Графично представяне на нормално разпределение

Нормалното разпределение може да се представи графично.

Същност

Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по-рядко се срещат.

Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.

Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.

Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.

Симетричността на разпределението се описва с показателя за асиметрия (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).

Където:

m3 – трети централен момент

S – стандартно отклонение

Третият централен момент се изчислява по формула:

Където:

Xi – всяка една стойност на променливата в извадката

п – обем на извадката

Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.

Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.

Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя ексцес (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).

Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за еталон връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).

Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:

Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.

Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.

Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки

и

представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:

Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.

Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.

От фигурата се вижда, че в интервала:

• От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
• От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
• От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.

Вижте още

• Свойства на нормалното разпределение
• Франсис Галтон
• Бейсова вероятност
• Вариационен анализ
• Показатели за средно равнище
• Показатели за разсейване
• Вероятностно разпределение
• Стандартно отклонение
• Модел на Марковиц
• Закон на средната
• Логнормално разпределение
• Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление

Източници

• Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
• Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
• Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
• Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
• Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
• Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката

Външни препратки

• Формули по статистика
• Лихва. Комбинаторика. Статистика.
• Статистически функции в MS Office
• Задачи по статистика