Нормално разпределение
Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.
История
Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам дьо Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
Дефиниция
Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:
Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):
Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).
Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
Свойства
Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:
- Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
- Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над абсцисната ос.
- Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
- Нормалното разпределение се определя напълно от математическото очакване /средната/ и стандартното отклонение. Математическото очакване определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
- Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
- Максимумът на функцията /максималната ордината на кривата/ е :
- На разстояние ± σ от средната кривата има две инфлексни точки, в които тя преминава от вдлъбната в изпъкнала и обратно.
Вижте също
- Теоритично разпределение
- Биномно разпределение
- Поасоново разпределение
- Логаритмично разпределение
- t - разпределение
- F - разпределение
- x2 –разпределение