Разлика между версии на „Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление“
| Ред 2: | Ред 2: | ||
==Същност== | ==Същност== | ||
| + | [[File:veroqtnostno_razpredelenie4.jpg|right|500px]] | ||
Нормалното разпределение е свързано със закона за големите числа чрез централната пределна теорема и е [[модел]], който отразява [[закономерност]]ите на масовите явления. Една нормална величина е нормално разпределена, когато има множество стойности, които са породени от множество независими помежду си фактори, причиняващи случайни колебания. Графичния образ на нормалното разпределение има формата на камбана. Следователно нормална крива е онази идеална симетрична крива, която описва и нормалното разпределение. | Нормалното разпределение е свързано със закона за големите числа чрез централната пределна теорема и е [[модел]], който отразява [[закономерност]]ите на масовите явления. Една нормална величина е нормално разпределена, когато има множество стойности, които са породени от множество независими помежду си фактори, причиняващи случайни колебания. Графичния образ на нормалното разпределение има формата на камбана. Следователно нормална крива е онази идеална симетрична крива, която описва и нормалното разпределение. | ||
Съвкупността, въз основа на която е построена нормалната крива се нарича [[нормална съвкупност]]. За по-нататъшна илюстрация на концепцията за вероятност и връзката й с вероятностното разпределение ще разгледаме разпределнието на резултатите от измерването на дължината на 5000 артефакта, датирани към една фаза. Известно е, че разпределението на тези резултати е нормално и има средна 60 и [[стандартно отклонение]] 10. Кривата на нормалното разпределение с тези параметри е показана на Фигура 3. | Съвкупността, въз основа на която е построена нормалната крива се нарича [[нормална съвкупност]]. За по-нататъшна илюстрация на концепцията за вероятност и връзката й с вероятностното разпределение ще разгледаме разпределнието на резултатите от измерването на дължината на 5000 артефакта, датирани към една фаза. Известно е, че разпределението на тези резултати е нормално и има средна 60 и [[стандартно отклонение]] 10. Кривата на нормалното разпределение с тези параметри е показана на Фигура 3. | ||
| − | + | ||
Да предположим, че всички 5000 резултата са записани на отделни листчета хартия и са поставени в урна. Тъй като резултатите са нормално разпределени можем да използваме нормалната крива за изчисляване на вероятностите, свързани с определени резултати. Например, можем да определим вероятността да изтеглим от урната листче с резултат, който лежи между 20 и 30. От Глава 4 е известно, че 34.13% от всички резултати лежат в границите 20-30 мм (едно сигмално отклонение) и, следователно, вероятността да изтеглим резултат в този интервал е 0.3413. От таблицата за [[нормално разпределение]] можем да определим, че тази вероятност е 0.3413 и по следния начин: | Да предположим, че всички 5000 резултата са записани на отделни листчета хартия и са поставени в урна. Тъй като резултатите са нормално разпределени можем да използваме нормалната крива за изчисляване на вероятностите, свързани с определени резултати. Например, можем да определим вероятността да изтеглим от урната листче с резултат, който лежи между 20 и 30. От Глава 4 е известно, че 34.13% от всички резултати лежат в границите 20-30 мм (едно сигмално отклонение) и, следователно, вероятността да изтеглим резултат в този интервал е 0.3413. От таблицата за [[нормално разпределение]] можем да определим, че тази вероятност е 0.3413 и по следния начин: | ||
Версия от 11:24, 3 февруари 2014
Нормалната крива (или, което е същото, нормалното рапределение) най-често се използва като вероятностен модел, който облекчава изчисляването на вероятността за поява на интересуващото ни събитие.
Същност
Нормалното разпределение е свързано със закона за големите числа чрез централната пределна теорема и е модел, който отразява закономерностите на масовите явления. Една нормална величина е нормално разпределена, когато има множество стойности, които са породени от множество независими помежду си фактори, причиняващи случайни колебания. Графичния образ на нормалното разпределение има формата на камбана. Следователно нормална крива е онази идеална симетрична крива, която описва и нормалното разпределение.
Съвкупността, въз основа на която е построена нормалната крива се нарича нормална съвкупност. За по-нататъшна илюстрация на концепцията за вероятност и връзката й с вероятностното разпределение ще разгледаме разпределнието на резултатите от измерването на дължината на 5000 артефакта, датирани към една фаза. Известно е, че разпределението на тези резултати е нормално и има средна 60 и стандартно отклонение 10. Кривата на нормалното разпределение с тези параметри е показана на Фигура 3.
Да предположим, че всички 5000 резултата са записани на отделни листчета хартия и са поставени в урна. Тъй като резултатите са нормално разпределени можем да използваме нормалната крива за изчисляване на вероятностите, свързани с определени резултати. Например, можем да определим вероятността да изтеглим от урната листче с резултат, който лежи между 20 и 30. От Глава 4 е известно, че 34.13% от всички резултати лежат в границите 20-30 мм (едно сигмално отклонение) и, следователно, вероятността да изтеглим резултат в този интервал е 0.3413. От таблицата за нормално разпределение можем да определим, че тази вероятност е 0.3413 и по следния начин:
1. Намираме стандартизираните стойности, които съответстват на интервала. В случая,
и
2. По Таблица В1 определяме лицето 3 на повърхнината под кривата, което съответства на дадения аргумент: за z1 това е 0.500 и за z2 0.8413
3. Разликата 0.8413-0.5000 = 0.3413 ни дава необходимата вероятност.
Каква е вероятността да изтеглим резултат, който е по-голям от 50 мм или по- малък от 10 мм? Тази вероятност ще се получи като сума от вероятностите за двете отделни събития:
1. Намираме стандартизираните стойности:
и
2. Определяме от таблицата съответните лица на повърхнината под кривата:
0.0228 и 0.9772. Последното число изрязава вероятността резултатът да е по- малък от 50 точки. Следователно, вероятността да е по-голям ще е 1.0 – 0.9772 = 0.0228. Вижда се, че двете търсени вероятности са равни, както и трябва да се очаква при симетричните разпределения, каквото е нормалното.
3. Търсената вероятност ще е 0.0228 + 0.0228 =0.0456.
С други думи, малко вероятно е резултатът да е по-голям от 50мм или по-малък от 10мм. От друга страна, е твърде вероятно, т.е. налице е голяма вероятност, резултатът да лежи в интервала 10-50. Както лесно може да се види, тази вероятност е 0.6826. Отново ще отбележим, че сумата от всички вероятности е единица и е равна на лицето на повърхнината, ограничена от кривата и абсцисната ос. Независимо, че горният пример е изкуствено конструиран, използването на нормалното разпределение за определяне на вероятности за настъпване на дадено събитие е твърде важно. В този смисъл, нормалната крива служи като базово вероятностно разпределение. В действителност нормалното разпределение е един от най-често използваните модели за описание на поведението на случайните променливи.
Изводите се опират на формалното проектиране (индуциране) на знания от извадката към популацията. Това проектиране се основава на предположението, че извадката е представителна (репрезентативна) за популацията, от която е извлечена по отношение на променливата, която представлява интерес за изследването. Представителността се осигурява чрез случайното получаване на извадката така, че всеки елемент на популацията да може да бъде избран случайно и всяка комбинация от случаи (извадка) да има равен шанс да бъде извлечена от популацията. Обикновено за тази цел се използват таблици на случайните числа или генератор на псевдослучайни числа.
Вижте още
- Равномерно вероятностно разпределение
- Закон за вероятностно разпределение на случайната величина
- Видове вероятности
- Теория на вероятностите
- Задача за решаване
- Научен подход
- Променлива
- Рационално решение
- Прогноза
- Случайно число
- Теория на решенията
- Функция на полезност
- Следствие
Източници
- Ramsey, F.P. Truth and Probability, in The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, by F.P. Ramsey. Harcourt Brace, Co, New York, 1931.
- Savage, L.J. The Foundations of Statistics. Wiley, New York, 1954.
- Von Newman, J., O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. University Press, New Jersey, 1944.
- Wald, A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950. Fan, Jianqing (1991). "On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems". The Annals of Statistics 19 (3):
- Gavss, Carolo Friderico (1809) (in Latin). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the Sun in conic sections] .
- Gould, Stephen Jay (1981). The mismeasure of man (first ed.)
- Halperin, Max; Hartley, HO; Hoel, PG (1965). "Recommended standards for statistical symbols and notation. COPSS committee on symbols and notation" . The American Statistician
- Hart, John F.; et al (1968). Computer approximations . New York: John Wiley & Sons, Inc.
- Herrnstein, C. ; Murray (1994). The bell curve : intelligence and class structure in American life . Free Press
- Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth . London.
- Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 1 .
- Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 2 .
- Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Normative terminology: 'normal' in statistics and elsewhere . Statistics and public policy, edited by Bruce D. Spencer. Oxford University Press. Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution
- Pearson, Karl (1905). "'Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson'. A rejoinder".
- Pearson, Karl (1920). "Notes on the history of correlation". Biometrika 13
- Stigler, Stephen M. (1978). "Mathematical statistics in the early states". The Annals of Statistics