Едноиндексен модел
Едноиндексен модел е модел на възвръщаемостите на акциите, при който влиянията върху възвръщаемостите се декомпозират (разлагат) на систематичен (измерван от възвръщаемостта на общ пазарен индекс) и на специфични за фирмата фактори.
Същност
През 1960г. Уилям Шарп се занимава с оценката на капиталови активи и модерната теория на портфейл. През 1961г. Тoй разработва нов модел за оценка, който допуска, че рискът на един инвестиционен инструмент може да бъде дихотомизиран в 2 части:
- Част, свързана с корелацията с други инструменти
- Част, свързана с напълно уникални за дадения инструмент фактори
Той нарича това „диагонален модел“. По-късно добива популярност под името „едноиндексен модел“.
Приема се, че доходността зависи по-силно или по-слабо от стойностите на един или повече индекси. Тогава зависимостите между характеристиките на ценните книги се изразяват чрез тези индекси. Относително прости, но практически приложими модели използват различни индекси, които отразяват нивата на:
- Брутния вътрешен продукт
- Индекс Дау Джоунс за цените на 30 индустриални компании
- NASDAQ индекс за състоянието на 500 компании
- Индексът на стокова борса в New York .
Текущата стойност на индекса ('I') се предполага за неизвестен. За целите на прогнозата се прилагат две оценки:
ЕI – средна стойност на I
rI – рискът, свързан с I , т.естандартното отклонение на 'I'. Следователно нормата на възвращаемостта на ценните книги се приема да зависи от индекса или
Ri =ai +bi I +Ci ,
Където:
Ri - текущия доход от актив 'i'
ai,bi - константи
I – текуща стойност на индекса
Ci – неизвестна променлива.
Нито I нито Ciможе да се предскажат със сигурност. Средната стойност и стандартното отклонение служат за оценка на прогнозната доходност. Приема се, че средната стойност на променливата Ci е нула, Ci=0, така че само рискът на Ci се прогнозира и се определя стандартното отклонение, rciна Ci. Разглеждат се следните случаи:
Приема се, че Сi отразява грешката в прогнозите,
Където:
е oценката на Ri
Текущата стойност на Ci е разликата между реалната стойност Ri и най-добрата оценка получена с индекса I.
На фиг.7.1 е показана зависимостта
дава най-добрата оценка на Ri при зададено I. Стойността на rci показва рискът, свързан с ценните книги, дължащ се на непредсказуемостта на стойността на индекса. Средната стойност на дохода е стойността, определена от линейната зависимост
когато индексът I има своята средна стойност EI . Очевидно Ei ще стане известно ако ai bi Eiса известни. Алтернативноaiможе да се определи ако другите величини Ei, bi, EI са известни. Oбикновено е по-важно да се знае Ei, отколкото ai. Следователно пълното и полезното описание на свойствата на ценните книги ще включва:
- Ei - средната стойност на доходността на ценна книга i
- bi - чуствителността на доходността към промяната на индекса I
- rci - рискът свързан с индекса.
Други величини не са необходими. Приети са следните ограничения.
- счита се, че стойността на I не изменя стойността на rci
- корелацията между I и Ci е нула
- нормите на възвращаемост на два актива помежду си са зависими само от стойността на индекса I
- корелацията между Ci и Cj за два различни актива е равна на нула.
Както обикновено, средната стойност на доходността на портфейл е равна на относителната сума от отделните доходности:
Разбира се реалната доходност на портфейла е също такава сума
Тъй като е прието при едноиндексните модели линейна зависимост между реалната доходност Ri и стойността на индекса I
,то
или
За определяне на стандартното отклонение на Rp се вземат компонентите, които са вероятносни, т.е. само I и Ci . Тъй като коефициентите ai, i=1,N са детерминирани те не влияят на стандартното отклонение. След пренареждане изразът за доходността на портфейла е:
Изразът в скобите става известен, когато портфейла е определен и величините xi са избрани. Тази зависимост показва промяната на доходността на портфейла Rp спрямо промените на индексът I.
Полага се
Следователно вероятносните компоненти в Rpса:
За да се намери дисперсията на доходността Rp на портфейла трябва трябва да се сумират отделните дисперсии плюс два пъти влиянието на корелационните зависимости умножени по съответните двойки стандартни отклонения. За този oпростен модел се приема, че:
което означава, че няма корелационни зависимости между отделните активи. Следователно
Интерпретацията на този израз е следната. Последните N компоненти представляват характеристиките на N-те ценни книги (активи). Първят компонент:
отразява риска поради зависимостта на активите от индекса I. Този подход се използва за опростяване на задачата за намиране на ефективните потфейли. Приема се, че изразът:
e една променлива добавена допълнително. Съответно в изразът за дисперсията:
има само N+1 компоненти, което е по малко от класическото изчисление на риска. Това може да позволи значително намаляване на изчисленията при анализиране на портфейла.
Вижте още
Източници
- Hua Liang, Related Topics in Partially Linear Models: Semi-parametric Regression, Measurement Errors,Missing Data, Single-index Models, Regression Calibration
- Hidehiko Ichimura, Semiparametric least squares (SLS) and weighted SLS estimation of single-index models (Discussion paper series ; discussion paper)
- Calum Greig, An application of the single index model to regional and farm level risk analysis
- Rebecca Suzanne Patterson, Testing the effects of predictors using data generated by non-identity link functions of the single-index model: A Monte Carlo approach.
- Joel Horowitz, Direct semiparametric estimation of single-index models with discrete covariates (Working paper series)