Графично представяне на нормално разпределение
Нормалното разпределение може да се представи графично.
Същност
Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по-рядко се срещат.
Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.
Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.
Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.
Симетричността на разпределението се описва с показателя за асиметрия (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).
Където:
m3 – трети централен момент
S – стандартно отклонение
Третият централен момент се изчислява по формула:
Където:
Xi – всяка една стойност на променливата в извадката
п – обем на извадката
Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.
Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.
Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя ексцес (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).
Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за еталон връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).
Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.
Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.
Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки
и 
представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:
Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.
Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.
От фигурата се вижда, че в интервала:
- От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
- От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
- От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.
Вижте още
- Свойства на нормалното разпределение
- Франсис Галтон
- Бейсова вероятност
- Вариационен анализ
- Показатели за средно равнище
- Показатели за разсейване
- Вероятностно разпределение
- Стандартно отклонение
- Модел на Марковиц
- Закон на средната
- Логнормално разпределение
- Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление
Източници
- Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
- Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
- Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
- Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
- Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
- Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката