|
|
| Ред 11: |
Ред 11: |
| | | | |
| | Днес геометрията има близки връзки с [[физика]]та, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката - теория на струните е също геометрична в основата си. | | Днес геометрията има близки връзки с [[физика]]та, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката - теория на струните е също геометрична в основата си. |
| − |
| |
| − | ==Видове геометрия==
| |
| − |
| |
| − | ===Евклидова геометрия===
| |
| − |
| |
| − | Евклидовата геометрия е математическа система, разработена в [http://bg.wikipedia.org/wiki/Египет Египет] от древногръцкия математик [http://bg.wikipedia.org/wiki/Евклид Евклид от Александрия] през III век пр.н.е. Неговото съчинение „[http://bg.wikipedia.org/wiki/Елементи Елементи]“ е завършен труд върху геометрията, който става една от най- известните и влиятелни книги в математиката и историята на човечеството като цяло. Евклид въвежда малък на брой [http://bg.wikipedia.org/wiki/Аксиома аксиоми] - 22, и на тяхна основа доказва много други твърдения ([http://bg.wikipedia.org/wiki/Теорема теореми]). Той пръв показва как тези твърдения могат да се обобщят в една дедуктивна логическа математична система. „Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те също така включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още [http://bg.wikipedia.org/wiki/Стереометрия стереометрия]. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Аксиомите на Евклид са съвсем очевидни и лесно доказуеми в практиката, не е трудно човек да се убеди във верността им, затова те остават единствените в продължение на 2000 години.
| |
| − |
| |
| − | ===Неевклидова геометрия===
| |
| − |
| |
| − | Неевклидовата геометрия е общ термин, обединяващ [http://bg.wikipedia.org/wiki/Хипербола хиперболичната] и [http://bg.wikipedia.org/wiki/Елипса елиптичната] геометрия или всяка друга геометрия, която не е евклидова. Макар да е обобщено понятие, под него обикновено се подразбира [http://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Сферична_геометрия&action=edit&redlink=1 сферична геометрия] и [http://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Геометрия_на_Лобачевски&action=edit&redlink=1 геометрия на Лобачевски]. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Успоредност успоредните прави ] . В евклидовата геометрия, ако са дадени права 'l' и точка 'A', нележаща на 'l', то през 'A' може да се прекара само една права, успоредна на 'l'. В хиперболичната геометрия съществуват
| |
| − | http://bg.wikipedia.org/wiki/Безкрайност безброй ] много прави през ''A'', успоредни на ''l'', а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.
| |
| − |
| |
| − | ==Разлики между видовете геометрия==
| |
| − |
| |
| − | Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е ако човек си представи две прави в една двумерна повърхност, които са [http://bg.wikipedia.org/wiki/Перпендикуляр перпендикулярни ] на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво [http://bg.wikipedia.org/wiki/Разстояние разстояние ] една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат — следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.
| |
| − |
| |
| − | ==Аналитична геометрия==
| |
| − |
| |
| − | Аналитичната геометрия е дял от [http://bg.wikipedia.org/wiki/Математика] математиката , която с помощта на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Алгебра алгебрични ] средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени [http://bg.wikipedia.org/wiki/Координати координати ] и [http://bg.wikipedia.org/wiki/Координатна_система координатни системи ] . Тя дава възможността на геометричните обекти ( [http://bg.wikipedia.org/wiki/Точка точки ] , [http://bg.wikipedia.org/wiki/Права прави ] , [http://bg.wikipedia.org/wiki/Крива криви ] , [http://bg.wikipedia.org/wiki/Равнина_(математика) равнини ] , [http://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Повърхнина&action=edit&redlink=1 повърхнини ] ) да се съпоставят [http://bg.wikipedia.org/wiki/Число числа ] , които ги отличават едни от други.
| |
| − |
| |
| − | Основите на тази математическа дисциплина са поставени от [http://bg.wikipedia.org/wiki/Рене_Декарт Рене Декарт ] (1596-1650) и [http://bg.wikipedia.org/wiki/Пиер_дьо_Ферма Пиер дьо Ферма ] (1601-1665), а детайлното ѝ развитие е дело на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Леонард_Ойлер Леонард Ойлер ] (1707-1783). Терминът „аналитична“ е въведен от [http://bg.wikipedia.org/wiki/Исак_Нютон Исак Нютон ] (1643-1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като например [http://bg.wikipedia.org/wiki/Диференциална_геометрия диференциалната геометрия ] , в която е внесен инструментариумът на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Математически_анализ математическия анализ ] и [http://bg.wikipedia.org/wiki/Алгебрична_геометрия алгебричната геометрия ] , където се прилага теорията на [http://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Алгебрична_система&action=edit&redlink=1 алгебричните системи ] .
| |
| − |
| |
| − | ==Диференциална геометрия==
| |
| − |
| |
| − | Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Математически_анализ математическия анализ ] и по-специално [http://bg.wikipedia.org/wiki/Диференциално_и_интегрално_смятане диференциалното смятане ] и теорията на [http://bg.wikipedia.org/wiki/Диференциално_уравнение диференциалните уравнения ] . Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има [http://bg.wikipedia.org/wiki/Карл_Фридрих_Гаус Карл Фридрих Гаус ].
| |
| − |
| |
| − | При изследвания на пространства и [http://bg.wikipedia.org/wiki/Многообразие многообразия ] в диференциалната геометрия се въвеждат [http://bg.wikipedia.org/wiki/Координати координати ] по подобие на въвеждането на координати в [http://bg.wikipedia.org/wiki/Аналитична_геометрия аналитичната геометрия ] . В тези пространства се влагат други геометрични обекти — например [http://bg.wikipedia.org/wiki/Крива криви ] и [http://bg.wikipedia.org/w/index.php?title=Повърхнина&action=edit&redlink=1 повърхнини ] , които се задават чрез [http://bg.wikipedia.org/wiki/Уравнение уравнения ] и достатъчен брой пъти [http://bg.wikipedia.org/wiki/Диференцируемост диференцируеми ] функции.
| |
| − |
| |
| − | ==Десктриптивна геометрия==
| |
| − |
| |
| − | Дескриптивната геометрия ни дава методи за изобразяване на пространствените фигури върху една равнина, която обикновено се нарича [[чертожна равнина]]. Дескриптивната геометрия дава още и правила за решаване и на обратната задача, т.е. на задачата да разчитаме чертежи.
| |
| | | | |
| | ==Основни задачи== | | ==Основни задачи== |
| Ред 68: |
Ред 37: |
| | Основните геометрични фигури и тела са: триъгълник;четириъгълник (квадрат; правоъгълник; успоредник; трапец; произволен четириъгълник) ;окръжност; кръг;правилен многоъгълник; куб; паралелепипед ;правилна призма;правилна пирамида; прав кръгов цилиндър; прав кръгов конус; сфера и кълбо. | | Основните геометрични фигури и тела са: триъгълник;четириъгълник (квадрат; правоъгълник; успоредник; трапец; произволен четириъгълник) ;окръжност; кръг;правилен многоъгълник; куб; паралелепипед ;правилна призма;правилна пирамида; прав кръгов цилиндър; прав кръгов конус; сфера и кълбо. |
| | ==Вижте още== | | ==Вижте още== |
| − | | + | *[[Аксиоми в геометрията]] |
| | *[[Питагорова теорема]] | | *[[Питагорова теорема]] |
| | *[[Формула Брахмагупта]] | | *[[Формула Брахмагупта]] |
Думата произлиза от старогръцки: γεωμετρία; geo - „земя“,metri - „измерване“. Геометрията e клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата.
Възникване
Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на Алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия.
По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на неевклидовата геометрия понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно понятие.
Геометрията днес
Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката - теория на струните е също геометрична в основата си.
Основни задачи
Основните задачи на дескриптивната геометрия се свеждат до:
- Даване на методи за пълното и точното изобразяване на пространствените фигури в чертожната равнина;
- Даване на правилата за четенето на чертежа, така че от него да можем да съдим точно за вида, формата и размерите на фигурата, представена на чертежа.
Това се постига чрез различни проекционни методи, които съставят и предмета на дескриптивната геометрия. Изобразяването на пространствените фигури в чертожната равнина дескриптивната геометрия постига главно чрез проектирането.
Аксиоми в геометрията
- Аксиома 1: Всяка права има безброй много точки.
- Аксиома 2: През две различни точки минава само една права.
- Аксиома 3: Аксиома за еднозначно нанасяне на отсечка върху лъч: Ако две равни отсечки се нанесат върху лъч, краищата им съвпадат.
- Аксиома 4: Аксиома за еднозначно нанасяне на ъгъл: Ако два равни ъгъла се нанесат в една полуравнина с общо рамо върху контура й вторите им рамене съвпадат.
- Аксиома 5: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.
За нуждите на стереометрията, освен посочените пет аксиоми, ще вземем и следните четири:
- Аксиома 6: Ако две различни точки от една права лежат в една равнина, то и правата лежи в равнината.
- Аксиома 7: Ако две различни равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка.
- Аксиома 8: През всеки три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.
- Аксиома 9: Всяка равнина разделя пространството на две части така, че съединителната отсечка на две точки от една част няма обща точка с равнината, а съединителната отсечка на две точки от различни части, има обща точка с равнината.
Основните геометрични фигури и тела са: триъгълник;четириъгълник (квадрат; правоъгълник; успоредник; трапец; произволен четириъгълник) ;окръжност; кръг;правилен многоъгълник; куб; паралелепипед ;правилна призма;правилна пирамида; прав кръгов цилиндър; прав кръгов конус; сфера и кълбо.
Вижте още
Източници
- John H. Conway, Richard Guy, The Book of Numbers
- Ian Stewart, Galois Theory, Third Edition (Chapman Hall/CRC Mathematics Series)
- Michael Spivak, Calculus, 4th edition
- S. MacLane, Mathematics: Form and Function
Външни препратки
