Форми на Закона за големите числа

Законът за големите числа съществува в две форми - силна и слаба.

Същност

И двете версии на закона посочват .. с виртуална сигурност – примерното средно равнище

,клонящо към очакваната стойност

,където X 1, X 2, ... е безкрайна поредица от независими и тъждествено разпределени IID случайни величини, с ограничена очаквана стойност E (X 1)= E (X 2) = ... = µ, където µ < ∞.

Поемането на крайни противоречия Var (X 1) = Var (X 2) = ... = σ 2 < ∞ не е необходимо. Голямо или безкрайно противоречие ще направи сближаването по-бавно, но закона за големите числа е в сила винаги. Това допускане се използва често, защото прави доказателствата по-лесни и по-кратки.

Слаба форма

Симулация, илюстрираща Закона за големите числа.

Слабият закон на големите числа определя, че средната извадка се доближава до очакваната стойност

Това означава, че за всяко положително ε число,

Тълкуване на този резултат е, че слабият закон по същество посочва, че за нула определен марж, без значение колко малък, с достатъчно голяма извадка, ще има много голяма вероятност, че средните стойност на изследванията ще бъдат близо до очакваната стойност, т.е. в рамките на маржа.

Приближената вероятност се нарича слаба конвергенция на случайни величини. Тази версия се нарича слаб закон, защото случайни величини могат да се сближат слабо (по вероятност) както по-горе, без да сесближават силно (почти със сигурност) по-долу.

Силна форма

Силният закон на големите числа гласи че извадката средно се доближава почти със сигурнос към очакваната стойност

Това е,

Доказателството за това е по-сложно от тава на слабия закон. С този закон се оправдава интуитивното тълкуване на очакваната стойност на случайна величина като дългосрочните средни стойности при многократно вземане на проби

Конвергенция се нарича силното сближаване на случайни величини. Тази версия се нарича силен закон, тъй като случайните величини, които се събират силни (почти със сигурност) са гарантирани за сближаване на слаби (в вероятност). Силният закон предполага слаб закон.

Освен това, ако събираемите са независими, но не еднакво разпределени, тогава

при условие че всяка к X е ограничена до вторият момент и

Това изявление е известен като силен закон на Колмогоров.

Разлики

Слабият закон гласи, че за определени големи величини n, средната е вероятно да е близка до μ. По този начин остава отворена възможността, че се случва безкрайно много пъти, макар и на редки интервали.

Силното право показва, че почти сигурно това няма да се случи. По-специално, това предполага, че с вероятност 1 имаме, че за всяко ε > 0, неравенството

се отнася и за всички достатъчно големи n.

Вижте още

• Единен закон за големите числа
• Закон на Борел за големите числа
• Якоб Бернули
• Комбинаторика
• Допускане
• Пиер Симон Лаплас
• Вариационен анализ
• Показатели за средно равнище
• Показатели за разсейване
• Закон на Бернули
• Графика

Източници

• Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R. (1992). Probability and Random Processes, 2nd Edition. Clarendon Press, Oxford.
• Richard Durrett (1995). Probability: Theory and Examples, 2nd Edition. Duxbury Press. 
• Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition. HCØ-tryk, Copenhagen.
• Loève, Michel (1977). Probability theory 1 (4th ed.). Springer Verlag. 
• Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). Large sample estimation and hypothesis testing. Handbook of econometrics, vol.IV, Ch.36. Elsevier Science. pp. 2111–2245. 
• Ross, Sheldon (2009). A first course in probability (8th ed.). Prentice Hall press.
• Sen, P. K; Singer, J. M. (1993). Large sample methods in statistics. Chapman & Hall, Inc.

Външни препратки

• Демонстрация на закона за големите числа
• Слаб закон за големите числа
• Силен закон за големите числа
• Закон за големите числа, форум по математика
• Закон за големите числа, дефиниция
• Закон за големите числа
• Колмогоров закон за големите числа