Методи за решение при многокритериална оптимизация

Съществуват много методи за намиране на решение на проблема многокритериална оптимизация, някои от които са обяснени по-долу.

Най-общо съществуващите методи за многокритериална оптимизация могат да бъдат разделени на две групи:

Методи, основани на оптимизирането на обобщен критерий, определен в рамките на предварително избрана компромисна стратегия
Методи, основани на определянето на приблизително Парето-оптимално множество Тегловен метод

Методът, предложен от L. Zadeh през 1963 година, реализира линейна компромисна схема . Многокритериалната задача се трансформира в еднокритериална с помощта на линейна комбинация от отделните критерии с предварително избрани коефициенти w (тегловни коефициенти):

minx∈X F(x),

Метод на ε-ограниченията

Това е процедура предложена от Haimes, Lasdon, Wismer през 1971 година с цел да преодолява недостатъците на тегловните методи, които се дължат на неизпъкналост на Парето-множеството. При тази компромисна схема един от критериите се избира за основен и се минимизира, а останалите критерии се приемат за ограничения от вида

fν (x) ≤ εν , ν = 1, 2, ..., r, ν ≠ μ.

Методът позволява да бъдат определени Парето - оптимални решения и по неизпъкнал участък от границата

Метод на достигане на целта

Този метод включва задаване на цел z° = [z1°, …, zr°]T, която съответства на критерия f(x) = [f1(x), …, fr(x)]T. Доближаването до целта да бъде двупосочно – отдолу или отгоре. Процесът се управлява от тегловен вектор w = [w1,w2, …, wr]T.

Тегловният вектор w позволява въвеждането на мярка за относителния компромис между целите. Задачата за векторна оптимизация се преобразува в еднокритериална задача от вида

minγ, x∈D γ,

Минимаксен метод

За да се избегнат случаи с недопустимо лоши стойности на някои критерии е препоръчително в структурата на задачата за векторна оптимизация да се въведат и критериални ограничения

Метод на глобалния критерий

При метода на глобалния критерий се минимизира разстоянието между някаква зададена точка в критериалното пространство и точките от достижимото множество. Обикновено за точка zосе избира утопичната точка U. Ако всички критерии са еднакво важни, тегловните коефициенти се приемат еднакви wv= 1.

Метод с нелинейна компромисна схема

Компромисната схема, предложена от А. Н. Воронин през 1984 година, свежда задача за векторна оптимизация до еднокритериална задача

Обобщеният критерий на Воронин

F(x) = Σ rv=1 (1 /ρν)

има адаптивни свойства при различна “напрегнатост” на компромисните ситуации в зависимост от стойностите на събираемите 1/ρν . Когато стойността на някой от частните критерии започне да се доближава до своята граница (напрегнат компромисен режим), критерият F рязко нараства и минимизирането на цялата сума се свежда до минимизиране на най-лошото събираемо. Ако частните критерии са далече от пределно допустимите им стойности (спокоен компромисен режим) схемата реализира принципа на интегрална оптималност.

PSI-метод

PSI-методът (съкратено от Parametric Space Investigation) е в основата на универсална изчислителна технология за решаване на приложни многокритериални задачи, които намират приложение в оптималното проектиране на технически обекти и процеси.

За прилагането на PSI-метода е необходимо наличието на математичен модел симулатор на оптимизируемия обект, в който освен обичайните за нелинейното оптимиране ограничения могат да се въвеждат и вариращи ограничения върху изменението на критериите. Решената по този начин оптимизационна задача изисква формирането на допустимото параметрично множество да става в процеса на решаване на оптимизационната задача.

Програмно реализирания PSI-метод предлага :

информация за интервалите на изменение на отделните критерии;

вариране на управляващите параметри в зависимост от наложените ограничения;

възможност за обоснован избор на областни и критериални ограничения;

възможност за интерпретиране на ограниченията като псевдокритерии;

диалогов режим на вземане на решения от излъчено приблизително

Парето-оптимално множество;

възможност за открояване на зависими критерии;

таблично оформяне и лесно сортиране на резултатите по различни признаци.

Изграждане на обединена целевата функция (AOF)

Това е интуитивен подход към решаването на многокритериалния проблем. Основната идея е да се обединят всички обективни функции в единна функционална форма, наречена AOF, също позната като претеглена линейна сума на целите.

Например, ако някой се опита да увеличи силата на компонентите на една машина и да минимизира производствените разходи, и ако по-високото тегло е определено за обективен разход в сравнение със силата, решението ще бъде това, което благоприятства по-ниска цена за сметка на по-висока здравина.

Важно е да се отбележи, че методът на претеглената сума е по същество субективен, поради това решителният мениджър (DM) трябва да достави теглата. Освен това този подход не може да установи решенията, които не са доминиращи, а само решенията, които са разположени на изпъкналата предна част на Парето могат да бъдат намерени.

Обективният начин за решаване на многокритериални проблеми изискващи Парето – отстъпчив класификационен метод, отнасящ се до не-доминиращите решения, както се вижда в многокритериалните еволюционни подходи, като например NSGA-II и SPEA2.

Методи NBI, SPO, DSD

Методите NBI (Normal Boundary Intersection или Нормални Гранични Пресечки), NC (Normal Contraint или Нормални Ограничения), SPO (Successive Pareto Optimization или Последователна Оптимизация на Парето) и DSD (Directed Search Domain или Пряко Търсене на Доминиране) се използват за решаване на многокритериални оптимизационни проблеми чрез изграждане на няколко AOF-а. Решението на всяка AOF „ражда” точка на Парето.

Методите NC и DSD предполагат две различни процедури за филтриране, за да се отстранят точките на Парето на местно ниво. AOF са изградени с цел получаване на равномерно разпределени точки на Парето, които дават добро впечатление (приближаване) на действителните групи до точките на Парето.

Методите DSD, NC и SPO генерират решения, които описват някои периферни райони от множеството от точки на Парето, за повече от 2 обекта, които се знае, че не са представени от решенията генерирани с метода NBI.

Еволюционни алгоритми

Еволюционните алгоритми са популярни подходи за решаване на многокритериална оптимизация. В днешно време, най-еволюционно оптимизиране използва Парето - базиран на рангови схеми. Генетичните алгоритми, като например за неразпространение на доминиращото сортиране на генетичен алгоритъм-II (NSGA-II) и силата на еволюционния подход на Парето 2 (SPEA-2) са станали стандартни подходи, въпреки че някои схеми, базирани на частиците „рояк” оптимизация и симулираното техническо закаляване са значителни.

Други методи

Многокритериална оптимизация използваща еволюционни алгоритми (MOEA - Multiobjective Optimization using Evolutionary Algorithms)
Повърхностно размножаване на изпъкнали многокритериални случаи на Парето (PGEN - Pareto surface generation for convex multiobjective instances)
Непряка оптимизация на базата на самоорганизация (IOSO - Indirect Optimization on the basis of Self-Organization)

Вижте още

Източници

Steuer, R.E. (1986). Multiple Criteria Optimization: Theory, Computations, and Application. New York: John Wiley & Sons
Sawaragi, Y.; Nakayama, H. and Tanino, T. (1985). Theory of Multiobjective Optimization (vol. 176 of Mathematics in Science and Engineering). Orlando, FL: Academic Press Inc
Deb, K.: Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Wiley, 2002
Das and J. E. Dennis. Normal-Boundary Intersection: A New Method for Generating the Pareto Surface in Nonlinear Multicriteria Optimization Problems. SIAM Journal on Optimization
A Messac and C. A. Mattson: Normal constraint method with guarantee of even representation of complete Pareto frontier
Deb, K. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms John Wiley & SonsCoello Coello, C. A.; Lamont, G. B. & Van Veldhuizen, D. A. Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective Problems Springer, 2007.

Външни препратки