Триъгълник на Сиерпински
Триъгълникът на Сиерпински е пряко свързан с Триъгълника на Паскал.
Същност
Триъгълникът на Сиерпински се образува например като започнем с един голям черен равностранен триъгълник. Взимаме трите му средни отсечки – те образуват равностранен триъгълник „обърнат надолу“. Нека го оцветим в бяло – ясно е, че от черния триъгълник ще останат три по-малки оцветени в черно триъгълници. За тях прилагаме същия принцип. Тук можем да продължим до безкрайност. Триъгълникът на Паскал обаче е съставен от дискретни величини – затова имаме крайно разделение.
Освен, че е толкова специален, триъгълникът на Паскал ни помага при решаването на някои задачи. Децата изключително много му се радват при задачи с повдигане на степен. Например знаете ли колко е (x+1)5? Класическото пресмятане е сравнително трудно. С триъгълника на Паскал не е! Намерете петия ред на триъгълника на Паскал (първия се счита за нулев). Той е:
1, 5, 10, 10, 5, 1
Ето и решението:
(x+1)5 = 1*x5 + 5*x4 + 10*x3 + 10*x2 + 5*x1 + 1*x0
Можем обаче лесно да го приложим и по-обобщено – всеки ред от триъгълника на паскал са чисто и просто биномните коефициенти:
(x + y)5 = 1*x5.y0 + 5*x4.y1 + 10*x3.y2 + 10*x2.y3 + 5*x1.y4 + 1*x0.y5
Още повече – с триъгълника на Паскал можем да пресмятаме и комбинации. Например ако имаме 6 различни билярдни топки, то по колко различни начина можем да вземем 2 от тях, като подредбата им няма значение? Отговорът е – спуснете се по левия диагонал до 6ти ред (напомням, че се започва от нулев) и се преместете две позиции в дясно:
Ще ви го докажа нагледно без формули. Нека топките са a, b, c, d, e и f. Комбинациите от две топки без значение от подредбата са: (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (b,c); (b,d); (b,e); (b,f); (c,d); (c,e); (c,f); (d,e); (d,f) и (e,f). Пребройте ги – точно 15 са!