център на разпределението.


В такъв случай се казва, че наблюдавана величина X е разпределена нормално или още, че X следва нормално разпределение (normal distribution). Ако въпросната величина наистина следва някакво нормално разпределение, то с увеличаване броя на наблюденията хистограмата се стреми да приеме своеобразно гранично положение, при което горните страни на нейните стълбове се превръщат постепенно в непрекъсната линия, както е показано на следващите две диаграми.
A diagram.
Нормално разпределение на величината „Х“.
A diagram.
Нормално разпределение на величината „Х“.


Въпросната непрекъсната линия представлява графиката на плътността (probability density function – pdf) за конкретното нормално разпределение. В общия случай плътността се задава от формулата:

Formula.png


където числата μ и σ > 0 са параметри на теоретичното нормално разпределение

N(μ,σ2 ). Посредством записа X ∈N(μ,σ2 ) указваме, че наблюдаваната величина

следва теоретично нормално разпределение с параметри μ и σ2 . Наличието на два параметъра показва, че всъщност разполагаме с цяла съвкупност от нормални разпределение. Параметърът μ се нарича теоретично средно на разпределението и на практика представлява стойността, около която се стабилизира емпиричното средно x при неограничено нарастване обема на извадката. Параметърът μ може да се интерпретира 2 като средната стойност на X , отнесено към цялата популация и по тази причина μ се нарича още средно за популацията. По аналогичен начин се разглежда и интерпретира параметърът σ – като теоретично (популационно) стандартно отклонение, съответно σ2 – като теоретична (популационна) дисперсия. Популационната дисперсия σ2 представлява стойността, около която се стабилизира емпиричната дисперсия s2 при неограничено нарастване обема на извадката. На следващата графика са показани различни форми на нормални разпределения.

A graphic.
Форми на нормални разпределения.


При статистическите анализи на една метрична променлива обикновено се

предполага, че тя се подчинява на някакво нормално разпределение. Нормалното

разпределение е оптимално по отношение на математическата структура, понеже се определя само от два параметъра – един за популационното средно и един за

популационната дисперсия. Всеки гъвкав модел от общ характер трябва да съдържа поне един параметър за определяне на централна тенденция и поне един параметър за изменчивост около въпросната централна тенденция. В този смисъл нормалното разпределение се явява максимално икономично, понеже съдържа точно два параметъра, които представят непосредствено централната тенденция и изменчивостта относно нея. В типичния случай са налице достатъчно основания да предполагаме, че метричните величини в психологията се подчиняват на нормално разпределение или поне не се отклоняват съществено от него. Сравнително точни критерии за въпросната нормалност ще бъдат приведени по-нататък. Благоприятен за този начин на мислене се явява фактът, че отклоненията от нормалното разпределение губят постепенно своето значение при нарастване обема на извадката. Прецизният анализ обаче изисква отчитането на това съображение. Строгите аргументи в полза на нормалността на дадена величина в типичния случай се базират на известната централна гранична теорема (central limit theorem) от теорията на вероятностите, която в свободен текст гласи, че ако дадена величина X със случаен характер може да се разглежда като сбор от достатъчно много (например повече от 30) други такива, то X се подчинява (приблизително) на нормално разпределение. Казаното дотук дава основание да говорим за основен статистически модел за една метрична величина X , който се състои в предположението, че X следва нормално разпределение с някакво популационно средно μ и някаква популационна дисперсия σ2 . За да бъде детерминиран този модел е необходимо да познаваме с известна точност стойностите на μ и σ2 . Информацията за тези параметри е скрита донякъде в стойностите от наблюденията, т.е. в резултатите от извадката. Може да се обоснове математически, че емпиричното средно от наблюденията x се явява напълно удовлетворителна оценка за популационното средно μ, а емпиричната дисперсия s2 се явява такава оценка за популационната дисперсияσ2

A table.
Таблица на означенията на понятията.


В този случай се казва, че статистиката x се явява точкова оценка за μ

(означава се още μˆ = x ). Аналогично статистиката s2 се явява точкова оценка за σ2 (σˆ 2 = s2 ) и s се явява точкова оценка за σ (σˆ = s). С нарастване обема на извадката n , точковите оценки, получени от емпиричните стойности стават все по близки до теоретични стойностите и по тази причина най- важната характеристика на дадена извадка е нейният обем. За примера с величината "адаптация към средата", разгледана в §2 имаме x =178.514 и s = 27.523 , което задава конкретна крива на плътност от вида:

F2.png


Като изчертаем графиката на тази плътност върху хистограмата (отчитайки

мащаба) се получава следната диаграма.

A diagram.
Хистограма на разпределение на челичината – адаптация към средата.


В този случай се наблюдава добро визуално съвпадение, което е белег за

валидност на предположението за нормално разпределение. Основните отклонения от нормалното разпределение се изразяват чрез термините на изквивяване (skewness) и ексцес (kurtosis), за които въз основа на данните от извадката се пресмятат коефициенти:

Sk.png


Стойност на коефициента skewness близка до нула показва, че разпределението е симетрично, а стойност на коефициента kurtosis близка до нулата показва, че центърът на разпределението е "полегат" по характерния за нормално разпределение начин. В този смисъл стойности близки до нула на тези два коефициента представляват белег за нормално разпределение. За примера имаме skewness = −0.460 и kurtosis = −0.104 . На практика винаги се налага да се примиряваме с известни отклонения от нормалното разпределение, за което вече споменахме че в определен контекст не представляват заплаха за качеството на статистическите анализи. Трудно може да се надяваме, че в една реална ситуация визуалното съвпадение между хистограмата и съответната нормална крива може да изглежда по-добре от това на диаграмата. Всички параметри на емпиричното разпределение имат своя теоретичен еквивалент и обратно. В определен смисъл основната задача на статистиката е да се оценят теоретичните параметри въз основа на емпиричните, т.е. да детерминираме теоретичния статистическия модел, който се отнася за популацията, според данните, които разполагаме от извадката. Тук на преден план излиза фактът, че статистическият модел има абстрактен математически характер, който модел се отнася към определяне на специфичните количествени закономерности в популацията. Тази математическа насоченост не може да бъде отхвърлена напълно, понеже математиката е онази наука, която се занимава систематично с изграждане на количествени модели. Освен това още веднъж се вижда ясно колко е важно извадката да бъде представителна (непреднамерена), понеже изводите направени върху преднамерена извадка не могат да бъдат отнесени строго към популацията. Поради изложените по-горе причини, средното и дисперсията се наричат основни статистически параметри и имат важно значение даже за величини, които не се подчиняват на нормално разпределение.


Примери

  1. Задача: Пример за корелация чрез данните в посочения файл:

Стартиране: Analize --> Corelate --> Bivariate...

Въвеждане на променливите в основния прозорец:

A screenshot of a table.
Корелация изчислена според коефициентите на Пирсън и Спирман.


Резултат:

  • Така определения анализ извежда следните резултати:
  • Таблица с корелационните коефициенти на Пирсън между избраните променливи и тяхната значимост;
  • Таблица с корелационните коефициенти на Спирман между избраните променливи и тяхната значимост;
  • Забележки за значимите коефициенти.
  1. Задача: Да се определят някои количествени характеристики на температурните промени и концентрацията на СО2 за изминалите 450 000 години, ползвайки графичните зависимости на рисунката. Да се опише климата за този период от време.
    • Екстремални стойности на температурните промени - резултати: Най-големи  са температурните промени преди 330 000 години-с 3о над средното ниво. Най-студено е било преди 140 000 години, когато средните температури на Земята са паднали с 9о под приетото нулево ниво.
    • Екстремални стойности на концентрацията на въглероден диоксид - резултати: Най-високите стойности за периода – 300,05 промила,  преди 330 000 години. Съвпадение с времето, когато и температурата е била най-висока! Най-ниски стойности –181,8 промила е бил СО2 преди 15 000 години т.е. в края на най-близкия до нас ледников период.
    • Концентрацията на въглеродния диоксид днес - резултат: Тя е около 280 промила и е само с около 20 промила по-ниска от най-високата за последните 450 000 години стойност!
    • Отстояние на екстремумите на температурните промени и концентрацията въглеродния диоксид  един от друг -' резултати:

        Максимумите на температурните промени на Земята и промяната на концентрацията на въглеродния диоксид в атмосферата в рамките на 100 000 годишните цикли са ясно очертани. При всички се забелязва ясно изпреварване на максимума на температурата спрямо максимума на концентрацията на СО2.

        Минимумите не са рязко очертани – те са широки. Тук се наблюдава интересно редуване на температурните промени и промените на концентрацията на въглеродния диоксид .

        

    • ИЗВОДИ:

         1.След края на ледниковите периоди в посочения интервал, температурата на Земята рязко се повишава, което предизвиква повишение концентрацията на въглеродния диоксид във въздуха.

         2. Температурата на Земята достига своя максимум около 60 години по-рано в сравнение с концентрацията на въглеродния диоксид т.е. повишението на температурата предизвиква повишение на концентрацията на въглеродния диоксид !

         3. Ние живеем в сравнително топъл период от климатичната история на Земята, който отстои от последния ледников период на Земята на 10-15 000 години.

         4. Концентрацията на въглеродния диоксид сега е по-ниска от най-високата стойност за последните 450 000 години само с 20 промила!


  1. Задача: Известно е, че ширината на годишните кръгове на дърветата непосредствено се влияе от количеството валежи и температурата. Те от своя страна са зависими от активността на Слънцето. Да се потърси връзката между числото на Волф и ширината на годишните кръгове на 51 годишно дърво за периода 1961-2008 г. вкл.
A picture of an old tree.
Разрез на буково дърво, отсечено през есента на 2008 г.


Годишните кръгове на първите 3 години са трудно различими, затова се ползват за измерванията останалите 48 годишни кръга. Резултатите от съпоставянето на ширината (L) с числото на Волф (W) са представени чрез графики, както и със съответния коефициент на корелация - r.

  • Графично представяне
A picture of a graphic.
Изменение числото на Волф (W) – розова линия и ширината на годишните кръгове (L) – синя линия, за периода 1961г. – 2008 г.


         Уточнение: Цифрите по абсцисната ос отговарят на годините от периода 1961 – 2008 г., както следва: 1 – 1961; 2 – 1962; 3 – 1963; .......... 47 – 2007; 48 – 2008 г.

  • Коефициент на корелация: r=0.39 Определихме коефициента на корелация между редовете на числото на Волф и ширината на годишните кръгове на дървото за периода 1961-2008г,

        Интерпретация:

        r до 0,2 – много слаба

        r до 0,5 – слаба

        r до 0,7 – средна

        r до 0,9 – висока

        r над 0,9- много висока       

r=1 –права функционална зависимост

  • Сравнение със резултатите получени от астронома А.Дъглас публикувани от Ал. Чижевски в книгата „Земното ехо на слънчевите бури”.
A picture of a graphic.
Изменение ширината на годишните кръгове на дърво в Еберсвалд (Германия) – черна пунктирна линия, и числото на Волф- червена линия за периода от 1830 г. до 1910 г. (по Дъглас).
  • Изводи:

1.Ширината на годишните кръгове на дърветата следва 11 годишния цикъл на петнообразувателна активност на Слънцето (Рис.11), като за изследвания период корелацията е слаба (r=0,39).

         2.Получените от нас резултати потвърждават резултатите получени от астронома А.Дъглас за периода 1830-1910 г (Рис.12)

        3.Необичайното рязко повишение на слънчевата активност на клона на спад на 23-я слънчев цикъл, косвено е допринесло и за необичайно широките тогава годишни кръгове на дърветата.

         4.Причините, които водят до промените на климата са естествени.

Вижте още

Източници

  • Riccardo Rebonato - Volatility and Correlation
  • A. D. McNaught and A. Wilkinson - Compendium of Chemical Terminology, 2nd ed. (the "Gold Book"); Blackwell Scientific Publications, Oxford (1997)
  • Peter Y Chen (Colorado State University) and Paula M Popovich (Ohio University) - Correlation Parametric and Nonparametric Measures; 104 pages SAGE Publications, Inc © 2002
  • Philip Bobko - Correlation And Regression: Applications For Industrial Organizational Psychology And Management (Hardcover)
  • B.V.K. Vijaya Kumar, (Carnegie Mellon University); and Abhijit Mahalanobis, (Lockheed Martin);and Richard Juday - Correlation Pattern Recognition

Външни препратки

Взето от „https://wiki.basaga.org/index.php?title=Корелация&oldid=37“.