Логистична функция
Логистичната функция или логистичната крива е обща сигмоидна крива(на англ. sigmoid curve), получила името си през 1844 г. или 1845 г. от Пиер Франсоа Ферхулст , който я изучава във връзка с прираста на населението. Тя може да е модел на "S-образна" крива (съкратено S-крива), посочваща растежа на някои населения P. В началния етап растежът е приблизително експоненциален, след което, когато насищането започне, растежът се забавя и на датата на падежа - растежът спира.
Простата логистична функция може да бъде дефинирана с формулата
където променливата Р може да се счита за обозначаване на населението, а с променливата t се отбелязва времето. Стойностите на t са в интервала на реалните числа от - ∞ до + ∞. На практика, поради естеството на показателната функция e−t, е достатъчно да се изчисли t като малък диапазон от реални числа като [-6, 6].
Логистичната функция намира приложение в редица области, включително изкуствени невронни мрежи, биология, биоматематика, демография , икономика , химия , математическа психология , теория на вероятността , социология , политически науки и статистика . Тя е лесна за изчисляване на производни:
frac{d}{dt}P(t) = P(t)\cdot(1-P(t))
Тя има свойството, че:
1-P(t) = P(-t)\!
С други думи функцията P - 1/2 е нечетена.
Логистично диференциално уравнение
Логистичната функция е решението на простото от първи ред нелинейно диференциално уравнение
Фракции {г} {} DT P (T) = P (у) (1-P (т))
където Р е променлива, по отношение на времето t и с граничното условие P (0) = 1 / 2. Това уравнение е непрекъснатата версия на логистичната карта.
Качественото поведение е лесно разбираемо в условията на фаза линия: производната е 0 при P = 0,1 и производната е положителна за P между 0 и 1, и отрицателни за P над 1 или по-малко от 0 (въпреки негативната популация която като цяло не съответства с физическия модел).
Така се получава едно нестабилно равновесие на 0 и стабилно равновесие на 1, и по този начин за всяка Р стойност по-голямаот 0 и по-малка от 1, P нараства до 1.
Човек може лесно да намери „символичното” решение на
P(t)=\frac{e^{t}}{e^{t}+e^{c}}
Изборът на постоянната интеграцията ec = 1 дава другите добре познати форми на определението на логистичната крива
P(t) = \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} \! = \frac{1}{1 + e^{-t}}
По голямо количество, както може да се види от аналитично решение, логистичната крива показва началото на показателния растеж на отрицателната стойност t, която е приблизителен резултат от намаляването на този растеж по наклон ¼ при t = 0, тогава приближаването y = 1 не съответства с разлагащата се прогресивна разлика.
Логистичната функция е обратна на естествената логит функция (на англ. logit) и може да се използва за превръщане на логаритъма от неравенство във вероятност; преобразуването от лог - вероятност съотношение на две алтернативи също е под формата на логистична крива.
Логистичната сигмоидна функция е свързана с хиперболичен тангенс
2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right)
В екологията: моделиране прираста на населението
Типичното прилагане на логистичното уравнение е един общ модел за растеж на населението , дължащо се на Пиер Франсоа Ферхюлст (на англ. Pierre-François Verhulst) през 1838 г., когато размерът на възпроизвеждането е пропорционален на вече съществуващото население и размерът на наличните ресурси, всички други са еднакви.
Уравнението Ферхлюст е публикувано след като Ферхлюст е прочел „Томас Малтус " ''Опит върху принципа на населението ''". Ферхлюст е получил своето логистично уравнение за описване на самоограничаващия се растеж на биологичното население.
Това равенство също така понякога се нарича Verhulst-Pearl уравнение след преоткриването му през 1920 година. Алфред Лотка (на англ. Alfred J. Lotka) извежда уравнението отново през 1925 г., като го нарича закон за ръста на населението.
Оставяйки P да е размера на населението (N често се използва в областта на екологията) и t - време, този модел е формализирано от диференциалното уравнение
frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)
където постояннaта величина R определя скоростта на растеж и К е транспортният капацитет.
В уравнението в безпрепятствен темп на растеж се моделира от първия период +rP. Стойността на размера R представлява пропорционално увеличение на населението P в една единица време. По късно, тъй като населението нараства, а вторият период, който се умножава е −rP2/K, става по-голям от първия, тъй като някои членове на обществото P пречат един на друг, конкурирайки се за някои критични ресурси, като храна или жилищна площ. Този антагонистичен ефект се нарича пречка, и се моделира от стойността на параметъра К. Конкуренцията намалява комбинирания темп на растеж, докато стойността на P престава да се увеличава (това се нарича пълно развитие на населението).
Разделяйки двете страни на уравнението на K се получава
frac{d}{dt}\frac{P}{K}=r\frac{P}{K}\left(1 - \frac{P}{K}\right)
Сега изразяването х = P / K отбелязва диференциалното уравнение
frac{dx}{dt} = r x (1-x)
За r = 1 имаме конкретен случай, с които сме започнали.
В екологията , видовете понякога се отнасят като r-стратег или K-стратег в зависимост от избирателните процеси, които са оформили тяхната стратегия за жизнен цикъл. Решението на уравнението (с P 0 съществуваща първоначала популация) е
P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)}
където
\lim_{t\to\infty} P(t) = K.\
Което означава, че K е гранична стойност на P: най-високата стойност в която населението може да достигне дадено безкрайно време (или се доближава до достигане на ограниченото време). Важно е да се подчертае, че транспортния капацитет е асимптотично постигнат независимо от първоначалната стойност P (0) > 0, и в случай, че P (0) > K.
Променлив във времето транспортен капацитет
Тъй като условията на околната среда влият на транспортния капацитет, вследствие на това той може да бъде променлив във времето: K (т)> 0, което довежда до следния математически модел:
frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K(t)}\right)
Особено важен случай е, че транспортният капацитет се променя периодично с период Т:
K(t+T) = K(t).\
Може да се докаже, че в такъв случай, независимо от първоначалната стойност P (0)> 0, P( t) ще клони към уникално периодично решение P*(t), чийто период е T.
Характерната стойност за T е една година: в такъв случай K (t) отразява периодични промени в метеорологичните условия.
Друго интересно обобщение е, че транспортния капацитет K(t) е функция на населението в по-ранен момент, улавя забавянето на начина, по който населението променя заобикалящата го среда.
В невронни мрежи
Логистичните функции често се използват в невронните мрежи за въвеждане на нелинейност в модел и / или за стягащи сигнали в рамките на определен диапазон. Популярния невроннен мрежов елемент изчислява една линейна комбинация от неговите входни сигнали и прилага ограничена логистична функция на резултата. Този модел може да се разглежда като "загладен" вариант на класическия невронов праг .
Общ избор за активиране или "смазване" на функциите, използвани за клип на големи величини за съхраняване на отговор на ограничени невронни мрежи, е
g(h) = \frac{1}{1 + e^{-2 \beta h}} \!
което ние познаваме, че е от формата на логистична функция. Тези отношения са резултат от опростената реализация на изкуствени невронни мрежи с изкуствени неврони . Лекари предупреждават, че сигмоиднитеа функции, които са симетрични по произхода (например хиперболичен тангенс ) водят до по-бързо сближаване, когато класификацията на мрежите е с обратно разпространение.
В статистиката
Логистичните функции се използват и в статистиката. Първо, те са кумулативната функция на разпределението на логистичнoто семейство на разпределението. На второ място те се използват в логистичната регресия на модела за начина, по който вероятноста р на дадено събитие може да бъде засегната от една или повече обяснителни променливи величини : например би могло да има модел
p=P(a + bx)\
където х е обяснителната променлива величина,а а и b са параметри на моделите, които се монтират.
Едно важно приложение на логистичната функция е в модела Раш (Rasch model). По-специално, моделът Rasch представлява основа за максимална вероятностна оценка на местоположението на обекти или лица, за един непрекъснат процес, въз основа на колекциите на категорични данни, например способностите на хората за един непрекъснат процес въз основа на отговорите, които са били категоризирани като правилно и неправилно.
В медицината: моделиране растежа на туморите
Друго приложение на логистичната крива е в медицината, където се използва логистичното диференциално уравнение за моделиране на растежа на туморите. Това приложение може да се счита за продължаване на посочените по-горе рамки на екологията. Обозначен с Х (t) размера на тумора по време t се получава
X^{\prime}=r\left(1 - \frac{X}{K}\right)X
което е от вида:
X^{\prime}=F\left(X\right)X, F^{\prime}(X) \le 0
където F (Х) е най-разпространения вид тумор.
Ако химиотерапия започва с ефект „вход-убий” уравнението може да бъде
X^{\prime}=r\left(1 - \frac{X}{K}\right)X - c(t)X,
където c(t) е терапията водеща до смърт. В случай на много дълго лечение c(t) може да се моделира като периодична функция (с петиод Т) или (в случай на продължителна терапия), като константна функция
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{c(t)\, dt} > r \Rightarrow \lim_{t \rightarrow +\infty }x(t)=0
например, ако средната на терапията водеща до смърт е по-голяма от първоначалната ставка на разпространението тогава там имаме ликвидиране на болестта. Разбира се, това е прекалено опростен модел, както на растежа така и на лечението (например той не взема под внимание феномена на клонинговата резистентност).
В химията: реакционни модели
Концентрация на реагентите и продуктите в автокаталитичните реакции (в които поне един от продуктите е реагент) следват логистичната функция.
Във физиката: разпределение на Ферми
Определя статистическото разпределение на фермиони над енергийните състояния на системата в термодинамично равновесие. С други думи, това е разпределението на вероятностите , когато всички възможни нива на енергия са заети от фермион, според статистиката Ферми – Дирак ( на англ. Fermi-Dirac statistics).
В езикознанието: смяна на езика
В лингвистиката, логистичната функция би трябвало да е езиков модел на климата. Иновация, която несигурно в началото се разпространява бързо с времето, а до края на този процес остава само една много малка част от елементите, които не са били подложени на съответната промяна.
В икономиката
Логистичната функция може да се използва за илюстриране напредъка на дифузия на иновациите чрез техния жизнен цикъл. Този метод е бил използван в документи от няколко изследователи в Международния институт за приложни системни анализи (IIASA). Тези документи се занимавали с разпространението на различни иновации, инфраструктура, заместители на енергията и ролята на работата в икономиката, както и с дългосрочния икономически цикъл. Дългите икономическите цикли били изучавани от Робърт Айрес (1989 г.). Книгата на Арнулф Грюблер (1990) дава подробно описание на разпространението на инфраструктурните обекти, включително канали, жп линии, магистрали и авиокомпани, показвайки че тяхното разпространение следва формата на логистичната крива.
Двойна логистична функция
Двойната логистична функция е подобна на логистичната функция с множество приложения. Нейната обща формула е:
y = \mbox{sgn}(x-d) \, \Bigg(1-\exp\bigg(-\bigg(\frac{x-d}{s}\bigg)^2\bigg)\Bigg)
където d е нейният център, а s е стръмния фактор. Тук „sgn” представлява сигнум функция.
Тя се основава на кривата на Гаус (на англ. Gaussian curve) и графически е подобна на два еднакви логистични сигмоида свързани заедно в точката х = d.
Едно от приложенията и е при нелинейното нормализиране на проби, тъй като има свойството да отстранява отделените слоеве.
Вижте още
Източници
- Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer (2003). Probabilistic Linguistics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press
- Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
- Kingsland, Sharon E. (1995). Modeling nature: episodes in the history of population ecology. Chicago: University of Chicago Press.
- Weisstein, Eric W., "Logistic Equation" from MathWorld.