Разлика между версии на „Теория на вероятностите“

Версия от 13:16, 7 април 2014

Теорията на вероятностите се занимава с изследване на закономерностите при случайните събития.

Всяко явление протича при известни условия. Обратно, при определени условия протича някакво явление, но ние не сме в състояние да опишем всички условия, при които протича дадено явление. Ние определяме само някои условия за протичането на дадено явление, което ще наричаме събитие. При реализирането на тези условия даденото събитие може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне. Такова събитие, което при даден комплекс от условия може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне, наричаме случайно.

Въведение

Основни понятия на теория на вероятностите - Най-често се използва понятието опит (експеримент). Опитът се състои в осъществяване на определен комплекс от условия, в резултат на което се случва нещо, което не може да бъде предсказано предварително със сигурност. При многократното повторение на опита могат да бъдат получени различни резултати (изходи), които се представят като поява на определено събитие. Събитията се разграничават по видове, в съответствие с особеностите на тяхното проявление.

Вероятност. Методи за определяне на вероятности

Когато експериментът е проведен n пъти и събитие А се е появило m пъти, отношението

показва какъв дял от общия брой случаи се пада на събитие А. Тази величина се нарича относителна честота или честост, а числото m - честота. Най-често относителната честота се записва с

Относителната честота има следните свойства:

1) 0W(A)1, т.е. тя е неотрицателна величина.

2) Ако събитие К е достоверно (сигурно) събитие, W(K) = 1, т.е относителната честота на достоверно събитие, в случая събитие К, е равна на единица. Важи и обратното, че ако дадено събитие има относителна честота равна на единица, то е достоверно събитие.

3) За редицата от събития A1, А2, ... , Ak

За събитията А и В с честоти m(А) и m(В) и честости W(A) и W(В) важи

Относителната честота е характеристика, която се получава след като е проведен експеримент или са извършени съответни наблюдения. В редица случаи са необходими характеристики за настъпването на разглежданите събития, които се получават преди да е извършен експеримент и описват техните честотни закономерности. Такива характеристики се наричат вероятности. Ако се разглежда събитие А, принадлежащо на множеството F (А F), вероятностната мера за събитие А се бележи с Р(А).

За вероятностите важи следното:

) За всяко събитие А F 0 Р(А) 1.

) Вероятността за поява на достоверно събитие е равна на единица, т.е. Р() = 1.

) Вероятността на сума от множество две по две несъвместими събития Aj F, j = 1,2, ... , е равна на сумата от техните вероятности

Вероятността за противоположното събитие (A) е

като Р(А) + Р(A) = 1.

Съвкупността от множеството , определеното на него множество F и вероятностната мера Р(А) за поява на събитие А, принадлежащо на F, образува вероятностно пространство и е част от математическия модел на експеримента. За определяне на вероятностите се използват т.нар. класически (лапласов) метод, статистически метод и метод на експертните оценки (субективните вероятности).

Елементи на теория на вероятностите

Случайни величини

Под случайна величина ще разбираме величината приемаща в резултат на опита някакво числово значение. Пример: Числото, падащо при хвърляне на зар. Тази случайна величина може да приеме едно от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Случайна величина, приемаща краен брой значения се нарича дискретна случайна величина. Случайна величина, приемаща значенията си в някакъв интервал се нарича непрекъсната. За да се характеризира случайна величина е необходимо да се укажат възможните нейни значения (по-нататък ще разглеждаме дискретни случайни величини). Но това не е достатъчно: необходимо е да знаем колко често приема значенията си. Това най-добре се характеризира с вероятността за отделните нейни значения т.е. за случайната величина X трябва да укажем значенията и x1, x2, ., но и вероятностите за събитията X=xi.

pi=P(X=xi)

състоящи се в това, че X приема значение xi. Съответствието xi pi се нарича закон за разпределение на случайната величана. Математическо очакване и дисперсия на случайната величина. Математическо очакване на сл. величина X се нарича числото M(X) определено с равенството

Задача. Компютърът може да се намира в едно следните състояния:

S1 изправен работи; S2 неизправен, спрян, търси се повреда; S3 неизправността е открита, тече ремонт; S4 ремонтът е завършен, тече подготовка за пуска на компютъра. Средното време за безотказна работа на компютъра е половин ден. За ремонта отиват средно 6 ч. Търсенето на повредата продължава средно половин час (0,5 ч.). След ремонта подготовката за пускане е средно 1 ч. Да се намерят пределните вероятности на състоянията на компютрите.

Решение.

Граф на състоянията на интензивностите

Времената t1,t2,t3 и t4 ще ги представим в дни

(Време за безотказна работа)

(Време за търсене на повреда)

(Време за ремонт)

(Време за подготовка за пускане)

От системата намираме:

След което

p1 = 0.615, p2 =0.026, p3 = 0,308, p4 = 0,0051

Вижте още

Източници

Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability.
Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp.
Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press.
Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp.
Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
ET. Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science Cambridge University Press, (2003).
Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
Richard T. Cox, Algebra of Probable Inference, The Johns Hopkins University Press
Bishop, CM., Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2007
Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
Wolpert, RL. (2004) A conversation with James O. Berger, Statistical science
Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (Second ed.). Springer-Verlag
de Finetti, Bruno. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989
Hacking, I (1988) "Slightly More Realistic Personal Probability". 1967 article partly reprinted in: Gärdenfors, Peter and Sahlin, Nils-Eric. (1988) Decision, Probability, and Utility: Selected Readings. 1988. Cambridge University Press
Jaynes E.T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP
Morgenstern, Oskar (1978). "Some Reflections on Utility". In Andrew Schotter. Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern. New York University Press
Pfanzagl, J (1967). "Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory". In Martin Shubik. Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern. Princeton University Press

Външни препратки

@@ Ред 66: / Ред 66: @@
 Съвкупността от множеството , определеното на него множество F и вероятностната [[мера]] Р(А) за поява на събитие А, принадлежащо на F, образува вероятностно пространство и е част от [[математически модел|математическия модел]] на експеримента. За определяне на вероятностите се използват т.нар. [[лапласов метод|класически (лапласов) метод]], [[статистически метод]] и метод на експертните оценки (субективните вероятности).
-==Действия с вероятности==
-===Събиране на вероятности (вероятност на сума от събития)===
-Събиране на вероятности се извършва като се има предвид дали събитията са съвместими или не са.
-а) При несъвместими събития
-Нека събитията A1, А2, ... , Ak са несъвместими помежду си. Сумата на вероятностите на тези събития представлява вероятността за поява на кое да е от тях, която се означава Р(А1 или А2 или ... или Ak). Тя се определя като
-[[File:teoriqnaveroqtnostite12.jpg|300px]]
-б) При съвместими събития
-Ако две събития, събитие А и събитие В, са съвместими, което означава, че тяхното произведение не е празно множество, вероятността за поява на което и да е от тях е равна на сумата от техните вероятности минус вероятността за съвместното им появяване, т.е.
-P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) (4.2.)
-За три произволни съвместими събития А, В и С вероятността за сумата на тези събития се определя като
-P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
-===Условна вероятност===
-В определени случаи появата на дадено събитие зависи от това дали друго събитие, с което то е в определена вероятностна връзка, сее осъществило. Появата на второто събитие изменя условията и съответно вероятността за поява на разглежданото събитие. В общия случай нека е дадено вероятностното пространство (, F, Р) и А и В са произволни събития, като вероятността за поява на събитие В е положителна величина, т. е. Р(В)&gt;О. Условната вероятност за настъпване на събитие А при [[условие]], че е настъпило събитие В, се означава обикновено с P(A/В). Тя се определя като отношение на произведението (сечението) на двете събития към вероятността за настъпване на събитие В
-[[File:teoriqnaveroqtnostite13.jpg|200px]]
-По подобен начин се определя условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А
-[[File:teoriqnaveroqtnostite14.jpg|200px]]
-Събитията А и В са независими тогава, когато P(AB) = P(A)P(B). Това означава, че P(A/B) = P(A) и P(B/А) = P(B).
-===Вероятност на сложно събитие (вероятност на произведение на събития)===
-[[Сложно събитие]] е събитието, което се състои в съвместното осъществяване, едновременно или последователно, на две или повече събития. Ако това са събитията А и В, сложно събитие е едновременното появяване и на А, и на В, означено с (А и В) или, което е същото, с (АВ). Вероятността за сложното събитие (А и В) се определя като произведение на вероятността за настъпване на събитие А по условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А
-Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4.5)
-или като произведение на вероятността за настъпване на събитие В по условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В
-Р(АВ) = P(В)P(A/В).
-===Теорема за умножение на вероятности.===
-Вероятността на произведението на две събития е равна на произведението на вероятността на едното от тези събития по условната вероятност на второто събитие, изчислена при условие, че първото е настъпило:
-Р(А В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)
-- Теорема за пълната вероятност. Нека събитие К да може да се появи с едно от несъвместимите събития Ai, i = 1,2, ... ,n, обединението на които съвпада с пространството от елементарни събития , т.е.
-= {А1 U А2 U U Аn}, Ai U Aj и Ai Aj = , ij.
-Събитията Ai обикновено се наричат хипотези.
-Теоремата за пълната вероятност гласи, че вероятността на събитие К, което може да се появи съвместно с която и да е от хипотезите Аi, i = 1,2,..., n, е равна на сумата от произведенията, две по две, на вероятностите на всяка от тези хипотези по съответстващите им условни вероятности за настъпване на събитие К
-[[File:teoriqnaveroqtnostite15.jpg|200px]]
-===Формула на Бейс===
-Нека събитията А1, А2, ..., Аn представляват всички възможни изходи от предприето действие и събитие К е резултат, който може да настъпи с настъпването на което и да е от тези събития. Съгласно формулата за умножение на вероятности, вероятността за настъпване на събитие К и което и да е от събитията Аi , i = 1, 2, ... , n, е равна на
-P(Ai K) = P(Ai)P(K/Ai) = P(K)P(Ai / K). (4.8)
-От тук се определя
-[[File:teoriqnaveroqtnostite16.jpg|200px]]
-Съгласно теоремата за пълната вероятност
-[[File:teoriqnaveroqtnostite17.jpg|200px]]
-Като се замести се получава:
-[[File:teoriqnaveroqtnostite18.jpg|200px]]
 ==Елементи на теория на вероятностите==