Видове функции (математика)

Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Функциите биват различни видове.

=Явни, неявни

Явна (експлицитна), когато се дефинира чрез равенство от вида: y = f(x), т.e. равенство, което е решено спрямо у. Например явни са следните функции: y = sinx, y = x - 3vx, y = lnx + 5 Aкo дефиниционното равенство на функцията у не е решено спрямо у , а именно y = f(x,у) = 0 то функцията е неявна (имплицитна). Например: 3у2 - 2x + x3 = 0 ; y4 - sinx = 0 са неявни. Една неявна функция може да се обърне в явна, когато можем да превърнем дефинационното равенство от нерешено спрямо у в решено спрямо у.

Прави и обратни

Ако приемем, че функцията f(x) е права, то за да получим обратната функция на f(x), постъпваме така: в равенството y = f(x), заменяме х с у и у с х и получаваме х = f(у), след това решаваме това равенство спрямо у: у = g(x). Така получената функция g(x) се нарича обратна на правата функция f(x), обаче може да се каже и обратното, т.е. че g(x) е права, а f(x) обратна функция. Например, ако ex е правата функция, то обратната й ще бъде ln x, защото имаме последователно у = ex; х = eу; ln eу = ln x или y ln e = ln x; т.е. у = ln x

Еднозначни и многозначни

Една функция f(x), наричаме еднозначна, когато на всяка допустима стойност на х отговаря една и само една реална стойност на у. Например функциите у = cos x, y = ln x, y = 5x2 - 3sin x са еднозначни. Ако на една допустима стойност на х отговарят две или повече реални стойности на една функция, то функцията е многозначна. Пример за многозначни функции: у2 = 5х4 + 2 (у2 - 6х4)(у2 - sin2x) = 0 Първото от тези равенства ни дефинира двузначна функция, второто четеризначна.

Ограничени и неограничени

Функциите на един аргумент (от друга гледна точка) се делят на ограничени и неограничен и в даден интервал (а, b). Функцията f(x), казваме че е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две числа А, В такива, че А ≤ f(x) ≤ В за всяко х ε( а, b). С други думи, функцията f(x) е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две успоредни на абсцисната ос прави у = А и у = В такива, че частта от графиката на f(x), лежаща над (или под) интервала (а, b), е заключена между тях. В противен случай, функцията f(x),се смята за неограничена в интервала (а, b). Така например следните функции са ограничени в посочените интервали: y = sin x в интервала (-∞, +∞) у = cos x (-∞, +∞) y = 5x2 +x (A, В), където А и В са две дадени реални числа (В > А) у = 5/х (1/2, 10) у = ln (1 + x) (0, B), където В > 0 Следните функции са неограничени: у = 5/х в интервала (0, 10) у = ln (1 + x) (-1, B), където В дадено число > -1 у = 2/(3 – х) (-∞, 3)

Четни и нечетни

Функциите се делят още на четни, нечетни и функции, които са нито четни нито нечетни. Функцията f(x), дефинирана в интервала (-а, +а) където а е дадена положителна константа, се нарича четна, ако за всяко хот този интервал е в сила равенството: f(- x) = f(x) Така например функцията cos x е четна, защото е дефинирана в интервала (-∞, +∞) и за всяко х от този интервал е в сила равенството cos(-x) = cos x Eто още няколко примера за четни функции y = |х| с дефиниционен интервал (-∞, +∞) y = х2 + 3cos(x) където x ε (-∞, +∞) y = x.sin(x) където x ε (-∞, +∞) y = √(9 - x) където x ε (-3, +3) y = ln (a 4 - x 4 където x ε (-a, +a) където а е дадено положително число. Известни е, че графиката на една четна функция е симетрично разположена спрямо ординатната ос. Функцията f(x), която е дефинирана в интервала (-а, +а), където а(a > 0) е дадена константа, се нарича нечетна, когато за всяко х ε(-а, + а) е в сила равенството f(-x) = - f(x). Така например нечетни са следните функции: sin(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), x3, x.cos(x), 2x3 + cotg x Графиката на една нечетна функция е симетрично разположена спрямо началото О (0, 0) на координатната система.

Периодични функции

Графики на функциите y = log3 x и y = log1/3 .

Графика на квадратна функция.

Графика на линейна функция.

Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангес, секанс, косеканс.

Функцията f(x), наричаме периодична с период w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w). Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата: sin (x + 2π) = sin x cos (x + 2π) = cos x Равенствата, показват, че tg x и cotg x са периодични с период π. tg (x + π) = tg x cotg (x + π) = cotg (x)

Прости и съставни

Функциите се разделят още на прости и съставни. Ако f(u) e проста функция на променливата u, a и u e функция на х, т.е. u = u(x), то тогава функцията у = f[u(x)] e сложна(съставна) функция на х (или функция от функция). За сложната функция у = f[u(x)], функцията u(x) се нарича неин междинен аргумент. Една съставна функция може да има не само един, а няколко междинни аргумента. Например: f1{u[v(x)]} За една функция у на х се казва, че е параметрично зададена ако е дефинирана с две равенства от вида: |х = f(t) |y = z(t) kъдето f и z са познати функции на една независима променлива t, която се нарича параметър и която се мени в даден интервал (а, b) Интервалът може да бъде затворен, отворен или полузатворен.

Линейна функция

Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната система, а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy.

Квадратна функция

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа. Квадратната функция е цяла рационална функция.

Логаритмична функция

y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща.

Тригонометрични функции

y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π.

Растенe, намаляване на функция

Ако f(x) е една функция, дефинирана в D, то: f(x) е растяща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) < f(x2) f(x) е намаляваща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) > f(x2)

Вижте още

• Джон Стюарт Мил
• Комплексност
• Джон фон Нойман
• Геометрия
• Променлива в математиката
• Функция (математика)

Източници

• Видове функции
• Линейна функция
• Квадратна функция

Външни препратки

• Статистическа електронна книга (Ebook)
• Статистика (OECD)
• Сайт за Статистическа наука (Мелбълнски университет)