Логнормално разпределение

Логаритмично-нормалното разпределение е разпределението на случайна величина, чийто натурален логаритъм е нормално разпределен; с други думи, когато работим с логаритмично-нормално разпределение само променяме стойностите на случайната величина.

Същност

Например, времето ”t”, като log(t), както нормално разпределена. PDF-а на логаритмично-нормалното разпределение се описва с израза

f(x) = (1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) за x > 0 и

f(x) = 0 за x <0; където μ = Средно и σ = Стандартно Отклонение на ln(x).

Това разпределение има CDF-а изразен чрез следня интеграл

F(x) = 0∫x(1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) dx for x > 0

и функцията на надеждността се определя от интеграла

R(t) = t∫∞(1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) dx

Рисковата функция следва да е: h(t) = f(t)/R(t) Надеждностната, рисковата, CDF и PDF фунций за логаритмично-нормално разпределение на времето до отказ "t" със средно отклонение от 0,5 и стандартно отклонение от 1 са показани на фигурата в дясно

Някои емпирични разпределения в социалната област, в биологията, физиката, медицината и др. са умерено асиметрични. В такива случаи нормалното разпределение не може да се използва като теоретичен модел при тяхното изследване. Има обаче умерено асиметрични разпределения с положителна асиметрия, при което логаритмите на значенията на признаците се разпределят приблизително нормално. Те добре се описват от теоретичното логаритмично нормално (логнормално) разпределение.

Основните свойства на логаритмично-нормалното разпределение

• Това е едно непрекъснато разпределение
• Това разпределение е по-използваемо за различни цели от Нормалното, тъй като има редица форми. В случай на Нормално разпределение, долната граница трябва да бъде - ∞, но това няма смисъл на практика. Проблемът е, че площта под кривата на Нормалното разпределение става "единица", само ако е удължена до безкрайност и в двете посоки. Това не е възможно за събития зависещи от времето, където един нов елемент влиза в експлоатация в момента нула. Тази трудност е преодоляна благодарение на основното свойство на логаритмично-нормалното разпределение, тъй като има предимството да има стойност f(х) = 0 за х = 0.
• За пространствен параметър, медианата - m> 0 и средно аритметичната - μ > 0, следната връзка е доста полезна m = exp(μ) и μ = log(m)
• Графиката на функцията log*f(x)+ срещу log(x) изобразяваща права линия е тест за подходящо използване на логаритмично-нормалното разпределение.
• Когато μ>> σ, логаритмично-нормалноto разпределение се доближава до Нормалното.

Специфични приложения на логаритмично-нормалното разпределение

• Това разпределение се прилага в случаите, когато нивото на рисковата функция се увеличи до определена максимална стойност и след това намалява с течение на времето.
• Най-често се използва, за да опише поведението на механични и електромеханични устройства да определи началото на износването и да изчисли нивото на отказа от износването.
• Това разпределение, както и Нормалното зависят от възрастта на обекта. Това е в основата на главното му приложение в анализа на поддръжката.
• Брой от обекти с логаритмично-нормално поведение, когато са подложени на тест, където отказалите обекти не са заменени, имат най-големи откази по средата на живот на устройството.

Приложение в икономиката

В социално – икономическата област познаването на логнормалното разпределение позволява да се решават такива крупни изследователси задачи като моделирането на разпределенията на населението по доход, изучаването на подоходното неравенство и прогнозирането на бъдещите доходи за различните подоходни и други социални групи от населението. Опитът показва, че при ниските доходи логнормалната крива достатъчно добре се съгласува с емпиричното разпределение, но при високите може значително да се отклонява, както и при умерените доходи и тогава е препоръчително да се работи с кривите на Парето