Разлика между версии на „Нормално разпределение“
| Ред 1: | Ред 1: | ||
[[Image:norm_razpr.png|thumb|right|alt=Нормално разпределение.|''[[Нормално разпределение]]''.]] | [[Image:norm_razpr.png|thumb|right|alt=Нормално разпределение.|''[[Нормално разпределение]]''.]] | ||
| − | '''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та. То е модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]]. | + | '''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]]. |
| − | |||
| − | |||
==История== | ==История== | ||
[[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам дьо Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам дьо Моавър]] (Abraham de Moivre) /1667-1754г./''.]] | [[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам дьо Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам дьо Моавър]] (Abraham de Moivre) /1667-1754г./''.]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]] | [[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
[[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]] | [[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]] | ||
| − | + | Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам дьо Моавър (Abraham de Moivre)]]/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß)]] /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace)]] /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==Дефиниция== | ==Дефиниция== | ||
| − | |||
| − | |||
Най-простият вид нормално разпределение е известен като [[стандартно нормално разпределение]], описано чрез [[функцията за на плътност на вероятността]]: | Най-простият вид нормално разпределение е известен като [[стандартно нормално разпределение]], описано чрез [[функцията за на плътност на вероятността]]: | ||
| Ред 45: | Ред 27: | ||
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1. | При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1. | ||
| − | |||
| − | |||
==Свойства== | ==Свойства== | ||
| − | |||
| − | |||
Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства: | Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства: | ||
| Ред 60: | Ред 38: | ||
* Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана. | * Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана. | ||
* [[Максимумът на функцията]] /максималната ордината на кривата/ е : | * [[Максимумът на функцията]] /максималната ордината на кривата/ е : | ||
| − | |||
| − | |||
[[file:formula4.png]] | [[file:formula4.png]] | ||
* На разстояние ± σ от средната кривата има две [[инфлексни точки]], в които тя преминава от [[вдлъбната]] в [[изпъкнала]] и обратно. | * На разстояние ± σ от средната кривата има две [[инфлексни точки]], в които тя преминава от [[вдлъбната]] в [[изпъкнала]] и обратно. | ||
| − | |||
| − | |||
[[Image:graf1.png|thumb|right|alt= Нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.|''Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.''.]] | [[Image:graf1.png|thumb|right|alt= Нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.|''Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.''.]] | ||
| − | + | ==Вижте още== | |
| − | |||
| − | ==Вижте | ||
| − | |||
| − | |||
* [[Теоритично разпределение]] | * [[Теоритично разпределение]] | ||
| Ред 86: | Ред 56: | ||
==Източници== | ==Източници== | ||
| − | |||
| − | |||
* Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986 | * Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986 | ||
* Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995 | * Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995 | ||
* Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996 | * Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996 | ||
| − | * | + | *Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя |
| − | * | + | *Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката |
| + | *Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката | ||
| + | ==Външни препратки== | ||
| + | *[http://www.referati.org/formuli-po-statistika-1-/17216/ref Формули по статистика] | ||
| + | *[http://www.solemabg.com/SamLKS1.htm Лихва. Комбинаторика. Статистика.] | ||
| + | *[http://office.microsoft.com/bg-bg/excel-help/HP010079190.aspx Статистически функции в MS Office] | ||
| + | *[http://www.tetradka.bg/bg/product/zadachi/statistika/zadai-po-statistika/ Задачи по статистика] | ||
[[category:Управленски решения и риск]] | [[category:Управленски решения и риск]] | ||
Версия от 17:51, 2 април 2012
Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.
История
Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам дьо Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
Дефиниция
Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:
Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):
Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).
Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
Свойства
Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:
- Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
- Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над абсцисната ос.
- Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
- Нормалното разпределение се определя напълно от математическото очакване /средната/ и стандартното отклонение. Математическото очакване определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
- Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
- Максимумът на функцията /максималната ордината на кривата/ е :
- На разстояние ± σ от средната кривата има две инфлексни точки, в които тя преминава от вдлъбната в изпъкнала и обратно.
Вижте още
- Теоритично разпределение
- Биномно разпределение
- Поасоново разпределение
- Логаритмично разпределение
- t - разпределение
- F - разпределение
- x2 –разпределение
Източници
- Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
- Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
- Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
- Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
- Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
- Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката