Вариационен анализ

Вариационният анализ илюстрира изследваните лица, които се различават (варират) по величината на наблюдаваните признаци. Вариацията е присъщо свойство на статистическите съвкупности. Ако тя не съществуваше, статистическите проучвания щяха да бъдат излишни. Тези различия са породени от различни по своето естество фактори, които най-общо се разделят на две категории: закономерни и случайни. Задача на статистическото проучване е да даде обобщаващи количествени характеристики на състоянието на изследвания признак. За целта е необходимо, на първо място, да се установи какво е типичното за дадената съвкупност значение на признака, за да се опише влиянието на закономерно действащите фактори. На второ място, от особена важност е характеризиране на разсейването, варирането на признаците, за да се отчете влиянието на случайните фактори.

Показатели за средно равнище

Показателите за средно равнище представляват обобщаващи количествени характеристики, с помощта на които се описва типичното, характерното състояние на изследвания признак. Най-често употребяваните показатели са мода (Mo), медиана (Me) и средна аритметична величина.

• Модата (Mo) е онази стойност, която има най-голяма абсолютна честота, т.е. която се повтаря най-голям брой пъти.
• Медианата (Ме) е онази стойност на променливата величина, която заема средно положение във вариационния ред и го дели на две равни части. Броят на стойностите, които са по-малки или равни на медианата, е равен на броя на тези, които са по-големи или съвпадат с нея.
• Средната аритметична величина е най-често използваният в научно-изследователската практика показател за средно равнище. Изчислява се по формула:

Където:

Х - сума на стойностите

п – обем на извадката

Показатели за разсейване

Показателите за разсейване дават количествена характеристика на тенденцията на отклоняване на стойностите от типичното, средното равнище. За измерване на статистическото разсейване най-често се използват показателите размах (R), стандартно отклонение (S), коефициент на вариация (V).

• Размахът (R) е най-елементарният измерител на статистическото разсейване. Той представлява разликата между най-голямата и най-малката стойност на променливата величина и носи информация за диапазона, в който варират значенията на признака. Изчислява се по формула:

Където:

Xmax - най-голямата стойност на променливата

Xmin - най-малката стойност на променливата

Тъй като в изчисляването на размаха участват само двете крайни стойности на вариационния ред, той е твърде неустойчив измерител на разсейването.

• Стандартното отклонение (S) е най-прецизният и често използван показател за разсейване. Неговият смисъл се изразява в това да измери степента на отклонение на стойностите на променливата величина от средната аритметична. Формулата, която го дефинира е:

Където:

Xi – всяка една стойност на променливата в извадката

п – обем на извадката

Изброените статистически показатели за разсейване изразяват степента на различията в същата мерна единица, в която е изследваният признак. Това не дава възможност за сравняване на вариацията на признаци, изразени в различни мерни единици, а в случай че са в една и съща мерна единица – относно различно средно равнище. За разрешаване на проблеми от подобно естество в статистиката се използва коефициентът на вариация (V %). Той се изчислява по формула:

Където:

S – стандартно отклонение на стойностите

• Коефициентът на вариация (V%) дава информация за разсейването на признака, изразено в проценти, което дава възможност за сравняване на вариацията на различни признаци. Освен това се ползва за оценяване на еднородността на извадката:
• Счита се, че разсейването на признака е малко (извадката е еднородна), когато стойността му е до 10-12%.
• Между 10 и 30% извадката е приблизително еднородна.
• Когато е над 30% разсейването на признака е голямо (извадката е силно нееднородна).

Нормално разпределение

Tерминът “разпределение на признака” се използва за означаване на съответствието между значенията на случайната величина и техните абсолютни или относителни честоти. Тъй като статистическите проучвания се основават на изследването на извадки, това разпределение се нарича емпирично. Ако то се онагледи графично, по конфигурацията на графичния образ може да се съди за закономерността, на която е подчинено изучаваното масово явление, и да се търси аналог сред т.нар. теоретични разпределения.

Изключително важно място в теорията на статистиката заема нормалното разпределение. То носи наименованието Гаус-Лапласово разпределение|Гаус-Лапласово по имената на немския математик Карл Гаус (1777 – 1855) и френския математик Пиер Лаплас (1739 – 1827), които са го изследвали и описали теоретично. Нормалното разпределение стои в основата на изясняване на важни положения от репрезентативните статистически проучвания, интервалното оценяване, проверката на хипотези, методите за изготвяне на нормативи и др. Ще се спрем накратко на някои негови особености: Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по- рядко се срещат.

Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.

Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.

Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.

Симетричността на разпределението се описва с показателя за асиметрия (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).

Където:

m3 – трети централен момент

S – стандартно отклонение

Третият централен момент се изчислява по формула:

Където:

Xi – всяка една стойност на променливата в извадката

п – обем на извадката

Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.

Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.

Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя ексцес (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).

Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за еталон връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).

Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.

Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.

Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки

и

представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:

Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.

Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.

От фигурата се вижда, че в интервала:

• От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
• От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
• От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.

Свойствата на нормалното разпределение имат голямо приложение в научно-изследователската дейност в спорта и физическото възпитание. Те дават възможност:

1. Да се изграждат нормативи по сигмалния метод. В таблицата са дадени границите и словесните оценки на норматив по пет степенната скала на Щефко:

2. Да се оценява всяко едно значение на променливата величина. За целта се ползва т.нар. Z-оценка, която представлява нормираната стойност на оценяваното значение. Очевидно е, че ако стойността на оценяваната величина е под средното равнище, нейната Z–оценка е отрицателна. Ако съвпада с центъра на разпределението, Z е 0, а ако е по-голяма от него - положително число.

Вижте още

• Решение
• Задача за решаване
• Закон за големите числа
• Корелация
• Отклонение
• Математическо очакване
• Дисперсия
• Модел
• Променлива
• Константа
• Рационално решение
• Следствие
• Извод

Източници

• Maxwell Roberts (Author), Riccardo Russo (Author) - A Student's Guide to Analysis of Variance
• Reader J . Rick Turner - Introduction to Analysis of Variance: Design, Analyis & Interpretation
• Barbara G. Tabachnick - Using Multivariate Statistics (5th Edition)
• Beverly Dretzke - Statistics with Microsoft Excel (4th Edition)
• Scott E. Maxwell - Designing Experiments and Analyzing Data: A Model Comparison Perspective, Second Edition
• Dr. Fred C. Pampel - Logistic Regression: A Primer (Quantitative Applications in the Social Sciences)

Външни препратки

• Вариационен анализ При групирани данни
• Вариация
• вариация на съвкупност
• Постоянна условна вариация
• Значение на вариация
• Анализ на вариацията
• Статистическо оценяване
• Вариационен анализ