Разлика между версии на „Линеен код“

Текуща версия към 15:29, 25 март 2014

С е двоичен линеен код с пораждаща матрица

Всяко подпространство С на V на степен n се нарича линеен код.

Същност

Ако dimC = k , то С се нарича (п.к) код. Ако d (C ) = d, то С се нарича |п.к.d|- код. Ще дадем една интерпретация на линейните кодове, която ги свързва с комбинаторните покрития От векторите на (п, k, d ) - код образуваме матрица A = a|ij| , в която те са редове. Матрицата А се тълкува като матрица на инцидентност в следния смисъл: j-mu стълб съответства на елемент j S(п), а i-mu ред съответства на подмножество Bi (блок), като jB1 <=> aij =0(т.е. тук нулата е знак на инцидентност). Сега е ясно, че за всеки блок Bi, |Bi| n-d, Блоковете не са равномощни, но чрез произволно допълване с елементи от S[n] можем да ги направим такива. Чрез индукция по k се доказва [23], че всяка [k -1]-орка на S[n] се съдържа в някой блок Bi , т.е. блоковете образуват (n,n-d,k-1) покритие и очевидното следствие е n-d k-1, откъдето се получава неравенството на Сингълтън за разстоянието на линеен ( n,k,d ) код: d[C]=d n-k+1

Вижте още

Източници

David Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction
A. H. Land and S. Powell, Fortran Codes for Mathematical Programming: Linear, Quadratic and Discrete
Bernard Kolman and Robert E. Beck, Elementary Linear Programming with Applications, Second Edition (Computer Science & Scientific Computing Series)
Mokhtar S. Bazaraa, John J. Jarvis and Hanif D. Sherali, Linear Programming and Network Flows

Външни препратки

@@ Ред 5: / Ред 5: @@
 Ще дадем една [[интерпретация]] на линейните кодове, която ги свързва с комбинаторните покрития От векторите на (п, k, d ) - код образуваме матрица A = a|ij| , в която те са редове. Матрицата А се тълкува като матрица на инцидентност в следния смисъл: j-mu стълб съответства на елемент j S(п), а i-mu ред съответства на [[подмножество]] Bi (блок), като jB1 <=> aij =0(т.е. тук нулата е знак на инцидентност). Сега е ясно, че за всеки блок Bi, |Bi| n-d, Блоковете не са равномощни, но чрез произволно допълване с елементи от S[n] можем да ги направим такива. Чрез индукция по k се доказва [23], че всяка [k -1]-орка на S[n] се съдържа в някой блок Bi , т.е. блоковете образуват (n,n-d,k-1) покритие и очевидното [[следствие]] е n-d k-1, откъдето се получава неравенството на Сингълтън за разстоянието на линеен ( n,k,d ) код:
 d[C]=d n-k+1
-==Задаване==
-Линейните кодове се задават по два начина:
-===Пораждаща матрица===
-Чрез пораждаща [[матрица]]: G, чиито редове образуват базис на С . Тъй като С има различен базиси, то един и същ код има различни пораждащи матрици: Например:
-|1 0 0 1 1| |1 0 0 1 1|
-G1 = |0 1 0 1 0|, G2 = |1 1 0 0 1|
-|0 0 1 0 1| |1 1 1 0 0|
-Пораждащ един и същ (5,3,2) код, защото G1 u G2 са еквивалентни и векторите от кода са:
-(00000), (10011), (01010), (00101),
-(11001), (10110), (01111), (11100)
-Kато при кода на Хеминг се вижда, че минималното разстояние на линеен код е теглото на най-леката ненулева дума. За дадения пример минималното тегло на ненулевите думи е 2, т.е. d[C] = 2
-Ако r1,r2,rk са n-мерните [[вектор]]и редове на пораждащата матрица u f = [a1,a2,.,ak] е вектор от информационни символи, то неговото представяне в базиса r1, r2,rk на кода е:
-F=a1r1+a2,r2 ++akrk
-Което е процентът на кодиране.
-===Проверочна матрица===
-Ако С е (n, k,d) код, то С1 е (n, n k, d ) код и може да се зададе с пораждаща матрица Н = ((n-k)xn), редовете на която образуват базис в С1. Тъй като (С1)1 = С, то xC Hx на степен t = 0. H се нарича проверочна матрица за С. Обикновено Н се задава във вид Н = |A|En-k|| , където En-k е единичната матрица от ред n-k. Тогава кодовите вектори са х=(х1,..,хk, xk+1,.,xn), където първите к символа са информационни, а оставащите n-k са проверочни. Ако H = |aij| , то проверочните [[символ]]и се определят от проверочните съотношения:
-xk+1 =nj=1aijxj,i=1,.n-k
-И кодирането става както при кода на Хеминг, който беше дефиниран с проверочна матрица. Ако един линеен код е зададен по този начин казваме, че той е систематичен.
-Пример:
-*Кодът с повторение има проверочна матрица
-1 0 0
-Н = 1 0 1 0
-0 0 1
-Лесно се вижда, че един вектор (а1, а2,an) е от кода тогава и само тогава, когато а1 = а2= = аn и единствените вектори с това свойство са (0,0,,0) и (1, 1,,1). Кодът с повторение е (n,1,n) код.
-*Код с проверка по четност има проверочна матрица
-H = 111111|
-Вектор (a1, a2, an) е от кода тогава и само тогава, когато a1+a2++an=0, т.е кодовите думи са двоичните п - вектори с четно тегло.
-Ако линейният код С има проверочна матрица Н = |А| En-k||, то G = |Ek|A на степен t|| A е пораждаща се С.
-Доказателство: Ще докажем, че HG на степен t=0(тук 0 е нулева матрица), т.е. векторите редове на G са ортогонални на тези от Н:
-i-mu ред на G: x = [0,0,1,0,0, a1i,a2i,a[n-k]i]
-i-mu ред на H: y = [aj1,.,aji,ajk,00,1,0,0,]
-Вижда се, че xy = aij+aji=0. Тогава всеки ред на G е от кода С, но рангът на G e kG е пораждаща матрица на код С
-Пример. В пример 5.10 беше дадена проверочната матрица на (7,4,3)- кода на Хеминг. Пораждащата матрица е:
-0 0 0 1 1 1
-1 0 0 1 1 0
-G = 0 0 1 0 1 0 1
-0 0 1 0 1 1
-Нека С е линеен код с проверочна матрица Н. На всяка кодова дума с тегло t съответства линейна зависимост на t стълба от Н и обратно, на всяка линейна зависимост на t стълба от Н съответства кодова дума с тегло t от С.
-От теоремата следва, че линеен код С е проверочна матрица Н имаме d(C)=d тогава и само тогава, когато всеки d-1 стълба на Н са линейно независими, но съществуват d линейно зависими стълба. Демонстрация на този факт направихме при определяне минималното разстояние на кода Хеминг.
 ==Вижте още==
+*[[Задаване на линеен код]]
 *[[Двоичен код]]
 *[[Изходен код]]

Разлика между версии на „Линеен код“

Текуща версия към 15:29, 25 март 2014

Съдържание

Същност

Вижте още

Източници

Външни препратки

Навигация

Търсене