Видове функции (математика)

Графики на функциите y = log3 x и y = log1/3 .

Тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангес, секанс, косеканс.

Функция в математиката е съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност, като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Функциите биват различни видове.

Явни, неявни

Явна (експлицитна), когато се дефинира чрез равенство от вида: y = f(x), т.e. равенство, което е решено спрямо у. Например явни са следните функции: y = sinx, y = x - 3vx, y = lnx + 5 Aкo дефиниционното равенство на функцията у не е решено спрямо у , а именно y = f(x,у) = 0 то функцията е неявна (имплицитна). Например: 3у2 - 2x + x3 = 0 ; y4 - sinx = 0 са неявни. Една неявна функция може да се обърне в явна, когато можем да превърнем дефинационното равенство от нерешено спрямо у в решено спрямо у.

Прави и обратни

Ако приемем, че функцията f(x) е права, то за да получим обратната функция на f(x), постъпваме така: в равенството y = f(x), заменяме х с у и у с х и получаваме х = f(у), след това решаваме това равенство спрямо у: у = g(x). Така получената функция g(x) се нарича обратна на правата функция f(x), обаче може да се каже и обратното, т.е. че g(x) е права, а f(x) обратна функция. Например, ако ex е правата функция, то обратната й ще бъде ln x, защото имаме последователно у = ex; х = eу; ln eу = ln x или y ln e = ln x; т.е. у = ln x

Еднозначни и многозначни

Една функция f(x), наричаме еднозначна, когато на всяка допустима стойност на х отговаря една и само една реална стойност на у. Например функциите у = cos x, y = ln x, y = 5x2 - 3sin x са еднозначни. Ако на една допустима стойност на х отговарят две или повече реални стойности на една функция, то функцията е многозначна. Пример за многозначни функции: у2 = 5х4 + 2 (у2 - 6х4)(у2 - sin2x) = 0 Първото от тези равенства ни дефинира двузначна функция, второто четеризначна.

Ограничени и неограничени

Функциите на един аргумент (от друга гледна точка) се делят на ограничени и неограничен и в даден интервал (а, b). Функцията f(x), казваме че е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две числа А, В такива, че А ≤ f(x) ≤ В за всяко х ε( а, b). С други думи, функцията f(x) е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две успоредни на абсцисната ос прави у = А и у = В такива, че частта от графиката на f(x), лежаща над (или под) интервала (а, b), е заключена между тях. В противен случай, функцията f(x),се смята за неограничена в интервала (а, b). Така например следните функции са ограничени в посочените интервали: y = sin x в интервала (-∞, +∞) у = cos x (-∞, +∞) y = 5x2 +x (A, В), където А и В са две дадени реални числа (В > А) у = 5/х (1/2, 10) у = ln (1 + x) (0, B), където В > 0 Следните функции са неограничени: у = 5/х в интервала (0, 10) у = ln (1 + x) (-1, B), където В дадено число > -1 у = 2/(3 – х) (-∞, 3)

Четни и нечетни

Функциите се делят още на четни, нечетни и функции, които са нито четни нито нечетни. Функцията f(x), дефинирана в интервала (-а, +а) където а е дадена положителна константа, се нарича четна, ако за всяко хот този интервал е в сила равенството: f(- x) = f(x) Така например функцията cos x е четна, защото е дефинирана в интервала (-∞, +∞) и за всяко х от този интервал е в сила равенството cos(-x) = cos x Eто още няколко примера за четни функции y = |х| с дефиниционен интервал (-∞, +∞) y = х2 + 3cos(x) където x ε (-∞, +∞) y = x.sin(x) където x ε (-∞, +∞) y = √(9 - x) където x ε (-3, +3) y = ln (a 4 - x 4 където x ε (-a, +a) където а е дадено положително число. Известни е, че графиката на една четна функция е симетрично разположена спрямо ординатната ос. Функцията f(x), която е дефинирана в интервала (-а, +а), където а(a > 0) е дадена константа, се нарича нечетна, когато за всяко х ε(-а, + а) е в сила равенството f(-x) = - f(x). Така например нечетни са следните функции: sin(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), x3, x.cos(x), 2x3 + cotg x Графиката на една нечетна функция е симетрично разположена спрямо началото О (0, 0) на координатната система.

Периодични функции

Функцията f(x), наричаме периодична с период w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w). Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата: sin (x + 2π) = sin x cos (x + 2π) = cos x Равенствата, показват, че tg x и cotg x са периодични с период π. tg (x + π) = tg x cotg (x + π) = cotg (x)

Прости и съставни

Функциите се разделят още на прости и съставни. Ако f(u) e проста функция на променливата u, a и u e функция на х, т.е. u = u(x), то тогава функцията у = f[u(x)] e сложна(съставна) функция на х (или функция от функция). За сложната функция у = f[u(x)], функцията u(x) се нарича неин междинен аргумент. Една съставна функция може да има не само един, а няколко междинни аргумента. Например: f1{u[v(x)]} За една функция у на х се казва, че е параметрично зададена ако е дефинирана с две равенства от вида: |х = f(t) |y = z(t) kъдето f и z са познати функции на една независима променлива t, която се нарича параметър и която се мени в даден интервал (а, b) Интервалът може да бъде затворен, отворен или полузатворен.

Линейна функция

Графика на линейна функция.

Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната система, а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy.

Квадратни функции

Графика на квадратна функция.

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа. Квадратната функция е цяла рационална функция.

Логаритмични функции

y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща.

Тригонометрични функции

y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π.

Растенe, намаляване на функция

Ако f(x) е една функция, дефинирана в D, то: f(x) е растяща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) < f(x2) f(x) е намаляваща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме f(х1) > f(x2)

Вижте още

• Джон Стюарт Мил
• Комплексност
• Джон фон Нойман
• Геометрия
• Променлива в математиката
• Функция (математика)

Източници

• Видове функции
• Линейна функция
• Квадратна функция

Външни препратки

• Статистическа електронна книга (Ebook)
• Статистика (OECD)
• Сайт за Статистическа наука (Мелбълнски университет)