Линейна корелация

Практиката показва, че типичното разпределение на дадена метрична величина X има следната характерна форма,прикоято се наблюдава ясно изразен център на разпределението (с единствена мода),както и две симетрично разположени опашки. В такъв случай се казва, че наблюдавана величина X е разпределена нормално или още, че X следва нормално разпределение (normal distribution). Ако въпросната величина наистина следва някакво нормално разпределение, то с увеличаване броя на наблюденията хистограмата се стреми да приеме своеобразно гранично положение, при което горните страни на нейните стълбове се превръщат постепенно в непрекъсната линия, както е показано на следващите две диаграми.

Същност

Ясно изразен център на разпределението.

Нормално разпределение на величината „Х“.

Нормално разпределение на величината „Х“.

Въпросната непрекъсната линия представлява графиката на плътността (probability density function – pdf) за конкретното нормално разпределение. В общия случай плътността се задава от формулата:

където числата μ и σ > 0 са параметри на теоретичното нормално разпределение

N(μ,σ2 ). Посредством записа X ∈N(μ,σ2 ) указваме, че наблюдаваната величина

следва теоретично нормално разпределение с параметри μ и σ2 . Наличието на два параметъра показва, че всъщност разполагаме с цяла съвкупност от нормални разпределение. Параметърът μ се нарича теоретично средно на разпределението и на практика представлява стойността, около която се стабилизира емпиричното средно x при неограничено нарастване обема на извадката. Параметърът μ може да се интерпретира 2 като средната стойност на X , отнесено към цялата популация и по тази причина μ се нарича още средно за популацията. По аналогичен начин се разглежда и интерпретира параметърът σ – като теоретично (популационно) стандартно отклонение, съответно σ2 – като теоретична (популационна) дисперсия. Популационната дисперсия σ2 представлява стойността, около която се стабилизира емпиричната дисперсия s2 при неограничено нарастване обема на извадката. На следващата графика са показани различни форми на нормални разпределения.

Форми на нормални разпределения.

При статистическите анализи на една метрична променлива обикновено се

предполага, че тя се подчинява на някакво нормално разпределение. Нормалното

разпределение е оптимално по отношение на математическата структура, понеже се определя само от два параметъра – един за популационното средно и един за популационната дисперсия. Всеки гъвкав модел от общ характер трябва да съдържа поне един параметър за определяне на централна тенденция и поне един параметър за изменчивост около въпросната централна тенденция. В този смисъл нормалното разпределение се явява максимално икономично, понеже съдържа точно два параметъра, които представят непосредствено централната тенденция и изменчивостта относно нея. В типичния случай са налице достатъчно основания да предполагаме, че метричните величини в психологията се подчиняват на нормално разпределение или поне не се отклоняват съществено от него. Сравнително точни критерии за въпросната нормалност ще бъдат приведени по-нататък. Благоприятен за този начин на мислене се явява фактът, че отклоненията от нормалното разпределение губят постепенно своето значение при нарастване обема на извадката. Прецизният анализ обаче изисква отчитането на това съображение. Строгите аргументи в полза на нормалността на дадена величина в типичния случай се базират на известната централна гранична теорема (central limit theorem) от теорията на вероятностите, която в свободен текст гласи, че ако дадена величина X със случаен характер може да се разглежда като сбор от достатъчно много (например повече от 30) други такива, то X се подчинява (приблизително) на нормално разпределение. Казаното дотук дава основание да говорим за основен статистически модел за една метрична величина X , който се състои в предположението, че X следва нормално разпределение с някакво популационно средно μ и някаква популационна дисперсия σ2 . За да бъде детерминиран този модел е необходимо да познаваме с известна точност стойностите на μ и σ2 . Информацията за тези параметри е скрита донякъде в стойностите от наблюденията, т.е. в резултатите от извадката. Може да се обоснове математически, че емпиричното средно от наблюденията x се явява напълно удовлетворителна оценка за популационното средно μ, а емпиричната дисперсия s2 се явява такава оценка за популационната дисперсияσ2

Таблица на означенията на понятията.

В този случай се казва, че статистиката x се явява точкова оценка за μ

(означава се още μˆ = x ). Аналогично статистиката s2 се явява точкова оценка за σ2 (σˆ 2 = s2 ) и s се явява точкова оценка за σ (σˆ = s). С нарастване обема на извадката n , точковите оценки, получени от емпиричните стойности стават все по близки до теоретични стойностите и по тази причина най- важната характеристика на дадена извадка е нейният обем. За примера с величината "адаптация към средата", разгледана в §2 имаме x =178.514 и s = 27.523 , което задава конкретна крива на плътност от вида:

Като изчертаем графиката на тази плътност върху хистограмата (отчитайки мащаба) се получава следната диаграма.

Хистограма на разпределение на челичината – адаптация към средата.

В този случай се наблюдава добро визуално съвпадение, което е белег за

валидност на предположението за нормално разпределение. Основните отклонения от нормалното разпределение се изразяват чрез термините на изквивяване (skewness) и ексцес (kurtosis), за които въз основа на данните от извадката се пресмятат коефициенти:

Стойност на коефициента skewness близка до нула показва, че разпределението е симетрично, а стойност на коефициента kurtosis близка до нулата показва, че центърът на разпределението е "полегат" по характерния за нормално разпределение начин. В този смисъл стойности близки до нула на тези два коефициента представляват белег за нормално разпределение. За примера имаме skewness = −0.460 и kurtosis = −0.104 . На практика винаги се налага да се примиряваме с известни отклонения от нормалното разпределение, за което вече споменахме че в определен контекст не представляват заплаха за качеството на статистическите анализи. Трудно може да се надяваме, че в една реална ситуация визуалното съвпадение между хистограмата и съответната нормална крива може да изглежда по-добре от това на диаграмата. Всички параметри на емпиричното разпределение имат своя теоретичен еквивалент и обратно. В определен смисъл основната задача на статистиката е да се оценят теоретичните параметри въз основа на емпиричните, т.е. да детерминираме теоретичния статистическия модел, който се отнася за популацията, според данните, които разполагаме от извадката. Тук на преден план излиза фактът, че статистическият модел има абстрактен математически характер, който модел се отнася към определяне на специфичните количествени закономерности в популацията. Тази математическа насоченост не може да бъде отхвърлена напълно, понеже математиката е онази наука, която се занимава систематично с изграждане на количествени модели. Освен това още веднъж се вижда ясно колко е важно извадката да бъде представителна (непреднамерена), понеже изводите направени върху преднамерена извадка не могат да бъдат отнесени строго към популацията. Поради изложените по-горе причини, средното и дисперсията се наричат основни статистически параметри и имат важно значение даже за величини, които не се подчиняват на нормално разпределение.

Вижте още

• Корелационен анализ
• Основни понятия в корелацията
• Регресионен анализ
• Алтернатива
• Дисперсия
• Ефективност
• Задача за решаване
• Комплексност
• Линейна регресия
• Нормално разпределение
• Променлива
• Равновесие
• Системен анализ
• Статистика
• Следствие

Източници

• Riccardo Rebonato - Volatility and Correlation
• A. D. McNaught and A. Wilkinson - Compendium of Chemical Terminology, 2nd ed. (the "Gold Book"); Blackwell Scientific Publications, Oxford (1997)
• Peter Y Chen (Colorado State University) and Paula M Popovich (Ohio University) - Correlation Parametric and Nonparametric Measures; 104 pages SAGE Publications, Inc © 2002
• Philip Bobko - Correlation And Regression: Applications For Industrial Organizational Psychology And Management (Hardcover)
• B.V.K. Vijaya Kumar, (Carnegie Mellon University); and Abhijit Mahalanobis, (Lockheed Martin);and Richard Juday - Correlation Pattern Recognition

Външни препратки

• Анализ на връзки и зависмости между явленията
• Примери за корелационен и регресионен анализ
• Корелационен и регресионен анализ - модели и примери
• Изследване на зависимости
• Изчисляване на претегления коефициент на фенотипна корелация между количествени признаци в малки нееднородни извадки
• Коефициент на корелация