Метод Монте Карло

Методът Монте Карло е метод за разглеждане поведението на система, на която всеки етап от промените се моделира по известен закон с помощта на някакъв източник на случайни числа. Според тази предпоставка се определят съществените белези на метода, неговото приложение и прогнозиране на рисковете, както и взаимодействието му с останалите техниики и закони в процеса на работа.

История

Смята се че методите за статистически изследвания - метода на изчислителни и приложна математика, въз основа на симулацията на случайни величини и изграждане на статистически оценки за неизвестните величини, са същите като медота Монте Карло. През 1930 година Енрико Ферми използва методът „Монте Карло” за изследване на неутронния поток. По-късно той разработва механично устройство, което се използва при изчисленията по ядрена физика. В момента връзката на подобни методи и началото на ерата на компютъните технологии дават възможност за извършване на редица компютърни експерименти, включително и тези които водят до получаването на случайни числа.

За основатели на метода „Монте Карло” се считат амрекинаските математици Стенли Уламовите, Джон фон Нойман и Никола „Метрополис”. През четиридесетте години на ХХ век, Джон фон Нойман полага основите на метода - създаването на математическата основа на функциите, вероятността плътност, интегрирани функции, обратност на разпределение и генератори на случайни числа. Проучванията показват, че в тясно сътрудничество със Стенли Уламовите, той е първия който реализира идеята за необходимостта от компютър, за да се изпълняват изчисленията на метод Монте Карло много по-лесно.

Произходът на името на метода е свързан с град в Княжество Монако, където се намира и едно от най-известните казина в света – факт е, че случайните числа са в основата на „Монте Карло”, а рулетката е едно от най-лесните устройства за генериране на случайни числа.

Друг интересен факт е свързан с това, че някои случайни методи за изчисление и експерименти, са проектирани и изпълнени и в праисторическата ера на компютърните технологии. " Основната разлика на „Монте Карло” с по-ранни изследвания в областта на статистическо моделиране е:Симулацията „Монте Карло” се е превърнала в стандарт за това това как да решим проблема с помощта на инструментите от теорията на вероятностите и математическата статистика. Което значи че това е предпоставка за необходимостта да се за занимаваме с детерминацията на проблема, след което да използваме симулацията, за да проверим изчисленията, направени по-рано.

Предимства и недостатъци

За провеждане на симулация със стохастични модели най-често се използва методът „Монте Карло”. Това е универсален метод за симулация, който намира приложение в различни области на научните изследвания и в практиката

Обобщената дефиниция на симулацията включва:

Разработване (конструиране) на модел на една система – обикновено математически и логически по природа; системата може да бъде действителна или теоретична (виртуална);

Описване на реалната система с термини, приемливи за компютърните системи;

Използване (обикновено) компютър за да се изпълни симулация;

Имитира се действието на реалната система/процес;

Симулацията е експериментиране;

Целта на системата е да намерим нещо, отнасящо се до реалната система.

За да се реши проблема чрез метода, първо се изгражда възможен модел, който представлява желана стойност като многомерно неразделно под формата на очакването ( с други думи това е случаен процес, който след това се симулира на компютър ). Естествено съществуват и трудности по пътя към прилагането на метода. Но не е необходима тяхната дефиниция, а по скоро надеждната оценка на неизвестните величини. Постигането на това не е толкова лесно колкото изглежда и голяма роля играе изграждането на вероятностен модел.

Друг важен компонент това е симулацията на случайни величини с дадена дистрибуция. Обикновенно такива модели се осъществяват чрез конвертиране на една или повече независими стойности на случйни числа и равномерното им разпределние в интервала. Последователността на случйните стойности обикновено се извършва от компютър, като се използват теоритичните алгоритми, сред които най-често се използва „Методът на остатъците”. Тези числа се наричат „псевдо” и се проверяват от статистически тестове. От тук идва и основната роля на качественото генериране на случайни числа.

Основната причина, поради която използваме метода „Монте Карло” е защото чрез него много по-бързо можем да получим отговор на даден въпрос, за който по принцип е необходимо доста време, за да бъде разрешен. Например метода „Монте Карло” много добре пасва за намирането на някои много сложни интеграли, което е задача с която други методи не биха били толкова полезни. Друго предимиство на метода е лесното симулиране на сложни физически системи в областта на физиката, инженерството и химията.

Естествено методът си има и своите недостатъци. Все още не е общоприето дали „Монте Карло” може да се използва за симулиране на системи, които не са в равновесие (т.е. преходно състояние). Друг недостатък е, че за да се използва „Монте Карло” симулация трябва да се генерират голям брои проби, а това може да отнеме доста време до постигане на желаните резултати, понеже не може да се генерира само един образец и веднага да се използва в симулация, а е необходимо да се направят много проби и да се получи средната им стойност.

Резултатите от „Монте Карло” симулацията са само приблизителни на действителната стойност и съвсем не са толкова точни.

Приложение

Методът Монте Карло не се използва за определяне на двумерни площи. За това се прилагат по-точни методи. Но при определяне на площи и обеми на тела в многомерното пространство Монте Карло методът се оказва единствената възможност да се реши задачата.

Модел на Метода Монте Карло.

Монте Карло Методът има две важни особености:

Проста структура на изчислителния алгоритъм;
Грешката при изчисленията се отбелязва с формулата, където D=cost, a N – броят на изпитанията.

От тук се вижда, че за да се намали грешката с един порядък (10 пъти) трябва да се увеличи броят на опитите N – 100 пъти. Методът Монте Карло позволява да се моделира произволен процес на чието протичане влияят случайни фактори. За много задачи несвързани със случайни фактори може изкуствено да се въведат вероятностни модели, както беше направено в примера с площите. Поради това за методът Монте Карло може да се говори като за универсален метод за решаване на задачи. Методът е много подходящ при оценката и прогнозиране на рискове за безопасност и при оценка на надеждността на сложни системи. Решаването на задачи от този тип е свързано с отчитане на множество случайни фактори. Ако анализираме основната формула за изчисляване на риска R.

R =P.T

където:

P е вероятността да се случи инцидент;

Т е тежестта на последиците от инцидента.

Следва да отбележим, че и последиците от инцидентите, както и тяхната тежест, също са с вероятностен характер. Вероятността P да се случи инцидент на практика винаги е сложна вероятност, която описва възможността да се реализира каскада от събития.

Метода Монте Карло е изключително полезен при проектиране на предприятия, технологии, планиране на промени организация. Вместо скъпо струващи експерименти в натура може да се експериментира на компютър различни варианти на организационната работа и използване на оборудването. В редица случаи компютърното моделиране е единствения начин да се получат сведения за поведението на проектираната система. Разбира се, разчетите не идват даром. Няма универсално решение, което да се избере от менюто на “магически” софтуер, което да върне резултата веднага след като попълниш своето задание. Трябва да се създаде добър модел на изследваната система, за да се получат резултати с практическа ценност. Необходимо е да се изследват щателно действителните потоци от заявки, да се проведат хронометражни измервания за работата на отделните възли и т.н. Когато системата е в проектна фаза и все още не съществува в действителност се използват проектните параметри и технологичните граници. Въобще, следва да се знаят вероятностните закони на функциониране на отделните части на системата, с което се моделира начина, по който работата им се колебае около проектните стойности. Тогава методът Монте Карло позволява да се изчислят вероятностните закони на работата на цялата система, отчитайки взаимосвързаността между отделните и части, колкото и сложна да е тя. По такъв начин се решават задачи за разчет на надеждност на изделие, агрегат, система, състояща се от множество елементи. Задачи за ефективната поддръжка и др.

Ето още един пример за полезността на метода Монте Карло при една на пръв поглед проста задача за определяне на качеството и надеждността на изделие състоящо се от даден брой елементи.

Методът „Монте Карло” и съвременните технологии

Изводите от направения литературен преглед относно възможностите на компютърното симулиране са следните:

Компютърните симулационни модели:

Позволяват да се извлекат изводи за нова система без да се налага да се построи реално, или да се направят промени в съществуваща без да се разстройва работата й;
Позволяват на ръководителя да визуализира операциите на нова или съществуваща система при различни условия;
Позволяват да се види начина, по който различни компоненти си взаимодействат и как това влияе върху общата системна производителност;
Позволяват общо вникване в същността на процеса;
Позволяват разпознаване на специфични проблеми и проблемни области в изследваната система;
Подпомагат разработването на специфични политики и планове за процеси;
Подобряват системната ефективност.

Компютърните симулационни модели не могат:

Да оптимизират ... те могат само да генерират резултати от “КАКВО-АКО” запитвания;
Да получат коректни резултати от неточни данни;
Да опишат системни характеристики, които не са били заложени в модела;
Да решават проблеми ... те могат само да предоставят информация, която подпомага процеса на изработване на решение;
Да дават лесни отговори на комплексни проблеми.

Вижте още

Източници

B. Kaye, Chaos & Comlexity, VCH, Weinheim, New York 1993
И .М. Соболь, Метод Монте Карло. Популярньiе лекции по математике вьiпуск 46, Москва “Наука”, Главная редакция физико-математической лератуьi, 1978.
С.М. Ермаков, Г.А.Михайлов, Курс статистического моделирования, Москва, “Наука”, 1976.
С. М. Ермаков, Метод Монте Карло и смежньiе вопросьi, Москва, “Наука” 1971.
Н. П. Бусленко и др. (по редакцией Ю. А. Шрейдера), Метод статистических изпитаний (метод Монте Карло), СМБ, Москва, Физматгиз, 1962.
D. D. McCracken, “The Monte Carlo Method”, Scientific American, May 1955, pp. 162-165, reprinted in Computers and Computations, W. H. Freeman, San Farncisco 1971.
G. Gamow, “One, Two, Three … Infinity, Viking Press, New York, 1974.
Sturgul J.R. Mine Design - Examples Using Simulation, SME Inc., 2000
Russell A.C. Sizing Up Simulation, Jurnal of Mining Engineering, No:26, August 2001.
Smith R.D. Enciclopedia Article. Simulation Article, 4th Edition, N.Y. July 2000
MINExpo 2000 – Web Site.
Стефанов Т.П., В.Т. Томов, И.С. Велчев. Анализ Вениляционньiх систем с помощью ЭБМ 16. Международная конференция НИИ по безопасности в горной промишлености, Вашингтон, США, 1975.
Власева Е., Т. Стефанов. Изграждане на умение за анализ на поведението на рудничната вентилационна система чрез компютърно симулиране. Научно-техническа конференция по охрана на труда в подземните и откритите рудници и кариерите, Варна, 8-11 юни, 1998.
Elena Vlaseva. Control volumes technique applied to gas dynamical problems in underground mines. Proceeding of Finite Volumes for Complex Applications II. Hermes Science Publications, Paris, 1999

Външни препратки