Геометрия

Произход

Думата произлиза от старогръцки: γεωμετρία; geo - „земя“,metri - „измерване“.

Определение

'Геометрията e клон на 'математиката, първоначално изучаващ отношенията в [['пространство]то], както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на [['числата]].

'Отначало геометрията е практична наука, която изучава 'разстояния, [['площи]] и [['обеми]], докато през III век пр.н.е. е създадена [['Евклидовата геометрия]], която установява стандарти за следващите столетия. [['Архимед]] разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на 'интегралното смятане. Въвеждането на 'координати от [['Рене Декарт]] и развитието на [['алгебра]та] бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от [['Ойлер]] и [['Карл Фридрих Гаус]], което води до създаването на 'топологията и 'диференциалната геометрия.

'По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на [['неевклидовата геометрия]] понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно пнятие.

Геометрията днес

Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и 'общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката - 'теория на струните е също геометрична в основата си.

Видове геометрия

Евклидова геометрия

Евклидовата геометрия е математическа система, разработена в [['Египет]] от древногръцкия математик 'Евклид от Александрия през III век пр.н.е. Неговото съчинение „'Елементи“ е завършен труд върху геометрията, който става една от най- известните и влиятелни книги в математиката и историята на човечеството като цяло. Евклид въвежда малък на брой 'аксиоми - 22, и на тяхна основа доказва много други твърдения ('теореми). Той пръв показва как тези твърдения могат да се обобщят в една дедуктивна логическа математична система. „Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те също така включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още [['стереометрия]]. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Аксиомите на Евклид са съвсем очевидни и лесно доказуеми в практиката, не е трудно човек да се убеди във верността им, затова те остават единствените в продължение на 2000 години.

Неевклидова геометрия

Неевклидовата геометрия е общ термин, обединяващ 'хиперболичната и 'елиптичната геометрия или всяка друга геометрия, която не е евклидова. Макар да е обобщено понятие, под него обикновено се подразбира 'сферична геометрия и 'геометрия на Лобачевски. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на 'успоредните прави. В евклидовата геометрия, ако са дадени права l и точка A, нележаща на l, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l. В хиперболичната геометрия съществуват 'безброй много прави през A, успоредни на l, а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.

Разлики между видовете геометрия

Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е ако човек си представи две прави в една двумерна повърхност, които са 'перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво 'разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат — следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.

Аналитична геометрия

'Аналитичната геометрия е дял от [['математика]та], която с помощта на 'алгебрични средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени 'координати и 'координатни системи. Тя дава възможността на геометричните обекти ('точки, 'прави, 'криви, 'равнини, 'повърхнини) да се съпоставят 'числа, които ги отличават едни от други.

Основите на тази математическа дисциплина са поставени от 'Рене Декарт (1596-1650) и 'Пиер дьо Ферма (1601-1665), а детайлното ѝ развитие е дело на 'Леонард Ойлер (1707-1783). Терминът „аналитична“ е въведен от 'Исак Нютон (1643-1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като например 'диференциалната геометрия, в която е внесен инструментариумът на 'математическия анализ и 'алгебричната геометрия, където се прилага теорията на 'алгебричните системи.

Диференциална геометрия

Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на 'математическия анализ и по-специално 'диференциалното смятане и теорията на 'диференциалните уравнения. Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има 'Карл Фридрих Гаус.

'При изследвания на пространства и 'многообразия в диференциалната геометрия се въвеждат 'координати по подобие на въвеждането на координати в 'аналитичната геометрия. В тези пространства се влагат други геометрични обекти — например 'криви и 'повърхнини, които се задават чрез 'уравнения и достатъчен брой пъти 'диференцируеми функции.

Десктриптивна геометрия

Дескриптивната геометрия ни дава методи за изобразяване на пространствените фигури върху една равнина, която обикновено се нарича чертожна равнина. Дескриптивната геометрия дава още и правила за решаване и на обратната задача, т.е. на задачата да разчитаме чертежи.

Основни задачи

Основните задачи на дескриптивната геометрия се свеждат до:

1. Даване на методи за пълното и точното изобразяване на пространствените фигури в чертожната равнина;

2. Даване на правилата за четенето на чертежа, така че от него да можем да съдим точно за вида, формата и размерите на фигурата, представена на чертежа.

''''Това се постига чрез различни проекционни методи, които съставят и предмета на дескриптивната геометрия. Изобразяването на пространствените фигури в чертожната равнина дескриптивната геометрия постига главно чрез проектирането.

Източници:

http://xn--80adebfdatafo4ajriolexj9y.com/

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://format.netne.net/geometria-6-klas.html

http://matematika.martinmarinov.info/index.php?no=44

Основните геометрични фигури и тела са: триъгълник;четириъгълник (квадрат; правоъгълник; успоредник; трапец; произволен четириъгълник) ;окръжност; кръг;

правилен многоъгълник; куб; паралелепипед ;правилна призма;правилна пирамида; прав кръгов цилиндър; прав кръгов конус; сфера и кълбо.

Аксиоми в геометрията

• Аксиома 1: Всяка права има безброй много точки.
• Аксиома 2: През две различни точки минава само една права.
• Аксиома 3: Аксиома за еднозначно нанасяне на отсечка върху лъч: Ако две равни отсечки се нанесат върху лъч, краищата им съвпадат.
• Аксиома 4: Аксиома за еднозначно нанасяне на ъгъл: Ако два равни ъгъла се нанесат в една полуравнина с общо рамо върху контура й вторите им рамене съвпадат.
• Аксиома 5: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.

            За нуждите на стереометрията, освен посочените пет аксиоми, ще вземем и следните четири:

• Аксиома 6: Ако две различни точки от една права лежат в една равнина, то и правата лежи в равнината.
• Аксиома 7: Ако две различни равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка.
• 'Аксиома 8: През всеки три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.
• Аксиома 9: Всяка равнина разделя пространството на две части така, че съединителната отсечка на две точки от една част няма обща точка с равнината, а съединителната отсечка на две точки от различни части, има обща точка с равнината.