Нормално разпределение

Нормално разпределение.

Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.

История

Абрахам дьо Моавър (Abraham de Moivre) /1667-1754г./.

Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам дьо Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.

Карл Фридрих Гаус (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./.

Пиер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./.

Дефиниция

Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:

Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.

В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):

Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).

Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,

При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.

Свойства

Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:

• Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
• Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над абсцисната ос.
• Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
• Нормалното разпределение се определя напълно от математическото очакване /средната/ и стандартното отклонение. Математическото очакване определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
• Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
• Максимумът на функцията /максималната ордината на кривата/ е :

• На разстояние ± σ от средната кривата има две инфлексни точки, в които тя преминава от вдлъбната в изпъкнала и обратно.

Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини..

Вижте също

• Теоритично разпределение
• Биномно разпределение
• Поасоново разпределение
• Логаритмично разпределение
• t - разпределение
• F - разпределение
• x2 –разпределение

Източници

• Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
• Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
• Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
• http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution?&oldid=349304310
• http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5