|
|
| Ред 33: |
Ред 33: |
| | | | |
| | При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1. | | При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1. |
| − |
| |
| − | ==Нормално разпределение==
| |
| − |
| |
| − | Tерминът “разпределение на признака” се използва за означаване на съответствието между значенията на случайната величина и техните абсолютни или относителни честоти. Тъй като статистическите проучвания се основават на изследването на извадки, това разпределение се нарича [[Емпирично разпределение|емпирично]]. Ако то се онагледи графично, по [[конфигурация]]та на графичния образ може да се съди за закономерността, на която е подчинено изучаваното масово явление, и да се търси аналог сред т.нар. теоретични разпределения.
| |
| − |
| |
| − | Изключително важно място в теорията на статистиката заема [[Гаус-Лапласово разпределение|нормалното разпределение]]. То носи наименованието Гаус-Лапласово по имената на немския математик [[Карл Фридрих Гаус]] (1777 – 1855) и френския математик [[Пиер Симон Лаплас]] (1739 – 1827), които са го изследвали и описали теоретично. Нормалното разпределение стои в основата на изясняване на важни положения от репрезентативните статистически проучвания, интервалното оценяване, проверката на хипотези, методите за изготвяне на нормативи и др.
| |
| − | Ще се спрем накратко на някои негови особености:
| |
| − | Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по- рядко се срещат.
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz6.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz7.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.
| |
| − |
| |
| − | Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz8.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz9.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Симетричността на разпределението се описва с показателя за [[асиметрия]] (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz10.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Където:
| |
| − |
| |
| − | m3 – трети централен момент
| |
| − |
| |
| − | S – стандартно отклонение
| |
| − |
| |
| − | Третият централен момент се изчислява по формула:
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz11.png]]
| |
| − |
| |
| − | Където:
| |
| − |
| |
| − | Xi – всяка една стойност на променливата в извадката
| |
| − |
| |
| − | п – обем на извадката
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
| |
| − |
| |
| − | Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.
| |
| − |
| |
| − | Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя [[ексцес]] (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz12.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за [[еталон]] връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
| |
| − |
| |
| − | Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.
| |
| − |
| |
| − | Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки
| |
| − | [[File:variacionenanaliz13.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | и [[File:variacionenanaliz14.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz15.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz16.png]]
| |
| − |
| |
| − | Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz17.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz16.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | От фигурата се вижда, че в интервала:
| |
| − |
| |
| − | * От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
| |
| − | * От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
| |
| − | * От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Свойствата на нормалното разпределение имат голямо приложение в научно-изследователската дейност в спорта и физическото възпитание. Те дават възможност:
| |
| − |
| |
| − | 1. Да се изграждат нормативи по [[Сигмален метод|сигмалния метод]]. В таблицата са дадени границите и словесните оценки на норматив по пет степенната скала на Щефко:
| |
| − |
| |
| − | [[File:variacionenanaliz18.png]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | 2. Да се оценява всяко едно значение на променливата величина. За целта се ползва т.нар. Z-оценка, която представлява нормираната стойност на оценяваното значение. Очевидно е, че ако стойността на оценяваната величина е под средното равнище, нейната Z–оценка е отрицателна. Ако съвпада с центъра на разпределението, Z е 0, а ако е по-голяма от него - положително число.
| |
| | | | |
| | ==Вижте още== | | ==Вижте още== |
Графика на нормално разпределение
Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини.
Същност
Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.
История
Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
Дефиниция
Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:
Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):
Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).
Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
Вижте още
Източници
- Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
- Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
- Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
- Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
- Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
- Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката
Външни препратки
