Триъгълник на Сиерпински

Триъгълникът на Паскал е едно забележително творение. На пръв поглед то е изключително просто. Ето как изглежда:

			    1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

   1       6       15      20      15      6       1

1 7 21 35 35 21 7 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Числата на всеки ред са образувани като сбор от тези от предишния ред:

			    1

/ \ 1 1 / \ / \ 1 2 1

                 /   \   /   \   /   \

1 3 3 1

                ...  ...  ...  ...  ... 

„Е, какво пък е толкова специалното“ ще се попитат повечето хора, които не са го срещали. Ами нека първо разгледаме сбора на числата по хоризонтала на всеки ред:

ред 0: 1 = 2^0

ред 1: 2 = 2^1
ред 2: 4 = 2^2
ред 3: 8 = 2^3
ред 4: 16 = 2^4
ред 5: 32 = 2^5
ред 6: 64 = 2^6
ред 7: 128 = 2^7

Интересно – оказаха се степени на двойката! Нека сега разгледаме диагоналите:

			    1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

   1       6       15      20      15      6       1

1 7 21 35 35 21 7 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Пъвият диагонал е с удебелени числа. Това е лявата страна на триъгълинка на Паскал. При този диагонал е ясно – редицата от числа е само от единици.

Вторият диагонал (в курсив) са числата 1, 2, 3, 4, 5, 6… Всяко следващо се увеличава с единица.

Третият диагонал (подчертан) е редицата 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Това се нарича „триъгълна редица“. Ето защо – от тази редица могат да се формират равностранни триъгълници чрез точки:

 1	3	6	10	...

. 	.	.	.
      . .     . .     . .	...

. . . . . . . . . .

Четвъртият диагонал, маркиран в червено, са числата 1, 4, 10, 20, 35, … Нарича се „тетраедърна редица“. От предишния пример с триъгълната редица – представете си, че преминете в тримерното пространство. Там вече ще се строят правилни триъгълни пирамиди. Ами съставете си такива от точки – ще видите, че ще ви трябват именно посочените количества точки в зависимост от големината, която сте избрали.

Ако си представим първи диагонал като „нула мерно пространство“ (т.е. точка), втори диагонал като „едномерно пространство“ (права), трети диагонал като „двумерно пространство“ (равнина) и четвърти диагонал като „тримерно пространство“ (познато на „геймърите“ като 3D) – навързахте ли нещата? Можем ли да твърдим, че петият диагонал е симетрична фигура с триъгълни стени в четиримерното пространство?

Нека обаче не спираме дотук. Нека оцветим нечетните числа в черно, а четните в синьо: