Разлика между версии на „Нормално разпределение“

Текуща версия към 11:49, 3 февруари 2014

Графика на нормално разпределение

Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини.

Същност

Пиер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./.

Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre) /1667-1754г./.

Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.

История

Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.

Дефиниция

Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:

Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.

Карл Фридрих Гаус (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./.

В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):

Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).

Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,

При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.

Вижте още

Източници

Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката

Външни препратки

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
-[[Image:norm_razpr.png|thumb|right|alt=Нормално разпределение.|''[[Нормално разпределение]]''.]]
+[[Image:norm_razpr.png|thumb|right|700px|alt=Нормално разпределение.|Графика на нормално разпределение]]
-'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини. Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
+'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е '''модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини.'''
-==История==
+==Същност==
+[[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]]
+[[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам де Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre) /1667-1754г./''.]]
+Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
+===История===
-[[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]]
 Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
-[[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам де Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre) /1667-1754г./''.]]
+===Дефиниция===
-[[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]]
-==Дефиниция==
 Най-простият вид нормално разпределение е известен като [[стандартно нормално разпределение]], описано чрез [[функцията за на плътност на вероятността]]:
@@ Ред 18: / Ред 19: @@
 [[Константа]]та  в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в [[експонента]] прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между [[точка на прегъване|точките на прегъване]] на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
+[[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]]
 В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както [[експонентно разпределение|експонентното разпределение]] се образува вдигането на [[линейна функция]] в експонента):
@@ Ред 30: / Ред 33: @@
 При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
-==Свойства==
-[[Image:graf1.png|thumb|right|alt= Нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.|''Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.''.]]
-Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:
-* Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
-* Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над [[абсцисна ос|абсцисната ос]].
-* Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
-* Нормалното разпределение се определя напълно от [[математическо очакване|математическото очакване]] /средната/ и [[стандартно отклонение|стандартното отклонение]]. [[Математическо очакване|Математическото очакване]] определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
-* Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
-* [[Максимум на функцията|Максимумът на функцията]] /максималната ордината на кривата/ е :
-[[file:formula4.png]]
-* На разстояние ± σ от средната кривата има две [[инфлексна точка|инфлексни точки]], в които тя преминава от [[вдлъбната крива|вдлъбната]] в [[изпъкнала крива|изпъкнала]] и обратно.
 ==Вижте още==
+*[[Свойства на нормалното разпределение]]
-* [[Теоритично разпределение]]
+*[[Графично представяне на нормално разпределение]]
-* [[Биномно разпределение]]
+*[[Франсис Галтон]]
-* [[Поасоново разпределение]]
+*[[Бейсова вероятност]]
-* [[Логаритмично разпределение]]
+*[[Вариационен анализ]]
-* [[t - разпределение]]
+*[[Показатели за средно равнище]]
-* [[F - разпределение]]
+*[[Показатели за разсейване]]
-* [[x2 –разпределение]]
+*[[Вероятностно разпределение]]
+*[[Стандартно отклонение]]
+*[[Модел на Марковиц]]
+*[[Закон на средната]]
+*[[Логнормално разпределение]]
+*[[Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление]]
 ==Източници==