Разлика между версии на „Нормално разпределение“

От Администрация и управление
Направо към навигацията Направо към търсенето
 
(Не са показани 8 междинни версии от същия потребител)
Ред 1: Ред 1:
−
[[Image:norm_razpr.png|thumb|right|alt=Нормално разпределение.|''[[Нормално разпределение]]''.]]
+
[[Image:norm_razpr.png|thumb|right|700px|alt=Нормално разпределение.|Графика на нормално разпределение]]
 
'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е '''модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини.'''  
 
'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е '''модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини.'''  
  
 
==Същност==
 
==Същност==
 +
[[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]]
 +
 +
[[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам де Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre) /1667-1754г./''.]]
 
Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
 
Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
  
 
===История===
 
===История===
  
−
 
−
[[Image:laplace.png|thumb|right|alt= Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./ |''[[Пиер Симон Лаплас]] (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./''.]]
 
 
Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
 
Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
−
 
−
[[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам де Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre) /1667-1754г./''.]]
 
−
[[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]]
 
  
 
===Дефиниция===
 
===Дефиниция===
Ред 21: Ред 19:
  
 
[[Константа]]та  в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в [[експонента]] прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между [[точка на прегъване|точките на прегъване]] на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
 
[[Константа]]та  в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в [[експонента]] прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между [[точка на прегъване|точките на прегъване]] на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
 +
 +
[[Image:gauss.png|thumb|left|alt= Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./ |''[[Карл Фридрих Гаус]] (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./''.]]
  
 
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както [[експонентно разпределение|експонентното разпределение]] се образува вдигането на [[линейна функция]] в експонента):
 
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както [[експонентно разпределение|експонентното разпределение]] се образува вдигането на [[линейна функция]] в експонента):
Ред 33: Ред 33:
  
 
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
 
При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
−
 
−
==Свойства==
 
−
[[Image:graf1.png|thumb|right|alt= Нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.|''Две криви на нормално разпределение с различни дисперсии, но с еднакви средни аритметични величини.''.]]
 
−
 
−
Нормалното разпределение, респ. нормалната крива, има много важни свойства:
 
−
 
−
* Нормалното разпределение е индискретно /непрекъснато/.
 
−
* Графиката на нормалното разпределение е разположена изцяло над [[абсцисна ос|абсцисната ос]].
 
−
* Нормалната крива асимптотично клони към абсцисната ос, но никога не я достига.
 
−
* Нормалното разпределение се определя напълно от [[математическо очакване|математическото очакване]] /средната/ и [[стандартно отклонение|стандартното отклонение]]. [[Математическо очакване|Математическото очакване]] определя центъра на разпределението, а σ – формата на кривата. При по-малко σ кривата е по-стръмна, а при по-голямо σ – по-полегата.
 
−
* Кривата е напълно симетрична пo отношение на вертикалната линия, пресичаща абсцисната ос в точка . Тя има форма на разрез на камбана.
 
−
* [[Максимум на функцията|Максимумът на функцията]] /максималната ордината на кривата/ е :
 
−
 
−
[[file:formula4.png]]
 
−
 
−
* На разстояние ± σ от средната кривата има две [[инфлексна точка|инфлексни точки]], в които тя преминава от [[вдлъбната крива|вдлъбната]] в [[изпъкнала крива|изпъкнала]] и обратно.
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
==Нормално разпределение==
 
−
 
−
Tерминът “разпределение на признака” се използва за означаване на  съответствието между значенията на случайната величина и техните абсолютни или относителни честоти. Тъй като статистическите проучвания се основават на изследването на извадки, това разпределение се нарича [[Емпирично разпределение|емпирично]]. Ако то се онагледи графично, по [[конфигурация]]та на графичния образ може да се съди за закономерността, на която е подчинено изучаваното масово явление, и да се търси аналог сред т.нар. теоретични разпределения.
 
−
 
−
Изключително важно място в теорията на статистиката заема [[Гаус-Лапласово разпределение|нормалното разпределение]]. То носи наименованието Гаус-Лапласово по имената на немския математик [[Карл Фридрих Гаус]] (1777 – 1855) и френския математик [[Пиер Симон Лаплас]] (1739 – 1827), които са го изследвали и описали теоретично. Нормалното разпределение стои в основата на изясняване на важни положения от репрезентативните статистически проучвания, интервалното оценяване, проверката на хипотези, методите за изготвяне на нормативи и др.
 
−
Ще се спрем накратко на някои негови особености:
 
−
Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по- рядко се срещат.
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz6.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz7.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.
 
−
 
−
Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz8.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz9.png]]
 
−
 
−
 
−
Симетричността на разпределението се описва с показателя за [[асиметрия]] (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz10.png]]
 
−
 
−
 
−
Където:
 
−
 
−
m3 – трети централен момент
 
−
 
−
S – стандартно отклонение   
 
−
 
−
Третият централен момент се изчислява по формула:
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz11.png]]
 
−
 
−
Където:
 
−
 
−
Xi – всяка една стойност на променливата в извадката
 
−
 
−
п – обем на извадката
 
−
 
−
 
−
 
−
Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
 
−
 
−
Asemp < Asa    се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.
 
−
 
−
Asemp=>Asa    се счита, че разпределението е несиметрично.
 
−
 
−
 
−
Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя [[ексцес]] (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz12.png]]
 
−
 
−
 
−
Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за [[еталон]] връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).
 
−
 
−
 
−
 
−
Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
 
−
 
−
Exemp< Exa    се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.
 
−
 
−
Exemp=>Exa    се счита, че разпределението има ненормален ексцес.
 
−
 
−
 
−
 
−
Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки
 
−
[[File:variacionenanaliz13.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
и [[File:variacionenanaliz14.png]]
 
−
 
−
 
−
 
−
представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz15.png]]     
 
−
 
−
 
−
 
−
Дадени са  стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz16.png]]     
 
−
 
−
Това важно свойство на нормалното разпределение  намира израз в т.нар.  “правило на трите сигми”.
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz17.png]] 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz16.png]] 
 
−
 
−
   
 
−
 
−
От фигурата се вижда, че в интервала:
 
−
 
−
* От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
 
−
* От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
 
−
* От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.
 
−
 
−
 
−
Свойствата на нормалното разпределение имат голямо приложение в научно-изследователската дейност в спорта и физическото възпитание. Те дават възможност:
 
−
 
−
1. Да се изграждат нормативи по [[Сигмален метод|сигмалния метод]]. В таблицата са дадени границите и словесните оценки на норматив по пет степенната скала на Щефко:
 
−
 
−
[[File:variacionenanaliz18.png]] 
 
−
 
−
 
−
2. Да  се оценява всяко едно значение на променливата величина. За целта се ползва т.нар. Z-оценка, която представлява нормираната стойност на оценяваното значение. Очевидно е, че ако стойността на оценяваната величина е под средното равнище, нейната Z–оценка  е отрицателна. Ако съвпада с центъра на разпределението, Z е 0, а ако е по-голяма от него - положително число.
 
  
 
==Вижте още==
 
==Вижте още==

Текуща версия към 11:49, 3 февруари 2014

Нормално разпределение.
Графика на нормално разпределение

Нормалното разпределение или разпределението на Гаус е едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за статистиката. То е модел, който отразява закономерностите в масови явления, които се намират под въздействието на множество случайни причини.

Същност

Пиер Симон Лаплас /1749-1827г./
Пиер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./.
Абрахам де Моавър /1667-1754г./
Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre) /1667-1754г./.

Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или крива на Гаус-Лаплас.

История

Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход Абрахам де Моавър (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик Карл Фридрих Гаус (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном Пиер Симон Лаплас (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в теорията на случайните грешки. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.

Дефиниция

Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за на плътност на вероятността:

Formula1.png

Константата в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между точките на прегъване на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.

Карл Фридрих Гаус /1777-1855г./
Карл Фридрих Гаус (Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./.

В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):

Formula2.png

Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така, че (което е възможно само когато a < 0).

Вместо да използване a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,

Formula3.png

При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.

Вижте още

Източници

  • Гатев, К., „Обща теория на статистиката”, ВИИ-София, София, 1986
  • Мишев, Г, Цветков, С., „Статистика за икономисти”, Денеб-консулт, София, 1995
  • Калоянов, Т., „Бизнес статистика”, Консултантска фирма „DDC”, София, 1996
  • Андрей Василев Апостолов, Физика на кондензираната материя
  • Йордан Петров Влахов, Математични методи на физиката
  • Йордан Петров Влахов, Задачи по математични методи на физиката

Външни препратки

Взето от „https://wiki.basaga.org/index.php?title=Нормално_разпределение&oldid=11718“.