Стохастичен процес

В теорията на вероятностите стохастичния процес, наричан понякога случаен прoцес, е двойник на детермининантния процес (или детерминистична система).

Същност

Случаите, при които протича се характеризират с няколко възможни алтернативи на реализация. Те могат да бъдат с равномерно и неравномерно разпределени и са с известна неопределеност при осъществяването им, което е описано в вероятностните дистрибуции. Това означава,че дори и ако първоначалното състояние (или начална точка) е известно, има различни възможности за протичане на процеса, макар едни да са по-вероятни от други.

При най-елементарният развой на дейността (дискретно време), стохастичният процес включва поредица от случайни величини, известни като динамичен ред (например, виж Марковска верига). Друг основен тип стохастичен процес е произволната функция, която има постоянно променящи се стойности на аргументите, известна още като произволно поле, чийто обхват е определено място. Според един от подходите за стохастични процеси тези променливи се третират като функции на един или няколко детерминирани аргумента (суровини, отнесени към момента), чиито стойности (резултати) са случайни величини: не са детерминирани (единични) количествата, които имат определени вероятностни разпределения. Случайните величини, съответстващи на различните интервали от време (или точки в случая на произволни полета) могат да имат съвсем различни стойности. Основното изискване е тези нееднакви случайни величини да бъдат еднакъв тип (погледнато математически да имат едно и също ческо). Най-често биват вземани под внимание случайте, в които произволните стойности на стохастичните процеси показват сложни зависимости, макар и по различно време да могат да бъдат независими случайни величини.

Случайните процеси възникват в реални ситуации и често срещани примери за дейности, моделирани като стохастични динамични редове включват фондовия пазар и колебанията във валутния курс, сигнали като реч, аудио, видео, медицински данни, като например ЕКГ, ЕЕГ, кръвно налягане и температура, и случайно движение, брауново движение или случайни разходки. Примери за произволни полета са статични изображения, случайни терени (пейзажи) или съчетаване на вариациите на разнородните метали.

Случайна величина

Ако означим примерно пространство с Ω = {ω}, то функцията ξ(ω), ω ∈ Ω

Ω -ξ R

се нарича случайна величина. Обикновенно описанието на случаен принцип с променливо състояние ξ (ω) се задава във връзка с разпределението му във фукцията

F(x) = P(ω : ξ(ω) ≤ x), x ∈ R,

където P (вероятностната мярка) е фънкция трансформираща подгрупите на Ω в интервала [0,1]

Ω P [0,1]

и е такава, че P(Ω) = 1, P(∅) = 0.

Случаен вектор

Това в вектор ξ(ω) = (ξ1(ω),....., ξn(ω)), който е вписан чрез случайни променливи. Освен това случайният вектор се характеризира с функцията:

F(x1, …., xn) = P(ω: ξ1(ω) ≤ x1, ……., ξn(ω) ≤ xn).

Случаен процес

Векторът ξ(ω) = (ξ1(ω),....., ξn(ω)) би могъл да се разглежда като случайна последователност (процес), ако k=1, ....., n, .... се разглеждат като времеви моменти. Формално погледнато при случайна последователност функционалното разпределение на значимите стойности на аргументите се разглежда като:

F(x1, …., xn) = P(ω: ξ1(ω) ≤ x1, ……., ξn(ω) ≤ xn).

За непрекъснат процес от време, семейството на случайните величини ξt(ω), параметризирана от t ≥ 0, или −∞ < t < ∞ се нарича непрекъснат случаен процес. За фиксирани t0, ξt0(ω) е случайна величина, докато за фиксираните ω0 функцията ξt(ω0) на аргумент t се наричакрива (или път) на случайния процес ξt(ω). Тази крива може да е прекъсната или непрекъсната функция. Ако всички пътища на случайния процес са непрекъснати, то тогава той се нарича „продължителен процес”. При разглеждане на продължителните процеси крайните измерими разпределения се въвеждат:

Ft1….,tn(x1, …., xn) = P(ω: ξt1(ω) ≤ x1, ……., ξtn(ω) ≤ xn).

Вижте още

• Стохастична апроксимация
• Марковска верига

Източници

• Papoulis, Athanasios & Pillai, S. Unnikrishna (2001). Probability, Random Variables and Stochastic Processes
• J. L. Doob (1953). Stochastic Processes. Wiley.
• "An Exploration of Random Processes for Engineers"

Външни препратки

• An 8 foot tall Probability Machine
• Stochastic Processes used in Quantitative Finance
• Addressing Risk and Uncertainty