Критерий на Кели

Възникване на критерия

Джон Кели, който работел за AT&T's Bell Laboratory, създава критерия на Кели, за да помогне на AT&T с техния проект за предаване на телефонен сигнал на големи разстояния. Скоро, след публикуването на този метод, комисията по хазарта му обръща внимание и разбира потенцияла на оптимална система за конни надбягвания. Това е направило възможно комарджиите да максимизират величината на парите си за дългосрочен период от време. Сега системата се ползва от много хора, като основна система за Money Management, не само за хазарт, но и за инвестиране.

В теорията на вероятностите критерият на Кели е формула, която се използва за определяне на оптималния размер на серия от залози. Тя е описана от Дж.Л.Кели – младши през 1956г. Като част от труда му : Bell System Technical journal. Едуард Торп демонстрира практическото приложение на формулата през 1961г. Адресирано към Американското математическо общество, а по-късно и упоменато в книгите му : Beat the Dealer (отнасяща се за хазарта) и Beat the Market (написана заедно с Шийн Касауф, отнасяща се за инвестирането).

Джон Л. Кели

Основни компоненти

Съществуват два основни компоненти на критерия на Кели:

• Вероятност за печалба - Вероятността всяка една сделка, която направита да бъде в положителна за вас насока.
• Съотношение печалба/загуба - Общите позитивни сделки разделени на общите негативни сделки.

Това са двата фактора, включени в уравнението на Кели:

Kelly % = W – (1 – W) / R

Където:

W - вероятност за печалба

R - съотношение печалба/загуба

Същност

При Критерия на Кели прогресията расте, докато печелите, и намалява, когато губите. Размерът на залога се определя от процент от размера на вашите средства. При Критерия на Кели рискът от банкрут е практически елиминиран. Накратко теорията на Кели гласи, че ако вие можете да определите с голяма точност приблизителния изход от мачовете, то тогава чрез формула можете да определите и точната сума от вашия фонд средства, която трябва да заложите на съответния мач. Формулата изглежда така:

Използва се при прости залози с два резултата – единият предполага загуба на целия залог, а другия залогът да се мултиплицира от крайните коефициенти. Залогът на Кели е :

0

f* - частта от текущите заложени пари;

b - нетните коефициенти, получени от облога ( при това коефициентите се записват като “ b към 1”)

p - вероятността за печалба

q - вероятността за загуба, която е 1-p

Доказателство

Когато b=1, играчът според Кели залага 2p-1 пъти първоначални пари – W, както е показано. Ако печели, получава 2pW, а ако загуби – 2(p-1)W. Нека предположим, че той прави N залагания като това и печели K от тях. Редът от печалби и загуби в случая нямат значение, в крайна сметка ще имаме:

3

Ако предположим сега, че друг играч залага различно количество – (2p-1 + ∆)W за някои положителни или негативни ∆(изменения). Той ще има (2p + Δ)W след печалба и [2(1 - p)- Δ]W след загуба. След тези печалби и загуби играчът според Кели ще има:4Вземаме производната на това по отношение на изменението ∆ и получаваме:5

Това се приравнява на 0, ако:6

Което включва в себе си:7

Но:

9

Така че в дълъг период крайното състояние се максимизира чрез привеждане на измененията (Δ) към 0, което означава че се следва стратегията на Кели.

Това илюстрира, че Кели има както детерминистичен, така и стохастичен компонент. Ако знаеш K и N и трябва да избереш постоянно съотношение на парите си, които залагаш всеки път, ще приключиш с най-много пари ако залагаш:

 10всеки път. Това е валидно без значение дали N е голямо или малко число. Частта с “дългия период” при Кели е необходима, защото не знаем K предварително, и когато N нараства, K ще достигне pN. Някой, който залага повече от Кели би се справил по-добре ако K>pN за кратко време. Друг, който залага по-малко от Кели ще се справи по-добре при K.

Причини да залагате по-малко от Кели

Естествено допускане е, че поемането на повече риск увеличава възможността едновременно от много лоши или много добри резултати. Една от най-важните идеи на Кели е, че залагайки повече от колкото Кели, се намалява възможността от много добри резултати, докато се увеличава тази за много лоши резултати. Реално ние рядко знаем точните възможности или крайни резултати и докато “залагането в повече” е по-лошо от “залагането по-малко”, това дава смисъл да се заблуждаваме осланяйки се на предпазливостта си, т.е. да залагаме по-малко от количеството залози на Кели.

Кели приема, че следващите залози са независими . Това може би се явява добър модел за хазартните игри, но като цяло не може да се приложи при инвестирането и други форми на поемане на риск. Да предположим, че на инвеститор са му предложени 10 различни залога с 40% шанс за печалба и 2 към 1 краен резултат ( това е примера, който използвахме по-горе). Взимайки предвид залозите един по един, Кели би заложил 10% на всеки от тях, което означава, че състоянието на инвеститора е изцяло изложено на риск. Този риск разорява, особено ако крайните резултати от залозите са в съотношение.

Имуществото на Кели се разглежда в дълъг период. За един човек има значение дали се трупа от дузина залози, трильони залози или повече. Това дава основание да се взима под внимание не само дългият период, но и къде губенето на залог може да те извади от игра за кратко, а и в среден период как се отразява това. Свързващата точка е, че Кели счита за важно единствено дългосрочното богатство. Повечето хора също се интересуваат основно от това да стигнат до него. Двама души умират с еднакво количество пари, това не означава, че са имали еднакво щастлив живот. Залозите на Кели водят до изключително бързи краткосрочни резултати, които повечето хора намират за много неприятни, въпреки че смятат, че накрая ще се справят добре.

Едно от най-нереалистичните допускания на Кели е, че богатството е едновременно целта и крайния предел на това, което можеш да заложиш. Повечето хора не биха могли да заложат цялото си богатство, например: незаконно е да залагаш себе си ( човешкия капитал),т.е. не може да се продаваш в робство. От друга страна, хората могат да залагат пари, които дори не притежават – чрез вземане на заем. Човек, на който му е позволено да залага повече състояние, отколкото притежава може да избере да залага повече от Кели. Докато някой, който му е позволено да залага доста по-малко от собственото му състояние е принуден да залага по-малко от Кели.

Ефективност на критерия

Тази система се основава на чистата математика.Въпреки това, някои хора може да постави под съмнение, дали това математика, първоначално разработени за телефони всъщност е ефективна в арени на фондовия пазар или хазарт.

Чрез симулираната растеж на дадена сметка, на базата на чистата математика, диаграма на собствения капитал може да се демонстрира ефективността на тази система.С други думи, двете променливи трябва да бъдат въведени правилно, и трябва да се приеме, че инвеститорът е в състояние да поддържат такива характеристики.

Ефективност на Критерия на Кели

Тук виждаме активността на 50 симулирани сметки за търговия означени с крива на баланса. Средният печеливш резултат и същия като средния негативен резултат. Хората са в състояние да печелят в 60% от времето. Критерият на Кели им казва да разпределят 19% от техния капитал във всяка позиция (давайки им пет позиции). Резултатът е положително развитие в дългосрочен период за всички участницил. Най-голяма възвръщаемост е 140% (стартово 100 и достигнати 240), повече от 453 тика, показващи времето между сделките или резултатите от системата за търговия.

Приложение на критерия

Ако една игра има шанс за печалба 60% (p=0.60, q=0.40), но залагащия получи 1 към 1 коефициент на печелившия залог (b=1), тогава той трябва да заложи 20% от сумата на всяка възможност (f* = 0.20), за да максимизира дългосрочния растеж на заложените си пари.

Ако шансовете на залагащия обаче са нулеви, например b=p/q, тогава критерия ще му показва да не залага нищо. Въпреки това в по-сложни ситуации, където например подценен фаворит в конно състезание може да си струва покритието на залога за подсигуряване, въпреки че печелившият такъв е за друг състезателен кон. Тогава ще е правилно да се направи залог, за да се осигури най-добрия сложен процент на възвращаемост. Ако коефициентът е отрицателен (b< q/p) формулата дава отрицателен резултат, отчитайки че залагащия трябва да промени залога си точно наобратно. Например: в стандартната американска рулетка, на този, който залага му се предлага равен финал ,т.е. b=1, на червено, когато има 18 червени числа и 20 не-червени числа (p=18/38). Залогът на Кели е -1/19, това значи че залагащият трябва да избере една деветнайста от залога си ,че червеното няма да излезе. За нещастие, казиното задържа този залог за себе си, така че залагащия по стратегията на Кели няма да играе.

За залози, когато b=1 формулата може да се опрости до :

1

И щом p=1-q може да се доопрости и до следното:

2

Виж още:

хазарт;

собствен капитал;

сделка;

рулетка.

Източници:

Същност и доказателство

Ефективност на критерия