Разлика между версии на „Математика“

Версия от 04:02, 19 декември 2011

Математиката представлява съвкупността от знания, изучаващи понятия като количество, структура, пространство и промяна. Думата математика произлиза от старогръцката дума μάθημα (ма̀тема), която означава „наука, знание, познание“, но още в Древна Гърция се използва и в смисъла на „математическа наука“.

Същност на понятието

Математика

Математиката би могла да се дефинира като наука, която се занимава с усвояване и разшифроване на пространствените форми и количествените отношения. Бенджамин Пърс я определя като „науката, която съставя необходими заключения“. Други специалисти по математика твърдят, че математиката е наука за моделите и че математиците търсят модели (закономерности) в областта на числата, пространството, науката, компютрите и т.н. Математиците често изследват подобни понятия с цел да формулират нови хипотези и да установят тяхната достоверност, служейки си с първични понятия, аксиоми, теореми, доказателства, спазвайки правилата на логиката. Има някои вътрешни за математиката дисциплини, които служат за обосноваване на получените от нея резултати, за намиране и изучаване на общи за различните математически дисциплини закономерности и за подпомагането им. Такива са, например теорията на множествата, математическата логика, алгебрата, топологията и функционалния анализ. Математиката може да се раздели на чиста и приложна. - приложна математика е клон на математиката, който използва математически техники за приложението на математическо знание в области като:компютърните науки, статистиката, актуарни изчисления и изследване на операциите -чистата математика е свързана с решаването на определени математически ребус и задачи, чрез специфични формули и методи на решаване

Основи на математиката

През дългата си история математиката често се е сблъсквала с проблеми свързани със собствената ѝ същност. Днес математическите дялове, изучаващи обосноваващи математиката методи и теории, е прието да се обединяват под общото име Основи на математиката.Изследванията, развили тези направления обикновено започват като опити за разрешаване на математически парадокси - абсурдни твърдения, чието обяснение е било извън възможностите на съвременниците. Математическото изследване има различни аспекти — математическото откритие и доказателство имат интуитивна природа и обикновено са плод на индивидуални усилия. Признаването на едно доказателство обаче е чисто обществен акт и изисква излагането на доказателството във възможно най-строго формален вид. Избягването на парадокси и изискването за строга съгласуваност на математическите знания също налагат прецизен подбор на инструментите, методите за работа и приеманите без доказателства основни истини — аксиомите.

Античност Първите появи на математически знания са опити за описание на реалността. Древните Шумери използвали няколко различни обозначения за едно и също число, в зависимост от вида реалност, която описва, примерно в записите „5 работника“ и „5 хляба“ имало различно обозначение за числото 5.Постепенно била осъзната абстрактната същност на математическите обекти. Питагорейците гледали на числата като мистични, надарени с вълшебни свойства обекти. Те първи доказали, че диагоналът на квадрата не може да се съизмери със страната му (квадратен корен от 2 не е рационално число), което е може би първият добре поставен проблем на основите на математиката. Парадоксите на Зенон, отричащи движението, насърчили изследвания, които ги обяснили задоволително едва след 20 века. Платон поставил твърдо математическите обекти в света на идеите, но гърците все още изисквали аксиомите да отразяват реални истини. Първите опити за обосноваване на математическите методи принадлежат на Аристотел, смятан за създател на логиката, а първото строго изложение на математиката прави Евклид в неговите Елементи.

Средновековие Въвеждането на нулата и позиционната бройна система от индийците и разпространението на идеята от арабите позволило ефективно да се изписват произволно големи числа с крайна азбука от цифри. Това е важна стъпка към възникването на формалните математически теории.Арабските математици развили основите на алгебрата, описвайки методи за решаване на уравнения. Малко преди великите географски открития италиански математици открили алгоритъм за решаване на алгебрични уравнения от трета степен. Когато такова уравнение има 3 реални корена, намирането на 2 от тях преминава през намиране на квадратен корен от отрицателно число. Тази напълно незаконна от гледна точка на реалността ситуация води до намирането на съвсем правилно решение и обосновава необходимостта от употребата на имагинерни числа — математически обекти, за които трудно намираме физическа интерпретация.

Модерна епоха Няколко големи открития през 14-18 век са ключови за изграждането на съвременните основи на математиката: -Въвеждането на съвременните обозначения в алгебрата (използването на скоби, обозначаването с букви на неизвестните величини и параметри) е важна стъпка към изграждането на формални теории. - Смятането с безкрайно малки величини позволило да се решат парадоксите на Зенон и други важни задачи, наследени от древността. -Обединяването на новооткрития закон за гравитацията и античните знания за коничните сечения демонстрирали действителната мощ на абстрактните математически конструкции — изградена била единна теория, позволяваща предсказване с голяма точност на движението на планетите, артилерийските снаряди и узрелите ябълки. -Създаването на аналитичната геометрия свързало геометрията и знанията за числата, подсилвайки усещането за единност и всеобща значимост на математическите истини.

XIX век За Западноевропейската цивилизация този век е връх в развитието. През него тя доминира целия свят и определя културни, социални и научни тенденции. Можем да го наречем век на победилия позитивизъм, когато се смятало, че развитието може да е безкрайно и рационализмът, науката и технологиите могат да създават нови ценности и ресурси неограничено.

Математиката на 19 век не прави изключение от този оптимизъм. Откриването на теорията на групите в началото на века демонстрирало, че един напълно формален математически механизъм може да реши разнообразни задачи — била доказана нерешимостта на някои древни задачи за построение с линийка и пергел, както и неизразимостта с радикали на решенията на уравнения от 5-та степен. Към средата на века бил доказан и първият важен резултат на дисциплините, които днес наричаме „Основи на математиката“ — независимостта на постулата на Евклид за успоредните прави от останалите аксиоми на геометрията. Възможността за независимо съществуване на различните геометрии — класическата на Евклид, на Лобачевски и на Риман, както и постиженията на алгебрата, оформили съвременната концепция за аксиоматизация на математиката, а именно: 1. Аксиомите и логическите закони на една математическа (формална) теория се приемат като базови истини без да се иска съответствието им с реална действителност, т.е. те се приемат като начални верни формули, от които тръгва изграждането на формалната теория. 2. За другите твърдения в теорията се прави опит да се докажат или опровергаят, като стриктно се спазват логическите правила за извод, т.е. формалното доказателство е поредица от тривиални стъпки, чиято правилност може да се провери чрез ефективна процедура (в съвременната трактовка — от компютърна програма).

XX век През 1901 г. Бъртранд Ръсел открил парадокс в Теория на множествата. Това събитие разтърсило и отрезвило всички, занимаващи се с изграждането на основите на математиката. Фреге не се заема с работата над един първоначално предвиден трети том на капиталното му съчинение Основни закони на аритметиката, а останалите разработили различни ограничения, позволяващи избягване на парадокса. Кризата, предизвикана от парадокса на Ръсел, продължава и до днес, но най-сериозните работи по преодоляването ѝ били извършени през първата половина на века. Били създадени по-строги аксиоматики на Теорията на множествата, които не допускат съществуването на парадоксалното множество на Ръсел. Някои математици търсели разрешение на кризата в ограничаване на правилата на логиката и в методите на извършване на математическите доказателства (Брауер, Ръсел, Уайтхед). Опитвайки се да даде ясно определение на понятието математическо доказателство, Алън Тюринг създал основите на компютърните науки, давайки първите математически определения за компютър и алгоритъм. През 1939 г. Алонсо Чърч забелязал универсалната идея за изчислимост.

Освен че поставили началото на научни дисциплини с голямо практическо значение, тези открития имат фундаментално значение за философията и обществените науки.

Област на математиката

Математиката най-общо може да се раздели на изследване на количествата, структурите, пространството и измененията – аритметика, алгебра, геометрия и анализ. В допълнение към тези основни подразделения има и няколко други, изследващи връзките между ядрото на математиката и други научни, философски и технически области.

Аритметика Аритметиката (от гръцки αριθμός = число) е най-старият дял на математиката. Има широко приложение както в ежедневието (например за преброяване на някакви обекти), така и в науката (за най-различни сложни изчисления). Аритметиката изучава свойствата на числата и операциите в числови множества.Карл Фридрих Гаус посвещава на аритметиката знаменитата фраза: "Математиката е кралицата на науките, а аритметиката е кралицата на математиката." Терминът „аритметика“ се използва понякога като синоним на „теория на числата“. Това е сравнително старо значение и понастоящем не е много популярно. Теорията на числата се е наричала също така „висша аритметика“, но и този термин е отпаднал от употреба. Това значение на термина аритметика не трябва да се бърка с елементарната аритметика.Основните действия съдържащи се в аритметиката са:събиране, изваждане, деление и умножение

Алгебра Алгебрата е дял на математиката, изучаващ свойствата на операциите и релациите, както и произтичащите от тях структури и концепции, като членове, полиноми, уравнения и алгебрични системи. Наред с геометрията, анализа, топологията, комбинаториката и теорията на числата, алгебрата е един от основните клонове на чистата математика. Елементарната алгебра е част от програмите в основното образование и разширява обхвата на изучаваната преди това аритметика с използването на буквени означения за числата и с въвеждането на концепцията за променливите. Изрази, използващи променливи, се манипулират с помощта на правилата на операциите, прилагани и върху числата, като с това се постигат различни цели, например решаване на уравнения. Алгебрата има много по-широк обхват от елементарната алгебра, като изследва и прилагане на операции с различно поведение или операции, извършвани върху обекти, които не са числа. Събирането и умножението могат да бъдат обобщени, а прецизното им дефиниране е свързано с абстрактни алгебрични системи, като групи, пръстени и полета, които са предмет на изучаване на абстрактната алгебра. Наред с фундаменталната роля на алгебрата вътре в математиката тя има и голямо приложно значение, например във физиката (представяне на крайните групи в квантовата механика, дискретните групи в кристалографията), в кибернетиката (теорията на автоматите), в икономиката (линейните неравенства).

thumb|right|aut=алгебрична задача|Алгебра

Геометрия Геометрията (на старогръцки: γεωμετρία; geo- „земя“, -metri „измерване“) e клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата. В наши дни геометричните идеи са силно обобщени и към тях се прилагат методи на математическия анализ и абстрактната алгебра, като много съвременни клонове на геометрията трудно могат да бъдат оприличени на ранната геометрия. Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия. Основните дялове на геометрията са:стереометрия, евклидова геометрия, топология, неевклидова геометрия, аналитична геометрия, диференциална геометрия

thumb|right|aut=различни измервателни средства|Геометрия

Анализ Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения – диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

Основните понятия, с които работи математическият анализ, са:

диференциал, което означава безкрайно малка промяна на някаква стойност;
граница и сходимост на функция;
диференциране, или изчисляване на стръмността на функция;
интегриране, или изчисляване на натрупването на някаква стойност.

Виж още

Външни източници

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Същност на математиката

http://harta-bg.info/statia/99 Развитие на математиката

Външни препратки

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Математическа логика

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B0 История на математиката

[category:Видове науки]

@@ Ред 35: / Ред 35: @@
 '''Алгебра                                                                                                                                             '''Алгебрата е дял на математиката, изучаващ свойствата на операциите и релациите, както и произтичащите от тях структури и концепции, като членове, полиноми, уравнения и алгебрични системи. Наред с геометрията, анализа, топологията, комбинаториката и теорията на числата, алгебрата е един от основните клонове на чистата математика.                                                                                        Елементарната алгебра е част от програмите в основното образование и разширява обхвата на изучаваната преди това аритметика с използването на буквени означения за числата и с въвеждането на концепцията за променливите. Изрази, използващи променливи, се манипулират с помощта на правилата на операциите, прилагани и върху числата, като с това се постигат различни цели, например решаване на уравнения.                                              Алгебрата има много по-широк обхват от елементарната алгебра, като изследва и прилагане на операции с различно поведение или операции, извършвани върху обекти, които не са числа. Събирането и умножението могат да бъдат обобщени, а прецизното им дефиниране е свързано с абстрактни алгебрични системи, като групи, пръстени и полета, които са предмет на изучаване на абстрактната алгебра.        Наред с фундаменталната роля на алгебрата вътре в математиката тя има и голямо приложно значение, например във физиката (представяне на крайните групи в квантовата механика, дискретните групи в кристалографията), в [[кибернетика]]та (теорията на автоматите), в [[икономика]]та (линейните неравенства).
-'''[[Imagine:Алгебра. jpg|thumb|right|aut=алгебрична задача|Алгебра]]
+'''[[Imagine:''''Алгебра. jpg|thumb|right|aut=алгебрична задача|Алгебра]]
@@ Ред 41: / Ред 41: @@
 '''Геометрия '''                                                                                                                         '''Геометрията''' (на старогръцки: γεωμετρία; ''geo-'' „земя“, ''-metri'' „измерване“) e клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата. В наши дни геометричните идеи са силно обобщени и към тях се прилагат методи на математическия анализ и абстрактната алгебра, като много съвременни клонове на геометрията трудно могат да бъдат оприличени на ранната геометрия.        Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. [[Архимед]] разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия.                Основните дялове на геометрията са:стереометрия, евклидова геометрия, топология, неевклидова геометрия, аналитична геометрия, диференциална геометрия
-'''[[Imagine:Геометрия.jpg|thumb|right|aut=различни измервателни средства|Геометрия]]
+'''[[Imagine:'''Геометрия.jpg|thumb|right|aut=различни измервателни средства|Геометрия]]
 '''Анализ    '''                                                                                                                               Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения – диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.