Стохастичен процес

В теорията на вероятностите стохастичния процес, наричан понякога случаен прoцес, е двойник на детермининантния процес (или детерминистична система). Случаите, при които протича се характеризират с няколко възможни алтернативи на реализация. Те могат да бъдат с равномерно и неравномерно разпределени и са с известна неопределеност при осъществяването им, което е описано в вероятностните дистрибуции. Това означава,че дори и ако първоначалното състояние (или начална точка) е известно, има различни възможности за протичане на процеса, макар едни да са по-вероятни от други.

При най-елементарният развой на дейността (дискретно време), стохастичният процес включва поредица от случайни величини, известни като динамичен ред (например, виж Марковска верига). Друг основен тип стохастичен процес е произволната функция, която има постоянно променящи се стойности на аргументите, известна още като произволно поле, чийто обхват е определено място. Според един от подходите за стохастични процеси тези променливи се третират като функции на един или няколко детерминирани аргумента (суровини, отнесени към момента), чиито стойности (резултати) са случайни величини: не са детерминирани (единични) количествата, които имат определени вероятностни разпределения. Случайните величини, съответстващи на различните интервали от време (или точки в случая на произволни полета) могат да имат съвсем различни стойности. Основното изискване е тези нееднакви случайни величини да бъдат еднакъв тип (погледнато математически да имат едно и също ческо). Най-често биват вземани под внимание случайте, в които произволните стойности на стохастичните процеси показват сложни зависимости, макар и по различно време да могат да бъдат независими случайни величини.

Случайните процеси възникват в реални ситуации и често срещани примери за дейности, моделирани като стохастични динамични редове включват фондовия пазар и колебанията във валутния курс, сигнали като реч, аудио, видео, медицински данни, като например ЕКГ, ЕЕГ, кръвно налягане и температура, и случайно движение, брауново движение или случайни разходки. Примери за произволни полета са статични изображения, случайни терени (пейзажи) или съчетаване на вариациите на разнородните метали.

Въведение

Случайна величина

Ако означим примерно пространство с Ω = {ω}, то функцията ξ(ω), ω ∈ Ω

Ω -ξ R

се нарича случайна величина. Обикновенно описанието на случаен принцип с променливо състояние ξ (ω) се задава във връзка с разпределението му във фукцията

F(x) = P(ω : ξ(ω) ≤ x), x ∈ R,

където P (вероятностната мярка) е фънкция трансформираща подгрупите на Ω в интервала [0,1]

Ω P [0,1]

и е такава, че P(Ω) = 1, P(∅) = 0.

Случаен вектор

Това в вектор ξ(ω) = (ξ1(ω),....., ξn(ω)), който е вписан чрез случайни променливи. Освен това случайният вектор се характеризира с функцията:

F(x1, …., xn) = P(ω: ξ1(ω) ≤ x1, ……., ξn(ω) ≤ xn).

Случаен процес

Векторът ξ(ω) = (ξ1(ω),....., ξn(ω)) би могъл да се разглежда като случайна последователност (процес), ако k=1, ....., n, .... се разглеждат като времеви моменти. Формално погледнато при случайна последователност функционалното разпределение на значимите стойности на аргументите се разглежда като:

F(x1, …., xn) = P(ω: ξ1(ω) ≤ x1, ……., ξn(ω) ≤ xn).

За непрекъснат процес от време, семейството на случайните величини ξt(ω), параметризирана от t ≥ 0, или −∞ < t < ∞ се нарича непрекъснат случаен процес. За фиксирани t0, ξt0(ω) е случайна величина, докато за фиксираните ω0 функцията ξt(ω0) на аргумент t се наричакрива (или път) на случайния процес ξt(ω). Тази крива може да е прекъсната или непрекъсната функция. Ако всички пътища на случайния процес са непрекъснати, то тогава той се нарича „продължителен процес”. При разглеждане на продължителните процеси крайните измерими разпределения се въвеждат:

Ft1….,tn(x1, …., xn) = P(ω: ξt1(ω) ≤ x1, ……., ξtn(ω) ≤ xn).

Дефиниция

Като се има предвид вероятностното пространство , 'стохастичнен процес' (или случаен процес) със статичнст в пространството X е съвкупност от X-ценени случайни величини, индексирани с T ("време"). Т.е. стохастичният F процес е съвкупност

Където всяко F е X-ценена случайна величина.

В случай, че модификацията G на процеса F е стохастичен процес на същата статичност в пространството оценена с параметър T

Модификацията е неразличима в случай, че

Крайни измерими разпределения

Нека F да е X-ценен стохастичен процес. За всяко крайно подмножество , ние можем да напишем , където и ограничението е случайна величина заемаща стойности Xк. Разпределението на тази случайна величина е вероятност от Xк. Такива случайни величини се наричат крайни измерими разпределения на F.

При подходящи типологични ограничения, подходящо „последователно” събиране на крайни измерими разпределения, може да бъде използвано за определяне на стохастичния процес (виж Кологорово разширение в следващия раздел).

Структура

В теорията на вероятностите с помощта на теорията на мярката, проблемът е средоточен върху построяването на сигма-алгебрата на измеримите подгрупи на мястото на всички функции и след това да бъде наложено ограничение. За тази цел традиционно се използва метод наречен Колмогорова теорема.

Има най-малко една алтернатива в теорията на вероятностите със значение на очакване на С-звездни алгебри на случайни величини. В този случай се използва метод свързан с името на Гелфанд-Наймарк-Сегал структурата.

Това е аналогия на два подхода за измерване и интеграция, където при единият има възможност за избор между алтернативи, а именно - да се изгрдят мерки относно групите и след това да определят интегралите или да създадът интеграли и след това да определят мерките като интеграли на характеризиращите функции.

Колмогорова теорема

Когато два процеса {t,t  T} и {t,t  T} притежават следните характеристики – за всяко t  T, t = t почти сигурно, т.е. t() = t(), за почти всяко то казваме, че са стохастически еквивалентни и при тях най-често се използва Колмогоравата теорема.

Друг начин, по който може да се представи теоремата е следният: ако предположим, че вероятностната мярка за пространството на всички функции съществува, то тя може да бъде използвана при крайните тримерни случайни величини. Сега от това n-измеримо вероятностно разпределение се извежда едно (N - 1) измеримо пределно вероятностно разпределение на. Трябва да се вземе под внимание, че не се посочва като изискване да има съвместимост, т.е. това пределно вероятностно разпределение да е в същия клас с пълен, напълно завършен стохастичен процес. Подобно условие е на лице например ако стохастичния процес е процес на Винер (в случая ограничения са Гаус-разпределения в експоненциалния клас), но това не се отнася попринцип за всички стохастични процеси. Когато това условие е изразено от гледна точка на плътността на вероятността се използва Челман-Колмогоровтото уравнение.

В теоремата Колмогоров е удовлетворено състоянието на съвместимост при теоремата Челман-Колмогоров, при която се гарантира съществуването на стохастичен процес с определена група от крайно измерими вероятностни разпределения.

Отделимост, или това, което Колмогровата теорема не включва

Както вече бе обяснено, Колмогоровата теорема включва групи с измерима вероятност или с други думи казано, групи с полярни възможни алтернатива като резултат. Теоремата на Колмогоров започва с условието, че всички групи трябва да бъдат измерени, да бъдат ограничени всчки функции, където се съсредоточават много координати, като са концентрирани в измерими подгрупии Yn.

В теорията на мярката , ако имаме безкрайно изброяване на измерими групи, то съвкупността и пресечната точка на всички тези групи е измерима група. За нашата цел това означава, че възможните алтернативи на развитие с полярен характер зависят от изброяването на много координати имащи вероятностен характер при получаването на отговор.

Колмогоровата теорема дава възможност за изграждане на стохастичен процес с сравнително произволно крайно измеримо разпределение. Също така всеки въпрос, който може да бъде зададен относно поредицата има отговор с вероятностен характер, когато става дума за случайна последователност. Но трябва да се има предвид, че определени въпроси относно функция за непрекъснат домейн нямат вероятностен характер. Въпросите, които зависят от безкрайните стойности на функцията включват почти всички понятия от математическия анализ. Например:

1. Ограниченост
2. Непрекъснатост
3. Диференцируемост

Всички тези понятия изискват познания относно безкрайните стойности на функцията.

Едно от решенията на този проблем се изразява в това, че стохастичният процес има свойството отделимост, т.е. произволно избрано множество координати {f(xi)}, чийто стойности определят цялата случайна функция.

Примери и специални случаи

Време

Важен е случаят, когато времето е само дискретна съвкупност, например целите положителни числа {0,1,2,3....}. Друг специфичен случай, е когато .

Стохастичният процес може да бъде определен и с по-големи размери, като се прибави и мултивариантната случайна величина за всяка индексирана точка, което е еквивалент на използването на многомерните групи от индекси. Всъщност една мултивариантна случайна величина може да се разглежда като стохастичен процес с индексирана група T = {1, ..., n}.

В стандартните случай при разглеждането на стохастичните процеси във векторното пространство неизменно се взима предвид средното време. Така например за последователност IID с крайни вариации по всяко време, обикновенната централна лимитирана теорема ни отвежда към разпределението на средните, което клони към Гаус. При безкрайните вариации, лимитираното разпределение се отнася към разпределението на Леви. Когато няма зависимост, неидентичнте разпределени редове са сходни, но с по-слаб резултат.

Примери

Парадигмата на непрекъснатия стохастичен процес се съсредоточава в процеса на Винер. В първоначалната си форма този процес разглежда състояноеито на плаващите частици по повърхността на течността, които при своето движение получават „ритници” от молекулите на течността. Частиците стават обект на случайна сила, която се разглежда като продълвитела при услови, че молекулите са много малки и са разположени много близко една до друга. Когато частиците са ограничени от повърхностното напрежение до повърхността на течността, то всяка стоиност във времето е успореден вектор на повърхността. Така случайната сила е описана от двукомпонентен стохастичен процес, две реално оценени случайни променливи са свързани с всяка точка от индексираната група, с времето (като се обърне вниманиев на факта, че течността се възприема като хомогенна сила е не зависи от пространствените координати), под влиянието на две случайни променливи, които са R (реални числа), даващи x и y компоненти на силата. А допълнението на Брауновото движение включва визкозитетния ефект, което от своя страна води до уравнението на движение известно като Лангевиново уравнение.

Ако индекът определен от този процес е N (естествени числа), а обхватът e R (реални числа), то възникват няколко естествени въпроса относно последоваятелността на процеса {Xi}i ∈ 'N , където простата последователност е {X(ω)i}i ∈ 'N..

Вижте още

• Списък на стохастични процеси
• Право
• Гилеспи алгоритъм
• Марковска верига
• Стохастично смятане
• DMP
• Ковариационна функция
• Ентропична ставка за стохастичен процес
• Стационарен процес

Източници

• Papoulis, Athanasios & Pillai, S. Unnikrishna (2001). Probability, Random Variables and Stochastic Processes
• J. L. Doob (1953). Stochastic Processes. Wiley.
• "An Exploration of Random Processes for Engineers"

Външни препратки

• An 8 foot tall Probability Machine (named Sir Francis) comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern. from Index Funds AdvisorsIFA.com
• Stochastic Processes used in Quantitative Finance, sitmo.com
• Addressing Risk and Uncertainty