Дисперсия

Дисперсията е параметър на емпиричните и теоретичните разпределения. Отбелязвана в българската литература с D[X], а в чуждестранната с var X, дисперсията e мярка, изразяваща разсейването на дадена случайна величина от математическото очакване на същата. В статистиката дисперсията се отбелязва най-вече със символа сигма на квадрат.

Означение.

Означение2.

Мерната единица за дисперсия е квадратът от единицата, в която се измерва случайната величина, а също така и стандартното (средноквадратно) отклонение.

Например дисперсията в статистически ред от разстояния в метри би била в метри на квадрат, на количества в килограми – килограми на квадрат, на доходи в лева – лева на квадрат. Като за да се избегне усложняване в мерните единици, често се извлича квадратен корен от дисперсията , с което се възстановяват първоначалните мерни единици. По този начин се получава стандартното отклонение.

Величината на дисперсията се получава, като първо се пресметнат отклоненията на отделните случаи от средната аритметична и по този начин се образува производен статистически ред.

Сборът на тези отклонения трябва да бъде равен на нула.

Дисперсията е винаги положителна величина според своето построение и може да бъде равна на 0 единствено, ако всички случаи в изходния статистически ред са еднакви (няма никаква вариaция). Разбира се, колкото по-голямо е многообразието и различието в статистическите редове, толкова по-висока е величината на дисперсията.

Благодарение на математическите си свойства дисперсията се намира в основата на много статистически методи. Свойствата й са:

Дисперсията на постоянното число А е равна на 0.

Дисперсията на произведенията на постоянното число А и значенията на признака x1, x2, …, xn е равна на произведението от дисперсията по признака и квадрата на числото А.

Ако към значенията на признака x1, x2, …, xn се прибави или извади постоянно число А, дисперсията на се променя.

Дисперсията е равна на разликата между средния квадрат на осредняваните величини и квадрата на средната аритметична.

Това е формулата за изчисляване на дисперсията, която се използва в статистическите програмни продукти.

Ако статистическата съвкупност е разделена на групи (подсъвкупности), общата й дисперсия се получава като сбор от две дисперсии. Първата се нарича вътрешногрупова и е дисперсия около груповите средни. Втората се нарича междугрупова и е дисперсията на груповите средни около общата средна.

Това е свойството за събиране на дисперсии и е в основата на дисперсионния анализ.

Дисперсията може да се отнася за:

Генерална съвкупност

При претеглени величини

При непретеглени величини

Извадки

При непретеглени величини

При претеглени величини

Приложение на дисперсията се среща най-вече във финансовите анализи за оценка на риска, като при по-голямо разсейване има по-голям риск и обратно, при по-малко разсейване – по-малък риск.