Теория на вероятностите

Теорията на вероятностите се занимава с изследване закономерностите при случайните събития.

Всяко явление протича при известни условия. Обратно, при определени условия протича някакво явление, но ние не сме в състояние да опишем всички условия, при които протича дадено явление.

Ние определяме само някои условия за протичането на дадено явление, което ще наричаме събитие. При реализирането на тези условия даденото събитие може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне. Такова събитие, което при даден комплекс от условия може да се сбъдне, а може и да не се сбъдне, наричаме случайно.

ВЪВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ

Основни понятия на теория на вероятностите

Най-често се използва понятието опит (експеримент). Опитът се състои в осъществяване на определен комплекс от условия, в резултат на което се случва нещо, което не може да бъде предсказано предварително със сигурност. При многократното повторение на опита могат да бъдат получени различни резултати (изходи), които се представят като поява на определено събитие. Събитията се разграничават по видове, в съответствие с особеностите на тяхното проявление.

Видове събития

Сигурни(достоверни) събития

Ако при многократно повтаряне на даден комплекс от условия се реализира едно и също събитие, то се нарича сигурно или достоверно събитие.

Ето няколко примера. Ако подхвърлим с ръце еди тежък предмет нагоре, този предмет ще падне. Падането на предмета е сигурно събитие.

Пример 2: при падането на монета, върху която различаваме лицева и гербова страна, върху хоризонтална равнина тя не застава върху равнината отвестно, а пада върху една от страните си. Падането на монетата върху една от страните й е сигурно събитие.

Пример 3: при подхвърляне върху хоризонтална равнина едно кубче застава върху една от стените си. Следователно сигурно събитие е падането на куба върху една стена. За конкретност вместо куб ще говорим за зар(кубче което се използува при хазартни игри), стените на които са номерирани от 1 до 6 посредством съответен брой точки. Събитието падане на зара върху стена с брой на точките, по-малък от 7 е сигурно събитие. Сигурните събитя ще означаваме с буквата U.

Невъзможни събития

Ако при реализиране на определен комплекс от условия дадено събитие не се сбъдва, то се нарича невъзможно събитие.

Пример за невъзможно събитие е при падане върху хоризонтална равнина една монета да застане отвесно. Друг такъв пример е заставането на зар върху ръб или даже върху връх. Невъзможно събитие е падането на зара върху стена със 7 точки. Невъзможните събития ще означаваме с буквата V.

Противоположни събития

Две събития ще наричаме противоположни, ако се реализират при еди и същи комплекс от условия и ако винаги, когато едното събитие се реализира, другото не се реализира.

Пример за противоположни събития са разгледаните по-горе сигурни и невъзможни събития. Падането на една монета върху лицевата й страна и падането й върху гербовата й срана, разгледани като две събития, са също противоположни, защото монетата не може да е паднала върху лицевата си страна, ако е паднала върху гербовата си страна и обратно.

Падането на зара върху стена с четен брой точки и върху стена с нечетен брой е също невъзможно събитие. Не е трудно да се разбере, че всяко събитие има свое противоположно. Противоположното на дадено събитие можем да дефинираме като събитие, което се реализира, ако даденото не се реализира, или обратно, което остава нереализирано в резултат на реализирането на даденото събитие.

Ако с А означим даденото събитие, то с А ще означаваме неговото противоположно. Логически казано, А е не А и А е не А

Съгласно въведените по-горе означения за сигурно и невъзможно събитие имаме равенствата

U = V, V = U

Несъвместими и съвместими събития

Събития, които не могат да се реализират (едновременно) при един и същ комплекс от условия, се наричат несъвместими. Несъвместими събития са например противоположните. Но докато при противоположните се реализира едно от тях, щом другото не се е реализирало, при несъвместимите събития това не е задължително. Две несъвместими събития могат и едновременно да не се реализират. Тяхното едновременно реализиране обаче е отречено по определение. При хвърлянето на един зар несъвместими са например следните две събития: падането на зара върху стена с една точка и падането му върху стена с четен брой точки. Съвместимите събития ще определим като събития, които не са несъвместими.Пример на съвместими събития е падането на зар върху стена с една точка и падането на зар върху стена с нечетен брой точки

Елементарни и сложни събития

При даден комплекс от условия се реализират различни събития. Някои от тях могат да бъдат определени като основни, неизразени посредством други събития, но посредством които се изграждат останалите събития. Такива основни събития ще наричаме елементарни а останалите събития – сложни. Ще отбележим, че както елементарните, така и сложните събития се обуславят единствено от комплекса от условия. Не е изключено едно и също събитие да може да реализира при два различни комплекса от условия, но при единия комплекс то да е елементарно, а при другия сложно. По принцип смятаме, че при различни комплекси от условия се реализират различни събития.

Примери за елементарни и сложни събития:

При хвърлянето на една монета елементарните събития са две: падане върху лизевата страна и падане върху гербовата страна. Също така при хвърляне на зар имаме 6 елементарни събития, за 6-те различни стени. Падането на зара върху стена с четен брой точки е сложно събитие, което се състои в реализирането на едно от елементарните събития за падане върху стена с 2, 4 или 6 точки. Ако хвърлим две монети едновременно, то елементарните събития са двойка елементарни събития за една монета. Ще означаваме с Л и Г съответно събитията падане на монета върху лицевата и падане върху гербовата й страна. За падане на 2 монети имаме следните четири елементарни събития: ЛЛ, ЛГ, ГЛ, ГГ.

Сложно събитие е падане на двете монети върху различни стени, тогава, когато едната монета е паднала върху Л страна, а другата върху Г или обратно(ЛГ или ГЛ). Така това сложно събитие се реализира само когато се реализира едно от двете елементарни събития(ЛГ или ГЛ), но то не е тъждествено с тях, а само е изградено посредством тези елементарни събития. И така при даден комплекс от условия всяко събитие може да се разглежда като изградено посредством елементарни събития. Ние ще разгледаме всяко събитие като множество, чиито елементи са елементарни събития.

Действия със събития. Поле от събития

Известни са действията с множества. Тъй като ние разглеждаме събитията като множества, то имаме възможност лесно да извършваме действия и със събития.

Преди всичко, ако А е дадено събитие, изградено посредством елементарните събития а1, а2, а3,... аn,то смятаме, че събитието А се сбъднало, ако се е сбъднало поне едно от изграждащите го елементарни събития а1, а2, а3,... аn.

Еквивалентни събития

Казваме, че събитието А следва от събитието В или че А се съдържа в В, или В съдържа А, което записваме така; А ?(само че знака е легнал) В или В ?(само че знака е легналА). Занапред, когато говорим за различни събития , ще смятаме, че имаме един и същи комплекс от условия, ако не е казано противното. Ако А и В са две събития, такива че А следва от В и В следва от А, т.е. А?В и В?А Ще казваме че А и B са еквивалентни(равносилни) или просто равни и това ще записваме така А = B

Вероятност. Методи за определяне на вероятности

Когато експериментът е проведен n пъти и събитие А се е появило m пъти, отношението

показва какъв дял от общия брой случаи се пада на събитие А. Тази величина се нарича относителна честота или честост, а числото m - честота. Най-често относителната честота се записва с

Относителната честота има следните свойства:

1) 0W(A)1, т.е. тя е неотрицателна величина.

2) Ако събитие К е достоверно (сигурно) събитие, W(K) = 1, т.е относителната честота на достоверно събитие, в случая събитие К, е равна на единица. Важи и обратното, че ако дадено събитие има относителна честота равна на единица, то е достоверно събитие.

3) За редицата от събития A1, А2, ... , Ak

За събитията А и В с честоти m(А) и m(В) и честости W(A) и W(В) важи

Относителната честота е характеристика, която се получава след като е проведен експеримент или са извършени съответни наблюдения. В редица случаи са необходими характеристики за настъпването на разглежданите събития, които се получават преди да е извършен експеримент и описват техните честотни закономерности. Такива характеристики се наричат вероятности. Ако се разглежда събитие А, принадлежащо на множеството F (А F), вероятностната мера за събитие А се бележи с Р(А).

За вероятностите важи следното:

1. ) За всяко събитие А F 0 Р(А) 1.

1. ) Вероятността за поява на достоверно събитие е равна на единица, т.е. Р() = 1.

1. ) Вероятността на сума от множество две по две несъвместими събития Aj F, j = 1,2, ... , е равна на сумата от техните вероятности

Вероятността за противоположното събитие (A) е

като Р(А) + Р(A) = 1.

Съвкупността от множеството , определеното на него множество F и вероятностната мера Р(А) за поява на събитие А, принадлежащо на F, образува вероятностно пространство и е част от математическия модел на експеримента. За определяне на вероятностите се използват т.нар. класически (лапласов) метод, статистически метод и метод на експертните оценки (субективните вероятности).

Класически (лапласов) метод

Разглежда се вероятностен експеримент Е с пространство от елементарни събития = {i / i = 1, 2, ... , n}. Събитията i са несъвместими помежду си и са равно възможни, т. е. Р(1) = Р(2) = ... = Р(n). В резултат от експеримента се появява едно от тях. Вероятността за поява на което и да е елементарно събитие е

При този метод на задаване на вероятностите, вероятността на което и да е събитие А, състоящо се от появата на едно от елементарните събития 1, 1, ... , m , m < n, т.е. събитието А = {1, 2, , m} се изчислява по формулата

Събитията 1, 1, ... , m се наричат благоприятни за събитие А. Формулата показва, че ако всички елементарни събития j са равно възможни, вероятността за настъпване на което и да е събитие А F е равна на отношението на броя на елементарните събития, благоприятни за събитие А, към общия брой на елементарните събития.

Статистически метод

При класическия метод се предполага, че е известен броят на елементарните събития, и че те са равно възможни. Това не винаги е изпълнено. В такива случаи се прилага статистическият метод. Нека е произволно множество от елементарни събития на експеримента Е. Експериментът се повтаря n пъти при еднакви условия, представени като комплекс от условия S. Относителната честота за поява на събитие А е

При този метод относителната честота на събитие А се приема като оценка на вероятността за поява на това събитие с точност , т.е. Р(А) = W(A) + , където е грешката, която се допуска. В основата на метода е заложена хипотезата, че съществува такава константа Р(А), около която се групират относителните честоти

изчислени за многократни повторения на експеримента при еднакви условия S. С нарастването на n, относителните честоти се приближават към вероятността Р(А).

Метод на експертните оценки

Прилага се когато повторението на експеримента при еднакви условия е невъзможно, причина за което могат да бъдат естеството на процеса, разходите за експеримента, ограничеността на времето и др. В тези случаи се прибягва към експертни оценки на вероятностите за поява на даденото събитие.Нека експертизата обхваща n експерти и m от тях са изказали мнение, че събитие А ще се появи. Тогава вероятността за поява на събитието се определя като

В този случай мненията на експертите се приемат за еднакво правдоподобни. Основание за това е предположението за еднаква степен на квалификация, информираност и неангажираност. В конкретни случаи могат да се дадат различни тегла на експертите. При метода на експертните оценки се ползва понятието субективна вероятност. По предложение на Кейнс вероятността за поява на събитие А, оценявана от експерти, разполагащи с комплекс информация I, се определя като P(A,I). Ако информацията се промени, например на I', тогава вероятността се определя като P(A,I').

Действия с вероятности

Събиране на вероятности (вероятност на сума от събития)

Събиране на вероятности се извършва като се има предвид дали събитията са съвместими или не са.

а) При несъвместими събития

Нека събитията A1, А2, ... , Ak са несъвместими помежду си. Сумата на вероятностите на тези събития представлява вероятността за поява на кое да е от тях, която се означава Р(А1 или А2 или ... или Ak). Тя се определя като

б) При съвместими събития

Ако две събития, събитие А и събитие В, са съвместими, което означава, че тяхното произведение не е празно множество, вероятността за поява на което и да е от тях е равна на сумата от техните вероятности минус вероятността за съвместното им появяване, т.е.

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) (4.2.)

За три произволни съвместими събития А, В и С вероятността за сумата на тези събития се определя като

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Условна вероятност

В определени случаи появата на дадено събитие зависи от това дали друго събитие, с което то е в определена вероятностна връзка, сее осъществило. Появата на второто събитие изменя условията и съответно вероятността за поява на разглежданото събитие. В общия случай нека е дадено вероятностното пространство (, F, Р) и А и В са произволни събития, като вероятността за поява на събитие В е положителна величина, т. е. Р(В)>О. Условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В, се означава обикновено с P(A/В). Тя се определя като отношение на произведението (сечението) на двете събития към вероятността за настъпване на събитие В

По подобен начин се определя условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А

Събитията А и В са независими тогава, когато P(AB) = P(A)P(B). Това означава, че P(A/B) = P(A) и P(B/А) = P(B).

Вероятност на сложно събитие (вероятност на произведение на събития)

Сложно събитие е събитието, което се състои в съвместното осъществяване, едновременно или последователно, на две или повече събития. Ако това са събитията А и В, сложно събитие е едновременното появяване и на А, и на В, означено с (А и В) или, което е същото, с (АВ). Вероятността за сложното събитие (А и В) се определя като произведение на вероятността за настъпване на събитие А по условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4.5)

или като произведение на вероятността за настъпване на събитие В по условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В

Р(АВ) = P(В)P(A/В).

Теорема за умножение на вероятности.

Вероятността на произведението на две събития е равна на произведението на вероятността на едното от тези събития по условната вероятност на второто събитие, изчислена при условие, че първото е настъпило:

Р(А В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)

- Теорема за пълната вероятност. Нека събитие К да може да се появи с едно от несъвместимите събития Ai, i = 1,2, ... ,n, обединението на които съвпада с пространството от елементарни събития , т.е.

= {А1 U А2 U U Аn}, Ai U Aj и Ai Aj = , ij.

Събитията Ai обикновено се наричат хипотези.

Теоремата за пълната вероятност гласи, че вероятността на събитие К, което може да се появи съвместно с която и да е от хипотезите Аi, i = 1,2,..., n, е равна на сумата от произведенията, две по две, на вероятностите на всяка от тези хипотези по съответстващите им условни вероятности за настъпване на събитие К

Формула на Бейс

Нека събитията А1, А2, ..., Аn представляват всички възможни изходи от предприето действие и събитие К е резултат, който може да настъпи с настъпването на което и да е от тези събития. Съгласно формулата за умножение на вероятности, вероятността за настъпване на събитие К и което и да е от събитията Аi , i = 1, 2, ... , n, е равна на

P(Ai K) = P(Ai)P(K/Ai) = P(K)P(Ai / K). (4.8)

От тук се определя

Съгласно теоремата за пълната вероятност

Като се замести се получава:

Елементи на теория на вероятностите

Случайни величини

Под случайна величина ще разбираме величината приемаща в резултат на опита някакво числово значение. Пример: Числото, падащо при хвърляне на зар. Тази случайна величина може да приеме едно от числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Случайна величина, приемаща краен брой значения се нарича дискретна случайна величина. Случайна величина, приемаща значенията си в някакъв интервал се нарича непрекъсната. За да се характеризира случайна величина е необходимо да се укажат възможните нейни значения (по-нататък ще разглеждаме дискретни случайни величини). Но това не е достатъчно: необходимо е да знаем колко често приема значенията си. Това най-добре се характеризира с вероятността за отделните нейни значения т.е. за случайната величина X трябва да укажем значенията и x1, x2, ., но и вероятностите за събитията X=xi.

pi=P(X=xi)

състоящи се в това, че X приема значение xi. Съответствието xi pi се нарича закон за разпределение на случайната величана. Математическо очакване и дисперсия на случайната величина. Математическо очакване на сл. величина X се нарича числото M(X) определено с равенството

Задача. Компютърът може да се намира в едно следните състояния:

S1 изправен работи; S2 неизправен, спрян, търси се повреда; S3 неизправността е открита, тече ремонт; S4 ремонтът е завършен, тече подготовка за пуска на компютъра. Средното време за безотказна работа на компютъра е половин ден. За ремонта отиват средно 6 ч. Търсенето на повредата продължава средно половин час (0,5 ч.). След ремонта подготовката за пускане е средно 1 ч. Да се намерят пределните вероятности на състоянията на компютрите.

Решение.

Граф на състоянията на интензивностите

Времената t1,t2,t3 и t4 ще ги представим в дни

(Време за безотказна работа)

(Време за търсене на повреда)

(Време за ремонт)

(Време за подготовка за пускане)

От системата намираме:

След което

p1 = 0.615, p2 =0.026, p3 = 0,308, p4 = 0,0051

Вижте още

• алтернатива
• вероятност
• ефективност
• хипотеза
• цел
• теорема на Бейс
• случайно число
• следствие
• решение
• риск
• оптимизация
• планиране
• информация
• критерий
• задача за решаване
• избор

Източници

• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability.
• Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp.
• Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press.
• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp.
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
• ET. Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science Cambridge University Press, (2003).
• Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
• Richard T. Cox, Algebra of Probable Inference, The Johns Hopkins University Press
• Bishop, CM., Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2007
• Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
• Wolpert, RL. (2004) A conversation with James O. Berger, Statistical science
• Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (Second ed.). Springer-Verlag
• de Finetti, Bruno. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989
• Hacking, I (1988) "Slightly More Realistic Personal Probability". 1967 article partly reprinted in: Gärdenfors, Peter and Sahlin, Nils-Eric. (1988) Decision, Probability, and Utility: Selected Readings. 1988. Cambridge University Press
• Jaynes E.T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP
• Morgenstern, Oskar (1978). "Some Reflections on Utility". In Andrew Schotter. Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern. New York University Press
• Pfanzagl, J (1967). "Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory". In Martin Shubik. Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern. Princeton University Press

Външни препратки

• Случйни величини
• Математическа статистика
• Теория на вероятностите и статистика
• Висша математика
• Теория на числата
• Надеждност и вероятност
• Вероятности и статистика
• Аспекти на информацията