Нормално разпределение

Нормално разпределение.

Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини.

Същност

Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.

История

Пиер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./.

Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.

Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre) /1667-1754г./.

Карл Фридрих Гаус (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./.

Дефиниция

Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:

Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.

В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):

Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).

Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,

При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.

Свойства

Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини..

Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:

• Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
• Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над абсцисната ос.
• Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
• Нормалното разпределение се определя напълно от математическото очакване /средната/ и стандартното отклонение. Математическото очакване определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
• Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
• Максимумът на функцията /максималната ордината на кривата/ е :

• На разстояние ± σ от средната кривата има две инфлексни точки, в които тя преминава от вдлъбната в изпъкнала и обратно.

Нормално разпределение

Tерминът “разпределение на признака” се използва за означаване на съответствието между значенията на случайната величина и техните абсолютни или относителни честоти. Тъй като статистическите проучвания се основават на изследването на извадки, това разпределение се нарича емпирично. Ако то се онагледи графично, по конфигурацията на графичния образ може да се съди за закономерността, на която е подчинено изучаваното масово явление, и да се търси аналог сред т.нар. теоретични разпределения.

Изключително важно място в теорията на статистиката заема нормалното разпределение. То носи наименованието Гаус-Лапласово по имената на немския математик Карл Фридрих Гаус (1777 – 1855) и френския математик Пиер Симон Лаплас (1739 – 1827), които са го изследвали и описали теоретично. Нормалното разпределение стои в основата на изясняване на важни положения от репрезентативните статистически проучвания, интервалното оценяване, проверката на хипотези, методите за изготвяне на нормативи и др. Ще се спрем накратко на някои негови особености: Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по- рядко се срещат.

Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.

Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.

Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.

Симетричността на разпределението се описва с показателя за асиметрия (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).

Където:

m3 – трети централен момент

S – стандартно отклонение

Третият централен момент се изчислява по формула:

Където:

Xi – всяка една стойност на променливата в извадката

п – обем на извадката

Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.

Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.

Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя ексцес (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).

Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за еталон връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).

Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.

Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.

Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки

и

представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:

Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.

Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.

От фигурата се вижда, че в интервала:

• От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
• От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
• От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.

Свойствата на нормалното разпределение имат голямо приложение в научно-изследователската дейност в спорта и физическото възпитание. Те дават възможност:

1. Да се изграждат нормативи по сигмалния метод. В таблицата са дадени границите и словесните оценки на норматив по пет степенната скала на Щефко:

2. Да се оценява всяко едно значение на променливата величина. За целта се ползва т.нар. Z-оценка, която представлява нормираната стойност на оценяваното значение. Очевидно е, че ако стойността на оценяваната величина е под средното равнище, нейната Z–оценка е отрицателна. Ако съвпада с центъра на разпределението, Z е 0, а ако е по-голяма от него - положително число.

Вижте още

• Франсис Галтон
• Бейсова вероятност
• Вариационен анализ
• Показатели за средно равнище
• Показатели за разсейване
• Вероятностно разпределение
• Стандартно отклонение
• Модел на Марковиц
• Закон на средната
• Логнормално разпределение
• Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление

Източници

• Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
• Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
• Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
• Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
• Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
• Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката

Външни препратки

• Формули по статистика
• Лихва. Комбинаторика. Статистика.
• Статистически функции в MS Office
• Задачи по статистика