Фрактал

Фракталът е обект с доста сложна форма, получен в резултат на прост итерационен цикъл. Итерационността и рекурсивността определят такива свойства на фракталите, както самоподобие - отделните части приличат на целия фрактал.

Фракталите са геометрични обекти с дробна размерност. Например, размерността на линия е 1, на площта – 2, на обема – 3. При фрактала това значение на размерността може да бъде между 1 и 2 или между 2 и 3. В математиката съществува специална сложна формула за изчисление размерността на фракталите.

Корените на теорията за фракталите могат да се проследят до опитите за измерване на периметъра (или площта, или обема) на фрактали в случаи, в които традиционният анализ е неприложим. Традиционните математически методи „се приближават“, с цел да опростят локалната картина. Съществуването на фракталите показва неприложимостта на този подход при появата не неограничено количество все по-дребни подробности.

Разклонената система от тръбички на трахеите, листата на дърветата, вените на ръцете, реките - това са фрактали. Както е казано по-горе, фракталът е геометрична фигура, определена част от която се повторя отново и отново, изменяйки се по размери. Фракталите са подобни сами на себе си, те са подобни сами на себе си на всички нива (т.е. във всеки мащаб). Съществуват много различни типове фрактали. По принцип, може да се каже, че всичко, което съществува в реалния свят е фрактал, било то облак или молекула кислород.

История

Снежинката на Кох е резултат от безкрайно добавяне на триъгълници към периметъра на началния триъгълник. След всяко добавяне (итерация), периметърът нараства — той расте до безкрайност, въпреки че затворената площ остава крайна.

Фракталите са били обект на внимание на учените, много преди да бъдат наречени с тази дума. През 1872 Карл Вайерщрас открива пример за функция с неинтутивното свойство да е непрекъсната навсякъде без да е диференцируема никъде (Функция на Вайерщрас). В наши дни графиката на тази функция би била наречена фрактал. През 1904 Хелге фон Кох доразвива тази теория с подобна функция, която се нарича снежинка на Кох. През 1938 Пол Пиер Леви публикува Равнинни или пространствени криви и повърхнини, състоящи се от части, подобни на цялото, където описва две фрактални криви – С-крива на Леви и драконова крива на Леви.

Примери за фрактали дава и Георг Кантор. Канторови множества или Прах на Кантор представляват подмножества на реалната права с необичайни свойства. Математиците Константин Каратеодори и Феликс Хаусдорф опитват да разберат обекти, подобни на канторовите множества и така обобщават интутивната идея за рамерност като включват и не цели стойности. В края на 19 и началото на 20 век Анри Поанкаре, Феликс Клайн, Пиер Фату и Гастон Жюлиа изследват итеративни функции в комплексната равнина. Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти.

През 60-те години на 20 век Беноа Манделброт изследва самоподобността в публикациите Колко дълго е крайбрежието на Британия? Статистическа самоподобност и дробна размерност. Чрез силно визуален подход, Манделброт установява връзки между клонове на математиката, несвързани дотогава. През 1975 той въвежда понятието фрактал, за да опише самоподобните обекти, които нямат ясна размерност. А през 1977 публикува Фрактална геометрия на природата. Той използвал научните резултати на други учени, работещи в периода 1875-1925 г. в тази област (Поанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Пеано).В книгата, която произвела истински фурор, Манделброт обединава техните работи в единна система.

Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това. Тази практика навлиза в нелинейната динамика, теорията на хаоса и комплексните системи. Метода на Нютон изобразен като фрактал(нютонов фрактал) показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са странни атрактори. Фракталната геометрия се използва и при компресиране на данни и моделиране на сложни органични и геоложки системи.

Доколко е хаотичен хаоса?

Динамичният (детерминираният) хаос и фракталите са понятия, навлезли в науката съвсем отскоро, едва в последната четвърт на 20 век. Изследванията, свързани с фракталите и детерминирания хаос, променят много от представите с които сме свикнали за окръжаващия ни свят. При това не за света на микрообектите, където човешкото око е безсилно без специална техника, и не за явленията с космически мащаб, а за най-обикновени предмети: облаци, реки, дървета, планини, треви. Фракталите ни карат да преразгледаме нашите възгледи за геометричните свойства на природните и изкуствените обекти, а динамичния хаос внася радикални изменения в разбирането за това, как тези обекти могат да се държат във времето.

Фракталите винаги се асоциират с думата хаос, като частички от хаоса... Фракталите имат понякога хаотично поведение, благодарение на което те изглеждат разбъркани и случайни.

Когато чуят "хаос" повечето хора разбират нещо объркано и непредсказуемо. Но въобще не е така. Доколко е хаотичен хаоса? Същността е в това, че хаосът, в действителност, е достатъчно подреден и се подчинява на определени закони. Проблемът се състои в това, че намирането на тези закони може да бъде много сложно. Целта на изучаването на хаоса и фракталите е да се предскаже закономерността в системите, които може само да изглеждат непредсказуеми и абсолютно хаотични.

Такива системи могат да бъдат облачните образувания, времето, бурното движение на водата, миграцията на животните, и множество други аспекти от живота и природата. Така че, в края на краищата, може би, целия свят около нас е фрактален!

Колко е дълго крайбрежието на Британия?

Опитайте се да измерите с конец дължината на бреговата линия на Англия на атласа. След това направете същото с морска карта. Интересното е, че вторият път ще излезе доста повече. Ако после отидете в Англия и измерите бреговата й линия с дърводелски метър, тази дължина ще бъде още по-голяма. Продължавайте този процес дотогава, докато в ръцете ви не се се окаже чертожна линийка, с която можете да измерите бреговата линия частичка по частичка, атом след атом. Манделброт често използвал този пример твърдейки, че бреговата линия на Англия има безкрайна дължина.

Смисълът на този непрактичен експеримент се състои в това, че разстоянията трябва да бъдат съизмерими по мащаб, положение и детайли. По-късно Манделброт определил, че фракталната размерност на бреговата линии на Англия е 1.25.

В 300 г. до н. е. Евклид започнал Книга I с няколко определения, които били:

1. Точка е това, което няма части.
2. Линията е дължина без ширина.
3. Повърхност е това, което има само дължина и ширина.

В Книга XI, той добавил:

1. Обемна фигура е това, което има дължина, ширина и височина.

Понятието размерност се подчертава в тези определения. Всеки знае, че точката има 0 размера, линията има размерност 1, квадратът е двумерен, а кубът - тримерен. Тази размерност се нарича топологична. Тя се е използвала в течение на хилядолетия, но се оказва неточна при изучаването на фракталите.

Една от идеите, възникнала от фракталната геометрия била идеята за нецелите значения за броя на измеренията в пространството. Манделброт нарекъл нецелите измерения такива като 2.76 фрактални измерения.

Категории фрактали

Геометрични фрактали

Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани фрактали. Наричат ги още класически или линейни фрактали. Самоподобието е проявява на всички нива (мащаби).

Детерминираните фрактали се образуват в процеса итерация

Тези фрактали са лесни за построяване. В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена генератор. За всяка стъпка от алгоритъма всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометрическия фрактал.

Известни геометрични фрактали:

• Крива на Кох
• Дракон на Хартер-Хейтуел
• Едномерни
• Двумерни
• Триъгълник на Сиерпински
• Килим на Сиерпински
• Крива на Триъгълника на Сиерпински
• Триизмерни

Алгебрични фрактали

Най-голямата група фрактали. Получават ги с помощта на нелинейни процеси в[n-мерни пространства. Има няколко понятия, които са свързани с тези процеси: фазов портрет, атрактор и т.н.

Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко устойчиви състояния. Състоянието, в което се оказва динамичната система след някакво количество итерации, зависи от нейното начално състояние. Затова всяко устойчиво състояние (илиатрактор) има някаква област от начални състояния, от които системата обезателно попада в разглежданите крайни състояния. По такъв начин фазовото пространство на системата се разбива на области на притегляне на атракторите. Ако фазово е двумерното пространство, то се оцветява областта на притегляне с различни цветове, може да се получи цветен фазов портрет на тази система (на итерациония процес). Изменяйки алгоритъма на избора на цвета, може да се получат сложни фрактални картини - причудливи и многоцветни. Неочаквана за математиците се появила възможността с помощта на примитивни алгоритми да се пораждат много сложни структури.

Детерминираните фрактали са линейни, но сложните фрактали са нелинейни. Тези фрактали се генеририра с това, което Манделброт наричал нелинейни алгебрични уравнения. Добър пример е процеса: zn+1 = zn2 + zo, което е уравнение, използвано за построяване на множеството на Манделброт и Жулия от втора степен. Може да се види, че, избирайки zo в някаква област и пускайки итерациите, няма да получим неограничено големи значения zn и оставаме в границите на определена област. Стартирайки от точка извън тази област, неизбежно се устремяваме към безкрайност. Когато уравнението се интерпретира графически на комплексна плоскост, резултатът се оказва странна фигура, в която правите линии преминават в криви, появяват се, макар и не без деформации, ефекти на самоподобие на различни мащабни нива.

Повечето фрактали, които виждаме сега са красиво оцветени. Фракталните изображения са получили такова голямо естетическо значение именно благодарение на своите цветови схеми. След като уравнение е пресметнато, компютъра анализира резултатите. Ако резултататите остават стабилни, или се колебаят около определено значение, точката обикновено приема черен цвят. Ако значението на една или друга стъпка се стреми към безкрайността, точката се оцветява в друг цвят, може би в син или червен. По време на този процес, компютъра определя цвета за всички скорости на движение.

Обикновено, най-бързо движещите се точки се оцветяват в червен цвят, по-бавните в жълто и т.н. Тъмните точки, вероятно, са най-стабилните.

Сложните фрактали изглеждат безкрайно сложни в сравнение с детерминираните, но могат да бъдат генерирани с много проста формула. За детерминираните фрактали не са нужни формули или уравнения. Всеки може да начертае решетката на Серпински до 3 или 4 итерация без никакви затруднения.

Известни алгебрични фрактали:

• Комплексно множество на Манделброт
• Множество на Жулиа

Дефиниции

Специфичните характеристики на фракталите, макар и интуитивно разбираеми, са извънредно трудни за прецизно математическо дефиниране. Проблемите с дефинирането на фракталите включват:

• няма точно значение на „прекалено неравномерен“
• няма единствено определение на „размерност“
• има много начини, по които един обект може да бъде самоподобен
• не всеки фрактал е дефиниран рекурсивно

Следните дефиниции на фрактал са предлагани, но всяка от тях си има недостатъци:

• Обект, който е самоподобен в някакъв смисъл (включително нелинейната самоподобност и статистическата самоподобност) — това е проста интуитивна дефиниция, но е много трудно да се прецизира математически. Тя също включва и обектите на традиционната евклидова геометрия, които по принцип не се считат за фрактали.

• Обект с не-цяла хаусдорфова размерност — но това изключва някои обекти, които по принцип се считат за фрактали, като кривата на Пеано и границата на множеството на Манделброт.

• Множество с хаусдорфова размерност, която строго надхвърля неговата топологична размерност — това е най-широко възприетата математическа дефиниция, но изисква известна математическа подготовка, за да бъде разбрана.

Примери

Методът на подобие и геометричният метод за изчисляване на фракталната размерност изискват измерване на размера. За много фрактали това не само е сложно, но и почти невъзможно.

Вместо това, можем да използваме по-прост метод. Да поместим фрактала на лист карирана хартия, като страната на всеки квадрат има размер h. Нека преброим клетките, които не са празни. Броя им означаваме с променливата N. Намаляването на рармера на квадратчетата прави сметката по-точна, което е равносилно на увеличение. Фактически увеличението e равно на 1/h. В раздела за метода на подобието за изчисляване на фракталната размерност употребихме формулата D = log N / log e.

Сега можем да я заменим с: D = log N / log (1/h)

Намалявайки h ще определим размерността все по-точно. За 3-мерни фрактали ще се използват кубове вместо квадрати, а за едномерните – отсечки.

В първия случай 5 клетки не са празни. Във втория - 25. В първия случай: D = log 5 / log (1/ (1/3)) = 1.46.

Във втория случай отговора е същия, което означава, че изчислената размерност е точна.

Този метод е много ефективен за природни форми, които е сложно да се измерят, особено култури бактерии.

Вижте още

• Фрактално изкуство
• Фрактален пейзаж
• Графтал
• Хаусдорфова размерност
• Гастон Жюлиа
• Беноа Манделброт
• Нелинейна динамика
• Теория на хаоса
• Едуарт Лоренц

Източници

• Lenny Smith - Chaos: A Very Short Introduction (Very Short Introductions)
• Uri Merry - Coping with Uncertainty: Insights from the New Sciences of Chaos, Self-Organization, and Complexity
• Stephen H. Kellert - In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems (Science and Its Conceptual Foundations series)
• Heinz-Otto Peitgen - Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
• Stephen H. Kellert - Borrowed Knowledge: Chaos Theory and the Challenge of Learning across Disciplines
• Benoit B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature
• Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension", 1967
• Yurij Baryshev, Pekka Teerikorpi, Benoit B. Mandelbrot, Discovery of Cosmic Fractals

Външни препратки

• ОТ ПРОПОРЦИИТЕ НА ПАЛАДИО КЪМ АТРАКТОРA НА ЛОРЕНЦ
• Бяла пеперуда предпазила двама миньори при срутване
• Теория на хаоса