Линеен код

Всяко подпространство С на V на степен n се нарича линеен код.

Същност

Ако dimC = k , то С се нарича (п.к) код. Ако d (C ) = d, то С се нарича |п.к.d|- код. Ще дадем една интерпретация на линейните кодове, която ги свързва с комбинаторните покрития От векторите на (п, k, d ) - код образуваме матрица A= a|ij| , в която те са редове. Матрицата А се тълкува като матрица на инцидентност в следния смисъл: j-mu стълб съответства на елемент j S(п), а i-mu ред съответства на подмножество Bi (блок), като jB1 <=> aij =0(т.е. тук нулата е знак на инцидентност). Сега е ясно, че за всеки блок Bi, |Bi| n-d, Блоковете не са равномощни, но чрез произволно допълване с елементи от S[n] можем да ги направим такива. Чрез индукция по k се доказва [23], че всяка [k -1]-орка на S[n] се съдържа в някой блок Bi , т.е. блоковете образуват (n,n-d,k-1) покритие и очевидното следствие е n-d k-1, откъдето се получава неравенството на Сингълтън за разстоянието на линеен ( n,k,d ) код: d[C]=d n-k+1

Задаване

Линейните кодове се задават по два начина:

Пораждаща матрица

Чрез пораждаща матрица: G, чиито редове образуват базис на С . Тъй като С има различен базиси, то един и същ код има различни пораждащи матрици: Например:

|1 0 0 1 1| |1 0 0 1 1| G1 = |0 1 0 1 0|, G2= |1 1 0 0 1| |0 0 1 0 1| |1 1 1 0 0|

Пораждащ един и същ (5,3,2) код, защото G1 u G2 са еквивалентни и векторите от кода са: (00000), (10011), (01010), (00101), (11001), (10110), (01111), (11100) Kато при кода на Хеминг се вижда, че минималното разстояние на линеен код е теглото на най-леката ненулева дума. За дадения пример минималното тегло на ненулевите думи е 2, т.е. d[C]=2 Ако r1,r2,rk са n-мерните вектори редове на пораждащата матрица u f=[a1,a2,.,ak] е вектор от информационни символи, то неговото представяне в базиса r1, r2,rk на кода е: F=a1r1+a2,r2 ++akrk Което е процентът на кодиране.

Проверочна матрица

Ако С е (n, k,d) код, то С1 е (n, n k, d ) код и може да се зададе с пораждаща матрица Н = ((n-k)xn), редовете на която образуват базис в С1. Тъй като (С1)1 = С, то xC Hx на степен t = 0. H се нарича проверочна матрица за С. Обикновено Н се задава във вид Н = |A|En-k|| , където En-k е единичната матрица от ред n-k. Тогава кодовите вектори са х=(х1,..,хk, xk+1,.,xn), където първите к символа са информационни, а оставащите n-k са проверочни. Ако H = |aij| , то проверочните символи се определят от проверочните съотношения:

xk+1 =nj=1aijxj,i=1,.n-k

И кодирането става както при кода на Хеминг, който беше дефиниран с проверочна матрица. Ако един линеен код е зададен по този начин казваме, че той е систематичен. Пример:

• Кодът с повторение има проверочна матрица

1 1 0 0 Н = 1 0 1 0 1 0 0 1

Лесно се вижда, че един вектор (а1, а2,an) е от кода тогава и само тогава, когато а1 = а2= = аn и единствените вектори с това свойство са (0,0,,0) и (1, 1,,1). Кодът с повторение е (n,1,n) код.

• Код с проверка по четност има проверочна матрица

H = 111111| Вектор (a1, a2, an) е от кода тогава и само тогава, когато a1+a2++an=0, т.е кодовите думи са двоичните п - вектори с четно тегло.

Ако линейният код С има проверочна матрица Н = |А| En-k||, то G = |Ek|A на степен t|| A е пораждаща се С.

Доказателство: Ще докажем, че HG на степен t=0(тук 0 е нулева матрица), т.е. векторите редове на G са ортогонални на тези от Н: i-mu ред на G: x = [0,0,1,0,0, a1i,a2i,a[n-k]i]

i-mu ред на H: y = [aj1,.,aji,ajk,00,1,0,0,]

Вижда се, че xy = aij+aji=0. Тогава всеки ред на G е от кода С, но рангът на G e kG е пораждаща матрица на код С

Пример. В пример 5.10 беше дадена проверочната матрица на (7,4,3)- кода на Хеминг. Пораждащата матрица е:

1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 G = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Нека С е линеен код с проверочна матрица Н. На всяка кодова дума с тегло t съответства линейна зависимост на t стълба от Н и обратно, на всяка линейна зависимост на t стълба от Н съответства кодова дума с тегло t от С. От теоремата следва, че линеен код С е проверочна матрица Н имаме d(C)=d тогава и само тогава, когато всеки d-1 стълба на Н са линейно независими, но съществуват d линейно зависими стълба. Демонстрация на този факт направихме при определяне минималното разстояние на кода Хеминг.