Разлика между версии на „Теория на хаоса“
| Ред 53: | Ред 53: | ||
| − | Топологичното смесване в динамиката на хаоса означава такава схема на разширение на системата, че една от нейните области, в някой стадий на разширяване се | + | Топологичното смесване в динамиката на хаоса означава такава схема на разширение на системата, че една от нейните области, в някой стадий на разширяване се нагажда на коя да е друга област. |
| − | Математическото понятие | + | Математическото понятие „[[смесване]]”, като пример за хаотична система, съответсва на смесването на разноцветни цветове или течности. |
===Тънкости в определението=== | ===Тънкости в определението=== | ||
Версия от 17:36, 24 януари 2011
Теорията на хаоса е математически апарат, описващ поведението на някои нелинейни динамични системи, подложени при определени условия на явление, известно като хаос.Поведението на такава система изглежда случайно, даже ако модела описващ системата е детерминиран.
Примери за такива системи са атмосферата, турболентните потоци, биологичните популации, обществото, като система на комуникации и неговите подсистеми: икономически, политически и други социални системи. Тяхното изучаване, обикновено се съпровожда от математическо моделиране.
Теорията на хаоса е област на изследване, свързваща математиката, физиката и философията.
Основни сведения
Теорията на хаоса гласи, че сложните системи зависими от първоначалните условия и неголемите изменения в обкръжаващата среда, водят до непредсказуеми последствия.
Математическите системи с хаотично поведение са детерминирани, но и се подчиняват на някои строги закони, затова се явяват и упорядъчни. Тази употреба на думата „хаос”, се отличава от обичайното значение (хаосът в мифологията). Също така съществува област на физиката, като теорията на квантовия хаос, изучаваща недетерминираните системи, подчиняващи се на законите на квантовата механика.
Пионери в теорията се считат френския физик и философ Анри Поанкаре ( доказал теоремата за възвръщането), съветските математици А. Н. Арнолд, Мозер – построили теорията на хаоса, наречена КАМ ( теория Колмогоров-Арнолд-Мозер). Теорията въвежда понятието атракт.
Понятието хаос
В ежедневието думата „хаос”, означава „ състояние на беспорядък”. В теорията на хаоса, прилагателното хаотичен, е определено по точно. Дори да няма общоприето универсално математическо определение за хаоса, обикновено изполваното определение гласи, че динамична система, която се класифицира като хаотична, трябва да има следните свойства:
- Трябва да е чувствителна към началните условия;
- Трябва да има свойството на топологичното смесване;
- Нейните периодични орбити трябва да бъдат плътни нявсякъде.
Линейните системи никога не са хаотични. За да стане една динамична система хаотична, тя трябва да е нелинейна. По теоремата на Поанкаре-Бендиксон, непрекъснатата динамична система на плоскостите, не може да бъде хаотична. Сред непрекъснатите системи на хаотичното поведение има само неплоски пространствени системи ( задължително наличие на най-малко три измерения и неевклидова геометрия). Дискретната динамична система на някои стадии може да прояви хаотично поведение даже в едномерно или двумерно пространство.
Чувствителност към началните условия
Чувствителност към началните условия в такава система означава, че всички точки, първоначално близко една до друга, след време имат значително различаващи се траектории. В този смисъл, произволно малко изменение на текущата траектория, може да доведе до значително изменение в нейното бъдещо поведение. Доказано е, че последните две свойства фактически подразбират чувствителност към първоначалните условия ( алтернативното, по- слабо определение за хаоса използва само първите две свойства от гореспоменатия списък).
Чувствителността към началните условия е по-известна, като „Ефекта на пепрудата”. Възникването на термина е свързано със статията „Предсказание: размахът на крилата на пеперудите в Бразилия, предизвиква торнадо в щата Тексас”, която Едуарт Лоренц, през 1972, връчва на американската „Асоциация за предвижване на науките” във Вашингтон. Размахът на крилата на пеперудите символизира малките изменения в първоначалното състояние на системата, което предизвиква редица от събития, водещи до мащабни изменения. Ако пеперудата не маха с крила, то траекторията на системата ще бъде съвсем друга, което доказва определена линейност на системата. Но малките изменения в първоначалното състояние на системата, могат и да не предизвикат редица от събития.
Топологично смесване
Топологичното смесване в динамиката на хаоса означава такава схема на разширение на системата, че една от нейните области, в някой стадий на разширяване се нагажда на коя да е друга област.
Математическото понятие „смесване”, като пример за хаотична система, съответсва на смесването на разноцветни цветове или течности.
Тънкости в определението
В популярни разработки, чувствителността към първоначалните условия, често се бърка със самия хаос. Границата е много тънка, доколкото зависи от избора на показатели на измеренията и определенията за разтоянието с конкретния стадий на системата. Например, да разгледаме проста динамична система, която нееднократно удвоява първоначалното си значение. Такава система има чувствителна зависимост от първоначалните условия навсякъде, така както всеки две точки в първоначалния стадий, в последствие на случаен принцип, ще бъдат на значително разстояние една от друга. Но нейното поведение е тривиално, доколкото всички точки, освен нула, имат тенденция към безкрайност и това не е топологично смесване.
Даже за закрити системи, чувствителността към първоначалните условия не е идентична с хаоса, в смисала на изложеното по-горе.
Прости хаотични схеми
Хаотични могат да са и прости системи без диференциални уравнения. Пример е логическото представяне, което описва изменението в количеството на населението с течение на времето. Логическото представяне се явява полиноминално представяне от втора степен и често се свежда в качеството на типичен пример за това, как хаотичното поведение може да възникне от много прости нелинейни динамични уравнения. Друг пример е моделът на Рикер, който също описва динамиката на населението. Клетъчния автомат – това е набор от клетки, образуващи някои периодични решетки със зададени правила на прехода. Клетъчният автомат се явява дискретна динамична система, поведението на която напълно се определя от термините за локална зависимост. Еволюцията даже на простите дискретни системи, като клетъчния автомат, може силно да зависи от първоначалните условия. Стивън Волфрам изследвал това свойство на клетъчния автомат и го нарекъл Правило N 30. Простия модел на консервативното (обратимото) хаотично поведение демонстрира така нареченото представяне – кот Арнолд. В математиката представянето – кот Арнолд се явява модел на тор, който той демонстрирал през 1960 година с използването на образа на котката.
Използване
Теорията на хаоса се използва в много научни дисциплини: математика, биология, информатика, икономика, инженерство, финанси, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатория, хаотично поведение може да се наблюдава в различни системи, например електрически схеми, лазери, химически реакции,динамиката на течностите и магнитно-механични устройства. В природата, хаотично поведение се наблюдава в движението на спътниците на слънчевата система, евлоюцията на магнитното поле на астрономическите тела, приръста на населението в екологията, динамиката в потенциала на неиронните и молекулярни колебания. Има съмнение за съществуването на данимака на хаоса в тектонските плочи и в икономиката.
Едно от най-успешното използване на теорията на хаоса било в екологията, когато динамичните системи приличащи на модела на Рикер, се използвали за да покажат зависимостта на приръста на населението от неговата плътност. В днешно време теорията на хаоса се използва в медицината, при изучаване на епилепсията за предсказване на пристъпите, отчитайки първоначалното състояние на организма. В областта на физиката, квантовата теория на хаоса, изследва връзката между хаоса и квантовата механика. Не отдавна се появи нова област, наречена хаос на относителността, за да опише системите, които се развиват по законите за общите теории на относителността.
Фрактали и атрактори
Фракталът е свързан с хаоса така както резултата с процеса. Природните фрактали се получават в резултат на някакво итеративно развитие, на генезис в неравновесни дисипативни среди (т.е. среди със загуби на енергия). Естественият подбор води към опреден вид като атрактор. Това са ефекти на самоорганизацията. Чувствителността на тези процеси към стартовите условия и към средата води до невъзможността за детайлно предсказване, винаги има място макар незначително, но несходство на кристалите, организмите, обществените формации и други резултати на взаимодействие на частите.
Мащабната инвариантност на фрактала не позволява да го измерим и локализираме в пространството. Същите свойства са присъщи и на атрактора, което го определя като фрактал. Измерванията определят за хаусдорфовата размерност на Лоренцовия атрактор D = 2.06, т.е. траекториите на системата са почти двумерни.
Точков атрактор
Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда. Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води например човека неизменно към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия.
Цикличен атрактор (граничен цикъл)
Следващият тип атрактор е граничния цикъл, който има вид на затворена крива линия. Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене. Друг пример е биенето на сърцето. Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива. Цикличния атрактор кара човека да се стреми отначало към едно нещо, а след това към друго (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново. Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии.
Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение.
Тороидален атрактор
Тороидалния атрактор е още по-сложен атрактор. Той представлява сложна циркуляция, която се повтаря, докато се движи напред. Съществува в третото измерение, в тяло, което се състои от безкраен брой плоскости. В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност. Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образеца е фиксиран и краен. Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор). Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, откоято е тръгнал, завършвайки пълен оборот.Неговата основна характеристика е повторящото се действие.
От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество линии в тримерното пространство.
Странен атрактор
Хаотичните движение се описват и със странния атрактор, който е най-сложен и има много параметри. Например, простата тримерна система на прогнозата се описва с атракта на Лоренц – една от най-известните диаграми на хаотични системи, не само защото е една от първите, но и защото тя е една от най-сложните. Друг такъв атрактор се явява представянето на Рьослер (Rössler), което има двоен период, подобно на логистичното представяне.
Странните атрактори се проявяват и двете системи – и в непрекъснатите динамически ( като системата на Лоренц) и в някои дискретни (например представянето на Хенон (Hénon)). Теоремата на Пуанкаре-Бендиксон доказва, че странния атрактор може да въсникне в непрекъсната динамична система, само ако тя има три или повече измерения. Това ограничение на вежи за дискретните динамични системи. Дискретните дву- и даже едномерни системи, могат да имат странни атрактори. Движението на три или повече тела, изпитващи гравитационното привличане, при някои начални условия могат да окажат хаотични движения
Източници
- Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.
- Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
- Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В.