Действия с вероятности

Могат да се дефинират няколко групи действия с вероятности.

Събиране на вероятности (вероятност на сума от събития)

Събиране на вероятности се извършва като се има предвид дали събитията са съвместими или не са.

При несъвместими събития

Нека събитията A1, А2, ... , Ak са несъвместими помежду си. Сумата на вероятностите на тези събития представлява вероятността за поява на кое да е от тях, която се означава Р(А1 или А2 или ... или Ak). Тя се определя като

При съвместими събития

Ако две събития, събитие А и събитие В, са съвместими, което означава, че тяхното произведение не е празно множество, вероятността за поява на което и да е от тях е равна на сумата от техните вероятности минус вероятността за съвместното им появяване, т.е.

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) (4.2.)

За три произволни съвместими събития А, В и С вероятността за сумата на тези събития се определя като

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Условна вероятност

В определени случаи появата на дадено събитие зависи от това дали друго събитие, с което то е в определена вероятностна връзка, сее осъществило. Появата на второто събитие изменя условията и съответно вероятността за поява на разглежданото събитие. В общия случай нека е дадено вероятностното пространство (, F, Р) и А и В са произволни събития, като вероятността за поява на събитие В е положителна величина, т. е. Р(В)>О. Условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В, се означава обикновено с P(A/В). Тя се определя като отношение на произведението (сечението) на двете събития към вероятността за настъпване на събитие В

По подобен начин се определя условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А

Събитията А и В са независими тогава, когато P(AB) = P(A)P(B). Това означава, че P(A/B) = P(A) и P(B/А) = P(B).

Вероятност на сложно събитие (вероятност на произведение на събития)

Сложно събитие е събитието, което се състои в съвместното осъществяване, едновременно или последователно, на две или повече събития. Ако това са събитията А и В, сложно събитие е едновременното появяване и на А, и на В, означено с (А и В) или, което е същото, с (АВ). Вероятността за сложното събитие (А и В) се определя като произведение на вероятността за настъпване на събитие А по условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4.5)

или като произведение на вероятността за настъпване на събитие В по условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В

Р(АВ) = P(В)P(A/В).

Теорема за умножение на вероятности

Вероятността на произведението на две събития е равна на произведението на вероятността на едното от тези събития по условната вероятност на второто събитие, изчислена при условие, че първото е настъпило:

Р(А В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)

- Теорема за пълната вероятност. Нека събитие К да може да се появи с едно от несъвместимите събития Ai, i = 1,2, ... ,n, обединението на които съвпада с пространството от елементарни събития , т.е.

= {А1 U А2 U U Аn}, Ai U Aj и Ai Aj = , ij.

Събитията Ai обикновено се наричат хипотези.

Теоремата за пълната вероятност гласи, че вероятността на събитие К, което може да се появи съвместно с която и да е от хипотезите Аi, i = 1,2,..., n, е равна на сумата от произведенията, две по две, на вероятностите на всяка от тези хипотези по съответстващите им условни вероятности за настъпване на събитие К

Вижте още

Източници

Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability.
Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp.
Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press.
Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp.
Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
ET. Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science Cambridge University Press, (2003).
Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
Richard T. Cox, Algebra of Probable Inference, The Johns Hopkins University Press
Bishop, CM., Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2007
Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
Wolpert, RL. (2004) A conversation with James O. Berger, Statistical science
Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (Second ed.). Springer-Verlag
de Finetti, Bruno. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989
Hacking, I (1988) "Slightly More Realistic Personal Probability". 1967 article partly reprinted in: Gärdenfors, Peter and Sahlin, Nils-Eric. (1988) Decision, Probability, and Utility: Selected Readings. 1988. Cambridge University Press
Jaynes E.T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP
Morgenstern, Oskar (1978). "Some Reflections on Utility". In Andrew Schotter. Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern. New York University Press
Pfanzagl, J (1967). "Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory". In Martin Shubik. Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern. Princeton University Press

Външни препратки