Теория на игрите

Теорията на игрите е математическа дисциплина, която изучава математическите модели за вземане на оптимални решения в условията на конфликти и рискове. Под "игра" трябва да се разбира участие в прояви, реализирани в икономическия и социален живот( дори и във военното дело), състоящо се от множество действия на най-малко две страни (А и Б). Основите на теорията на игрите са изложени в класическото произведение на Джон фон Нойман и Оскар Моргенщерн "Теория на игрите и икономическото поведение", публикувано през 1944г. Принос също има и нобеловият лауреат Джон Наш, в чието идейно решение за теорията на игрите основа заема т.нар "равновесие на Наш", което представлява идеята за оптималната стратегия на всеки играч спрямо стратегиите на другите играчи. Въпреки големите интелектуални постижения на тези и други учени като Харсаний, Томас Шелинг, Оман, техните изследвания нямаше да имат значим ефект, ако игрово- теоретичните средства не бяха приложени с цел решаване на важни обществени въпроси.

Природа на теория на игрите

По своята природа тази математическа теория е игра и съответно включва и "правила на играта." В "правилата на играта" се включва финала на процеса или т.нар. "резултат" (изход). Във всяка игра, както и в тази, се определя измерителна скала, необходима за качественото или количественето измерване на междинния край на играта. Резултатът може да бъде победа, загуба или нулев резултат.

Загубата се приема за отрицателна печалба. Ако сумата от печалбите на всички играчи в една игра е постоянна (нула), говорим за игра с постоянна (нулева) сума.

От съществено значение за развитието на теорията на игрите са постулатите на т.нар "некооперативни игри" (игри без обединяване на играчите в тях). Учените Оман (математик) и Шелинг (икономист) стигат до разбирането, че игрово - теоретичната перспектива притежава потенциала да преоформи анализа на човешките взаимоотношения. Шелинг показва, че тези взаимодействия са свързани, както с общи, така и с противоречиви интереси, а Оман доказва, че обществените отношения могат да бъдат анализирани при използването на теорията за некооперативните игри.

Сред направените научни изследвания и доказателства в игровите методи за вземанe на решения в условия на конфликт централно място от същността на теорията заема "равновесието" на Джон Наш. Конфликтът е сблъсък на интереси или противопоставяне на идеи, в чието изясняване стои намирането на равновесната точка, баланса на крайно противоречащите си. Неговото ключово откритие е, че съществуват точки на равновесие във всички игри с крайно много стратегии и конфликтни интереси. Стратегиите на играчите са в равновесие, когато всеки от тях е оптимизирал своята функция при непроменливи стратегии на другите участници в играта. Наш доказва, че всяка игра с краен брой играчи и непрекъсната платежна функция притежава поне една равновесна точка.

Теорията на игрите изучава вземането на решение, където резултатът за един играч зависи от действията на всички. Равновесие се постига, когато действията на един играч пораждат реакцията на другите, отхвърляйки идеята за нулев резултат или сума на играта, поради крайно противоречащи позиции и интегриране на мисленето, че в края на играта ще се постигне максимална полза за участниците. Но до достигане на този краен етап всеки от играчите променя неколкократно своята позиция.

В процеса на самата игра от особено значение са т.нар. "лични ходове". Този етап е много важен, защото преди да бъде направен всеки ход се извършва селекция от множество варианти за решение и да се избере едно - най- оптималното за дадената ситуация. Случайният ход се отличава с това, че селекцията не се извършва с конкретно решение на играча. В такива случаи се използва методът на случайният подбор, което е и основен риск за участващите. Това са случаите на благоприятен и неблагоприятен краен изход от играта.

Друг важен фактор в „играта” е и т.нар. „дърво на решенията”, което представлява многообразие от идеи и избори подобно на дървото, с множество критерии и разклонения в случая от основната стратегия.

Следвайки логиката имаме:

множество М1 от участници

множество М2 от стратегиите им

множество М3 от ситуации

множество М4 от коалиции на интересите

множество М5 от отношения

Играта се състои от множествата от М1 до М5, което по своята същност е цялостна система, а само елементите М1 и М4 се наричат играчи. Целта на играта е постигане на стратегията на играча.

Същност и методология на теория на игрите

Наименованието на теория на игрите възниква по повод на първоначалното й използване като средство за решаване на задачи, свързани с различни игри. Създатели на теория на игрите са Джон фон Нойман и Оскар Моргенщерн. През 1928г. Фон Нойман е доказал основополагащата теорема на теория на игрите – теоремата за минимакса, а през 1944г. двамата автори са публикували първия фундаментален труд в тази област – трактата „ Теория на игрите и икономическо поведение”.

Методологията на Теория на игрите се състои в представяне на конфликтната ситуация под формата на игра и препоръчване на формални игрови стратегии за участниците.

Основни понятия на теория на игрите

Игра – формален схематичен модел на даден конфликт. Някои автори определят играта като последователност от повтарящи се ходове и решения. Според други автори играта е съвкупност от правила и процедури, които се изпълняват от участниците (играчи и коалиции) в условия на конфликт и неопределеност. Необходимото условие да се запише един конфликт като игра, е да са известни участниците в него, множествата на техните стратегии, множеството на възможните ситуации и функциите на полезността за всички страни в конфликта. За разлика от реалната конфликтна ситуация, играта се реализира по точно определени правила.

Играч – всеки участник в играта.

Коалиция – няколко играчи, които представляват една страна в конфликта. Играчите от дадена коалиция имат сходни интереси.

Ход – едно действие (решение) от играта. Ходовете са елементите на една партия от играта. Ходовете се разделят на лични и случайни. Личният ход се осъществява в резултат на съзнателния избор на играча, който избор е едно от множества с варианти на действие. Случайният ход е избор на едно от възможните множества с варианти на действие, който избор е реализиран не от играча, а с помощта на методи на случайно решение.

Избор (изход) – решението, което се взема на даден личен ход от играта се нарича избор. Изборът, осъществен при случаен ход се определя като изход.

Резултат – ефектът, който реализира даден играч, вследствие на избраната от него стратегия. Резултатът може да е печалба или загуба, най-общо казано доход.

Игрова партия – всяко разиграване на играта от начало до край по точно определен начин.

Стратегия – завършен, предварително определен план за избор на начин на действие, при всички възможни обстоятелства.

Оптимална стратегия – най-добрата измежду всички възможни стратегии. При нея играчът си осигурява най-добрия възможен среден резултат.

Ситуация – описва се чрез избраните стратегии от всички играчи в играта.

Платежна матрица – матрица, в чиито клетки се записват резултатите от действията на играчите при всеки техен изобр.

Платежна функция – математическо средство за описание на резултатите на играчите от реализация на техните стратегии.

Цена на играта – средният резултат от дадена игрова партия. Това още е резултатът , съответстващ на оптималната стратегия на играчите.

Основни принципи на теория на игрите

Принцип „информационно осигуряване” - нарича се още „принцип на пълното знание”. Съгласно него процесът на развитие на играта е регламентиран от строго определени правила, които са известни на участниците в играта. Освен това те познават всички възможни стратегии на опонентите си и прогнозираните резултати от приложението на всяка стратегия.
Принцип на конфликтните цели – всяка страна в играта се стреми да максимизира резултатите си за сметка на резултатите на останалите страни в играта.
Принцип „играчи” – отделен субект или група субекти с еднакви цели.
Времеви принцип – всички игрови ситуации предполагат едновременно действие на отделните страни в играта.
Принцип на повтаряемост – многократна повтаряемост на конфликтни ситуации
Принцип на пълното знание за играта в нормална форма – за всяка игра са известни нейната платежна матрица и цената на играта.
Принцип на разумност – всеки играч счита останалите играчи за толкова разумни, колкото е и той самият.
Принцип на гарантирания резултат – всеки играч се придържа към такава линия на поведение, която му гарантира някакъв среден резултат независимо от поведението на противника.

Класификация на игрите

Според броя на играчите

игри с един участник – пример за такава игра е играта с природата, в която от едната страна е природата, а от другата участникът. Игра с природата- това са решенията в условия на неопределеност.

множествени игри – две или повече страни в игрите.

Според количестото на ходовете

едноходови – по един ход за всеки играч
многоходови – отделните партии се състоят от два или повече хода за всеки играч

Според броя на прилаганите стратегии

крайни игри - всеки играч разполага с краен брой стратегии; наричат се още „матрични” поради възможността резултатите на играчите да се описват с помощта на матрици
безкрайни игри – поне един от играчите разполага с неограничен брой стратегии

Според вида на прилаганите стратегии:

игри с чиста стратегия – играчите избират винаги една и съща стратегия при многократно повторение на играта
игри със смесена стратегия – играчите избират различни стратегии при многократно повтаряне на играта

Според отношенията между играчите

Антагонистична игра – противоположни интереси на играчите. Не се допуска сътрудничество между играчите. При тези игри играчите се стремят към развновесно положение, което максимизира резултатите на всички страни.
Кооперативни игри – играчите образуват коалиции и могат да си сътрудничат помеджу си. Задължително се определят стратегиите и разпределението на печалбата.

Според резултатите на играчите

игри с нулева сума – сумата от резултатите на играчите, взети със съответните знаци е равна на нула.
игри с ненулева сума – сумата от резултатите на играчите, взети със съответните знаци е различна от нула.

Примери от същността на теория на игрите

Затворническа дилема

Дилема на затворника

Един от най – популярните примери за теорията на игрите е този, известен като „Затворническата дилема”. За двама бъдещи затворници се знае, че са виновни, но полицията няма достатъчно доказателства, за да осъди и двамата без самопризнание.

Полицията ги разделя в различни стаи без каквато и да било връзка помежду им. И двамата трябва да решат какво да правят едновременно.

Между затворниците няма никакво приятелство, никакво доверие и никакви предварителни уговорки.

Как да се сдобият полицаите със самопризнанията на двамата?

Следните възможности са предоставени на затворниците да избират поотделно. Ако и двамата се признаят за виновни , то и двамата получават присъди от по 5 години затвор. Ако единият се признае за виновен, а другият – не, тогава този, който си е признал, излиза свободен, а другият, който си е замълчал, остава в затвора за 20 години. Ако обаче и двамата не си признаят и си замълчат, то тогава и двамата получават само по 1 година затвор.

Анализът на това, какво може да се случи, ако двамата затворници се държат “рационално”, следвайки своите лични интереси.

Пример от военното дело

Да се предположи, че две държави имат разногласия относно някаква територия. Всяка страна решава дали да мобилизира своите сили или да се въздържи. Ако и двете мобилизират своите сили, съществува вероятност да се започне война, докато вероятността за мир е много малка. Очакваното плащане за всяка страна ще бъда равно на нула, ако и двете обявят мир. Ако обаче и двете се въздържат от мобилизация, мирното споразумение относно разделянето на територията е с висока вероятност, докато вероятността от война е малка. В този случай всяка страна получава положително очаквано плащане b. Ако само една страна мобилизира войска, то тя може да поеме изцяло контрола върху територията без война и нито другата държава, нито коя да е друга страна в този конфликт може да наложи оттегляне на войските на окупатора. Агресорът получава плащане а, докато плащането за губещия е с, където a>b>c>0, като по този начин войната е най-лошият изход. Тази „мобилизационна игра” се представя със следната матрица:

	Мобилизирам	Въздържам се
Мобилизарам	0,0	a, c
Въздържам се	c, a	b, b

Ако една от страните очаква другата да обяви мобилизация, тогава оптималният вариант е другата да се въздържи от мобилизация.

Вижте още

Източници

Списание „Икономическа мисъл”, 6/2005
Нобелова награда за постижения в областта на икономическите науки за 2005г.
Александрова, М., „Управленски решения и риск”, Първо издание, София 2009
Габровски, К., Александров,К., Владимирова,К., Йовкова, Й., Младенов, З., Изследване на операциите, УИ "Стопанство", София, 2002,с. 171-185
Димитров, М., Изследване на операциите, УИ "Стопанство", София, 2005, с. 129-148
Саркисян, С. А. и коллектив, Теория прогнозирования и принятия решений, Висшая школа, Москва, 1977, с.279-304
Стойков, И., Количествени методи в управлението, Академично издателство „Ценов”, Свищов, 2005, с.63-77
Стойков, С., Математически методи в икономиката, „Техника”, София, 1975, с. 288-298
Knowles, Thomas W., Management science. Building and Using Models, IRWIN, Homewood, Illinois, 1989, p.564-570
Turban, E., Meredith, J., Fundamentals of Management Science, IRWIN, Homewood, 1988, p. 143-158

Външни препратки