Геометрия

геометрия

Думата произлиза от старогръцки: γεωμετρία; geo - „земя“,metri - „измерване“. Геометрията e клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата.

Възникване

Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на Алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия. По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на неевклидовата геометрия понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно понятие.

Геометрията днес

Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката - теория на струните е също геометрична в основата си.

Видове геометрия

Евклидова геометрия

Евклидовата геометрия е математическа система, разработена в [[Египет]] от древногръцкия математик Евклид от Александрия през III век пр.н.е. Неговото съчинение „Елементи“ е завършен труд върху геометрията, който става една от най- известните и влиятелни книги в математиката и историята на човечеството като цяло. Евклид въвежда малък на брой аксиоми - 22, и на тяхна основа доказва много други твърдения (теореми). Той пръв показва как тези твърдения могат да се обобщят в една дедуктивна логическа математична система. „Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те също така включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още [[стереометрия]]. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Аксиомите на Евклид са съвсем очевидни и лесно доказуеми в практиката, не е трудно човек да се убеди във верността им, затова те остават единствените в продължение на 2000 години.

Неевклидова геометрия

Неевклидовата геометрия е общ термин, обединяващ хиперболичната и елиптичната геометрия или всяка друга геометрия, която не е евклидова. Макар да е обобщено понятие, под него обикновено се подразбира сферична геометрия и геометрия на Лобачевски. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на успоредните прави . В евклидовата геометрия, ако са дадени права 'l' и точка 'A', нележаща на 'l', то през 'A' може да се прекара само една права, успоредна на 'l'. В хиперболичната геометрия съществуват http://bg.wikipedia.org/wiki/Безкрайност безброй ] много прави през A, успоредни на l, а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.

Разлики между видовете геометрия

Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е ако човек си представи две прави в една двумерна повърхност, които са перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат — следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.

Аналитична геометрия

Аналитичната геометрия е дял от [[ математика]та ] , която с помощта на алгебрични средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени координати и координатни системи . Тя дава възможността на геометричните обекти ( точки , прави , криви , равнини , повърхнини ) да се съпоставят числа , които ги отличават едни от други.

Основите на тази математическа дисциплина са поставени от Рене Декарт (1596-1650) и Пиер дьо Ферма (1601-1665), а детайлното ѝ развитие е дело на Леонард Ойлер (1707-1783). Терминът „аналитична“ е въведен от Исак Нютон (1643-1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като например диференциалната геометрия , в която е внесен инструментариумът на математическия анализ и алгебричната геометрия , където се прилага теорията на алгебричните системи .

Диференциална геометрия

Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на математическия анализ и по-специално диференциалното смятане и теорията на диференциалните уравнения . Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има Карл Фридрих Гаус .

При изследвания на пространства и многообразия в диференциалната геометрия се въвеждат координати по подобие на въвеждането на координати в аналитичната геометрия . В тези пространства се влагат други геометрични обекти — например криви и повърхнини , които се задават чрез уравнения и достатъчен брой пъти диференцируеми функции.

Десктриптивна геометрия

Дескриптивната геометрия ни дава методи за изобразяване на пространствените фигури върху една равнина, която обикновено се нарича чертожна равнина. Дескриптивната геометрия дава още и правила за решаване и на обратната задача, т.е. на задачата да разчитаме чертежи.

Основни задачи

Основните задачи на дескриптивната геометрия се свеждат до:

1. Даване на методи за пълното и точното изобразяване на пространствените фигури в чертожната равнина;

2. Даване на правилата за четенето на чертежа, така че от него да можем да съдим точно за вида, формата и размерите на фигурата, представена на чертежа.

Това се постига чрез различни проекционни методи, които съставят и предмета на дескриптивната геометрия. Изобразяването на пространствените фигури в чертожната равнина дескриптивната геометрия постига главно чрез проектирането.

Аксиоми в геометрията

• Аксиома 1: Всяка права има безброй много точки.
• Аксиома 2: През две различни точки минава само една права.
• Аксиома 3: Аксиома за еднозначно нанасяне на отсечка върху лъч: Ако две равни отсечки се нанесат върху лъч, краищата им съвпадат.
• Аксиома 4: Аксиома за еднозначно нанасяне на ъгъл: Ако два равни ъгъла се нанесат в една полуравнина с общо рамо върху контура й вторите им рамене съвпадат.
• Аксиома 5: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената.

За нуждите на стереометрията, освен посочените пет аксиоми, ще вземем и следните четири:

• Аксиома 6: Ако две различни точки от една права лежат в една равнина, то и правата лежи в равнината.
• Аксиома 7: Ако две различни равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка.
• Аксиома 8: През всеки три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.
• Аксиома 9: Всяка равнина разделя пространството на две части така, че съединителната отсечка на две точки от една част няма обща точка с равнината, а съединителната отсечка на две точки от различни части, има обща точка с равнината.

Основните геометрични фигури и тела са: триъгълник;четириъгълник (квадрат; правоъгълник; успоредник; трапец; произволен четириъгълник) ;окръжност; кръг;правилен многоъгълник; куб; паралелепипед ;правилна призма;правилна пирамида; прав кръгов цилиндър; прав кръгов конус; сфера и кълбо.

Източници:

http://xn--80adebfdatafo4ajriolexj9y.com/

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://format.netne.net/geometria-6-klas.html

http://matematika.martinmarinov.info/index.php?no=44