Многокритериална оптимизация

Многокритериалната оптимизация (на англ. Multi-objective optimization) или програмиране, известна също като оптимизация с няколко критерия или няколко атрибута, е процес на оптимизиране едновременно на две или повече противоречиви цели при спазване на определени ограничения.

Проблеми за многокритериалната оптимизация могат да се намерят в различни области: продукти в процеса на проектиране, финансиране, конструкция на въздухоплавателни средства, петролна и газова промишленост, автомобилен дизайн или където трябва да се вземат оптимални решения в присъствието на компромиси между две или повече противоречиви цели. Повишаването на приходите и намаляването на стойността на продукта; увеличаването на производителността и свеждането до минимум разхода на гориво на превозното средство; свеждане до минимум на теглото като същевременно се увеличава максималното съдържание на даден компонент са примери за многоцелеви проблеми на оптимизацията.

Ако многокритериалният проблем е добре оформен не трябва да има отделно решение, което едновременно намалява всяка цел, към своята най-голяма. Във всеки случай, една цел трябва да е достигнала връх така, че когато се опитва да оптимизира целта по-нататък, другите цели „страдат” като резултат. Намирането на такова решение и определяне с какво това решение е по-добро в сравнение с многото други такива решения е целта при създаването и решаването на един проблем, свързан с многокритериалната оптимизация.

Въведение

От математическа гледна точка, многокритериалния проблем може да се запише като

min(x) [µ1(x), µ2(x), …, µn(x) ]'
при следните ограничения
g(x)  ≤ 0
h(x) = 0
xi ≤ x ≤ xu

където μ i е i-та целева функция, g и h са неравенства и ограничени равенства, съответно, и х е векторът на оптимизиране, или променливо решение. Решението на по-горния проблем е множеството от точки на Парето (на англ. Set of Pareto points. По този начин, вместо да бъде уникално решението на проблема, решението на многокритериалния проблем е вероятно безкрайно множество от точки на Парето.

Дизайнът на точка в обективното пространство μ* се нарича оптималност на Парето (на англ. Pareto optimality) , ако не съществува друга възможна цел за проектиране на вектор μ такaва, че µi ≤ µi* за всяко i ={1,2,…,n} и µi < µi* , за най-малко един индекс на j, j = ={1,2,…,n} .

Методи за решение

Съществуват много методи за намиране на решение на проблема многокритериална оптимизация, някои от които са обяснени по-долу:

Изграждане на обединена целевата функция (AOF)

Това е интуитивен подход към решаването на многокритериалния проблем. Основната идея е да се обединят всички обективни функции в единна функционална форма, наречена AOF, също позната като претеглена линейна сума на целите.

Например, ако някой се опита да увеличи силата на компонентите на една машина и да минимизира производствените разходи, и ако по-високото тегло е определено за обективен разход в сравнение със силата, решението ще бъде това, което благоприятства по-ниска цена за сметка на по-висока здравина.

Важно е да се отбележи, че методът на претеглената сума е по същество субективен, поради това решителният мениджър (DM) трябва да достави теглата. Освен това този подход не може да установи решенията, които не са доминиращи, а само решенията, които са разположени на изпъкналата предна част на Парето могат да бъдат намерени.

Обективният начин за решаване на многокритериални проблеми изискващи Парето – отстъпчив класификационен метод, отнасящ се до не-доминиращите решения, както се вижда в многокритериалните еволюционни подходи, като например NSGA-II и SPEA2.

Методи NBI, SPO, DSD

Методите NBI (Normal Boundary Intersection или Нормални Гранични Пресечки), NC (Normal Contraint или Нормални Ограничения), SPO (Successive Pareto Optimization или Последователна Оптимизация на Парето) и DSD (Directed Search Domain или Пряко Търсене на Доминиране) се използват за решаване на многокритериални оптимизационни проблеми чрез изграждане на няколко AOF-а. Решението на всяка AOF „ражда” точка на Парето.

Методите NC и DSD предполагат две различни процедури за филтриране, за да се отстранят точките на Парето на местно ниво. AOF са изградени с цел получаване на равномерно разпределени точки на Парето, които дават добро впечатление (приближаване) на действителните групи до точките на Парето.

Методите DSD, NC и SPO генерират решения, които описват някои периферни райони от множеството от точки на Парето, за повече от 2 обекта, които се знае, че не са представени от решенията генерирани с метода NBI.

Еволюционни алгоритми

Еволюционните алгоритми са популярни подходи за решаване на многокритериална оптимизация. В днешно време, най-еволюционно оптимизиране използва Парето - базиран на рангови схеми. Генетичните алгоритми, като например за неразпространение на доминиращото сортиране на генетичен алгоритъм-II (NSGA-II) и силата на еволюционния подход на Парето 2 (SPEA-2) са станали стандартни подходи, въпреки че някои схеми, базирани на частиците „рояк” оптимизация и симулираното техническо закаляване са значителни.

Други методи

• Многокритериална оптимизация използваща еволюционни алгоритми (MOEA - Multiobjective Optimization using Evolutionary Algorithms)
• Повърхностно размножаване на изпъкнали многокритериални случаи на Парето (PGEN - Pareto surface generation for convex multiobjective instances)    
• Непряка оптимизация на базата на самоорганизация (IOSO - Indirect Optimization on the basis of Self-Organization)

Източници

• Steuer, R.E. (1986). Multiple Criteria Optimization: Theory, Computations, and Application. New York: John Wiley & Sons
• Sawaragi, Y.; Nakayama, H. and Tanino, T. (1985). Theory of Multiobjective Optimization (vol. 176 of Mathematics in Science and Engineering). Orlando, FL: Academic Press Inc
• Deb, K.: Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Wiley, 2002
• Das and J. E. Dennis. Normal-Boundary Intersection: A New Method for Generating the Pareto Surface in Nonlinear Multicriteria Optimization Problems. SIAM Journal on Optimization
• A Messac and C. A. Mattson: Normal constraint method with guarantee of even representation of complete Pareto frontier
• Deb, K. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms John Wiley & SonsCoello Coello, C. A.; Lamont, G. B. & Van Veldhuizen, D. A. Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective Problems Springer, 2007.

Външни препратки

• Практическа многокритериална оптимизация
• Еволюционна многокритериална оптимизация