Вероятностно разпределение

Вероятностното разпределение се определя като пълното описание на всички възможни стойности, които приема дадена случайна променлива и свързаните с тях вероятности. Това е възможността за случване на даден изход, а не на друг.

Въведение

Предварителната оценка на ползи и разходи, които произтичат от дадено регулиране, не може да е напълно сигурна. Тя съдържа в себе си несигурността за бъдещето. Понякога е възможно предварително да различим възможните развития на бъдещето. Някои възможни развития изглеждат по-вероятни от други, което е част от нашето очакване и то такова, което може да бъде околичествено. Това наричаме риск – вероятността от случването на различни изходи, които са предварително известни. В тези случаи оценката на разходите и ползите изисква изследване на тяхното вероятностно разпределение, т.е. възможността за случване на даден изход, а не на друг. В случаите, когато не са налице необходимите данни от миналото, е трудно да се определи каква е вероятността (възможността) от настъпване на определено събитие. В тези случаи е възможно да се използват отделни примери и симулации при задаване на различни условия, като по този начин се определи диапазона от възможностите за случването на това събитие. Следващата стъпка е да се анализира разпределението на данните в този диапазон, тоест дали и доколко са концентрирани в даден участък. В повечето случаи в крайна сметка се избират няколко сценария (примерно три), които отразяват отделни точки от вероятностното разпределение. Обикновено се наричат оптимистичен, реалистичен и песимистичен сценарии. Оценката на приходите и разходите се прави и по трите сценария, като по този начин се получават три варианта на възможни ползи и разходи.

Пример: Например нормативен акт въвежда ограничение на скоростта на движение на автомобили в даден град от 40 км/ч; досега това ограничение е било 50 км/ч. Целта е намаляване на катастрофите и на пострадалите пешеходци. В случая вероятностното разпределение ни е необходимо, за да оценим колко по-малко катастрофи и пострадали пешеходци ще има при това положение. За това можем да използваме данни от миналото и/или примери от други градове където това се е случило. Удачно би било да има няколко сценария.

Вероятност и вероятностно разпределение

Преди да продължим с горния пример ще разгледаме едно понятие, което е основополагащо както за теорията на вероятностите така и за статистиката.

Да разгледаме следния експеримент. Хвърляме две правилни зарчета и отбелязваме сумата от точките, които се падат. Можем да получим 11 различни числа: от 2 до 12. Да построим таблица, в която ще отбележим всички възможности и вероятностите, свързани с появата на всяка една от тях. Първо ще отбележим, че всички възможни изходи от този експеримент са точно 36. Сума от 2 точки може да се падне само ако и двете зарчета показват 1, т.е. ще имаме един благоприятен случай. Неговата вероятност ще е 1/36. Сумата от 3 точки може да се появи в два от 36-те случая: едното зарче показва 1, а другото 2 или обратно. Вероятността ще е 2/36 или 1/18 и т.н. както е дадено в таблицата.

Графично разпределението на възможните суми е показано на Фигура 2.

Последната колона в Таблица 2 показва как се разпределят вероятностите за всяка една сума. Може да разглеждаме сумата от точките като една променлива случайна величина, която може да приема стойности от известно множество. В нашия случай това ще е множеството на всички цели числа от 2 до 12. При това всяка една стойност от това множество е свързана с определена вероятност. Знанието на всички вероятности за появата на всички възможни стойности на случайната променлива задава нейното вероятностно разпределение. Очевидно сумата от вероятностите за всички възможни стойности на една случайна променлива е по по-горното определение. Обикновено изводите за параметри на популацията се извършват въз основа на формален модел за дадена ситуация. Този модел съдържа информация за възможните изходи, свързани със ситуацията и предположения относно вероятностите за появата на един или друг изход. Моделът, съдържащ пълното описание на всички възможни изходи и свързаните с тях вероятности се нарича вероятностно разпределение.

Формално: случайна променлива е такава величина, която може да приеме всяка една стойност от определено множества с определена вероятност. Вероятностното разпределение (или разпределението на вероятностите) на случайната променлива е таблица, графика или математически израз, който дава вероятностите, с които случайната променлива може да приема всяка една от различните стойности. В зависимост от това дали случайната променлива е дискретна или непрекъсната, разпределението на нейните вероятности може да бъде съответно дискретно или непрекъснато.

Веднъж зададено вероятностното разпределение позволява да се определи вероятността за поява на всяка комбинация от възможни изходи. Например, нека при хвърляне на две зарчета искаме да знаем каква е вероятността да получим 3 или по-малко от 3 точки или да получим 10 или повече точки. От Таблица 1 се вижда, че тази вероятност е сума от няколко вероятности, които са известни:

Случайната променлива, която може да приема стойности от едно изброимо множество, крайно или безкрайно, се нарича дискретна случайна величина. Ако случайната променлива приема стойности върху едно неизброимо множество, тя се нарича непрекъсната. На практика обикновено се работи с известен вероятностен модел, т.е. предполага се, че е известен аналитичният вид на вероятностното разпределение и сме в състояние да изчислим вероятността за появата на всяка стойност на случайната променлива. В Допълнение А се описват най-често срещаните дискретни и непрекъснати разпределения. Безспорен факт е, че най-често използваното разпределение е нормалното. По-подробно описание на това разпределение, както и на стандартното нормално разпределние е дадено в Допълнение А. Тук ще се спрем по-скоро на използването на това разпределние за изчисляване на нужните вероятности.

Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление

Нормалната крива (или, което е същото, нормалното рапределение) най-често се използва като вероятностен модел, който облекчава изчисляването на вероятността за поява на интересуващото ни събитие. Нормалното разпределение е свързано със закона за големите числа чрез централната пределна теорема и е модел, който отразява закономерностите на масовите явления. Една нормална величина е нормално разпределена, когато има множество стойности, които са породени от множество независими помежду си фактори, причиняващи случайни колебания. Графичния образ на нормалното разпределение има формата на камбана. Следователно нормална крива е онази идеална симетрична крива, която описва и нормалното разпределение. Съвкупността, въз основа на която е построена нормалната крива се нарича нормална съвкупност. За по-нататъшна илюстрация на концепцията за вероятност и връзката й с вероятностното разпределение ще разгледаме разпределнието на резултатите от измерването на дължината на 5000 артефакта, датирани към една фаза. Известно е, че разпределението на тези резултати е нормално и има средна 60 и стандартно отклонение 10. Кривата на нормалното разпределение с тези параметри е показана на Фигура 3.

Да предположим, че всички 5000 резултата са записани на отделни листчета хартия и са поставени в урна. Тъй като резултатите са нормално разпределени можем да използваме нормалната крива за изчисляване на вероятностите, свързани с определени резултати. Например, можем да определим вероятността да изтеглим от урната листче с резултат, който лежи между 20 и 30. От Глава 4 е известно, че 34.13% от всички резултати лежат в границите 20-30 мм (едно сигмално отклонение) и, следователно, вероятността да изтеглим резултат в този интервал е 0.3413. От таблицата за нормално разпределение можем да определим, че тази вероятност е 0.3413 и по следния начин:

1. Намираме стандартизираните стойности, които съответстват на интервала. В случая,

и

2. По Таблица В1 определяме лицето 3 на повърхнината под кривата, което съответства на дадения аргумент: за z1 това е 0.500 и за z2 0.8413

3. Разликата 0.8413-0.5000 = 0.3413 ни дава необходимата вероятност.

Каква е вероятността да изтеглим резултат, който е по-голям от 50 мм или по- малък от 10 мм? Тази вероятност ще се получи като сума от вероятностите за двете отделни събития:

1. Намираме стандартизираните стойности:

и

2. Определяме от таблицата съответните лица на повърхнината под кривата:

0.0228 и 0.9772. Последното число изрязава вероятността резултатът да е по- малък от 50 точки. Следователно, вероятността да е по-голям ще е 1.0 – 0.9772 = 0.0228. Вижда се, че двете търсени вероятности са равни, както и трябва да се очаква при симетричните разпределения, каквото е нормалното.

3. Търсената вероятност ще е 0.0228 + 0.0228 =0.0456.

С други думи, малко вероятно е резултатът да е по-голям от 50мм или по-малък от 10мм. От друга страна, е твърде вероятно, т.е. налице е голяма вероятност, резултатът да лежи в интервала 10-50. Както лесно може да се види, тази вероятност е 0.6826. Отново ще отбележим, че сумата от всички вероятности е единица и е равна на лицето на повърхнината, ограничена от кривата и абсцисната ос. Независимо, че горният пример е изкуствено конструиран, използването на нормалното разпределение за определяне на вероятности за настъпване на дадено събитие е твърде важно. В този смисъл, нормалната крива служи като базово вероятностно разпределение. В действителност нормалното разпределение е един от най-често използваните модели за описание на поведението на случайните променливи.

Изводите се опират на формалното проектиране (индуциране) на знания от извадката към популацията. Това проектиране се основава на предположението, че извадката е представителна (репрезентативна) за популацията, от която е извлечена по отношение на променливата, която представлява интерес за изследването. Представителността се осигурява чрез случайното получаване на извадката така, че всеки елемент на популацията да може да бъде избран случайно и всяка комбинация от случаи (извадка) да има равен шанс да бъде извлечена от популацията. Обикновено за тази цел се използват таблици на случайните числа или генератор на псевдослучайни числа.

Равномерно вероятностно разпределение

Най-простото вероятностно разпределение се получава, когато всички стойности на случайната величина се наблюдават при еднаква вероятност. Това вероятностно разпределение се нарича - равномерно разпределение.

Практическо приложение на вероятностното разпределение

• За да се изчисляват доверителни интервали за параметрите и за изчисляване на критичните райони за проверка на хипотези.
• Често е полезно да се определи разумното разпределение за модела на данните.
• Статистическите интервали и проверката на хипотези, често се основават на конкретни разпределителни предположения. Преди провеждането на компютърни тестове, основаващи се на вероятностното разпределение, трябва да се провери дали е обосновано предположението за дадения набор от данни. В този случай, разпределението не е необходимо да бъде най-голямото разпространение на данните, достатъчен е адекватен модел, така че статистическите извадки да доведат до правилни решения и избор на подходящи методи.
• Симулационни проучвания с произволни числа, получени от използването на специфични методи за вероятностно разпределение.

Закон за вероятностно разпределение на случайната величина

Всяка случайна величина се подчинява на определен закон на разпределението. Това е съотношението, което установява връзката между възможните стойности на случайната променлива и съответната вероятност за тяхното появяване. Този закон се основава на връзката между възможните стойности на случайната променлива и вероятността за появяването им. Всяко теоретично разпределение има свой закон за разпределение. Законът за разпределение на дадена случайна величина може да се представи по 3 начина - таблично, графично и чрез функция (аналитично). Таблично представяне - ползва се, когато обемът на извадката е малък. Той дава представа за стойностите на случайната променлива величина и вероятността за нейното появяване.

Графично представяне - чрез правоъгълна координатна система, чрез хистограма или полигон. На абсцисната ос се представят стойностите на случайната величина, а на ординатната - честотите им. Хистограмата се получава при извадки с голям обем и групирани данни. При негрупирани данни и по-малки извадки се ползва полигон на разпределение. Представяне на разпределението чрез функция - тя е аналитичен израз на зависимостта между вероятността и стойностите на случайната величина. В случая вероятностите са зависимата променлива (функцията), а стойностите - независима променлива. Вероятност - тя е числена мярка за обективната възможност за появяването на наблюдавано случайно събитие. Отбелязва се с Р(А).

Видове вероятности - статистическа и априорна

Статистическа вроятност - сбъдването на всяко събитие е в пряка връзка с определена вероятност. Например извадка от п изделия от всяка партида, и се установява броя на дефектните - т, ще получим резултат, който предварително не е известен. Когато броя на дефектните се раздели на общия брой, ще получим относителната честота - т/п, където т са случаите когато се появява събитието А - благоприятен случай, п - общия брой.

Априорна вероятност - при нея са известни всички възможни изходи, т.е. когато можем да установим верността след опита (експеримента). В повечето случаи обаче, верността се определя след извършването на опита (експеримента), след провеждане на наблюдение. Характерът на емпиричното разпределение се определя след сравнение с възможното теоретично разпределение на случайната величина. Тясната връзка между относителните честоти и вероятностите се изразява в това, че когато наблюдението достигне голям брой статистически единици, тогава по силата на закона за големите числа, относителните честоти се доближават до съответните вероятности. Теоретичните разпределения, също както и емпиричните биват едномерни, двумерни, многомерни.

Вижте още

• Теория на вероятностите
• Задача за решаване
• Научен подход
• Променлива
• Рационално решение
• Прогноза
• Случайно число
• Теория на решенията
• Функция на полезност
• Следствие
• Цел
• Решаващ субект

Източници

• Ramsey, F.P. Truth and Probability, in The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, by F.P. Ramsey. Harcourt Brace, Co, New York, 1931.
• Savage, L.J. The Foundations of Statistics. Wiley, New York, 1954.
• Von Newman, J., O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. University Press, New Jersey, 1944.
• Wald, A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950. Fan, Jianqing (1991). "On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems". The Annals of Statistics 19 (3):
• Gavss, Carolo Friderico (1809) (in Latin). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the Sun in conic sections] .
• Gould, Stephen Jay (1981). The mismeasure of man (first ed.)
• Halperin, Max; Hartley, HO; Hoel, PG (1965). "Recommended standards for statistical symbols and notation. COPSS committee on symbols and notation" . The American Statistician
• Hart, John F.; et al (1968). Computer approximations . New York: John Wiley & Sons, Inc.
• Herrnstein, C. ; Murray (1994). The bell curve : intelligence and class structure in American life . Free Press
• Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth . London.
• Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 1 .
• Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 2 .
• Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Normative terminology: 'normal' in statistics and elsewhere . Statistics and public policy, edited by Bruce D. Spencer. Oxford University Press. Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution
• Pearson, Karl (1905). "'Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson'. A rejoinder".
• Pearson, Karl (1920). "Notes on the history of correlation". Biometrika 13
• Stigler, Stephen M. (1978). "Mathematical statistics in the early states". The Annals of Statistics

Външни препратки

• Съвместно вероятностно разпределение
• Разпределение на параметрите
• Двумерни и многомерни вероятностни разпределения
• Основни вероятностни разпределения.Функции
• Статистика и хипотези
• Въведение в статистическия извод: оценяване
• Оценка на корелация
• Принцип на неопределеността