Разлика между версии на „Теория на вероятностите“
| Ред 1: | Ред 1: | ||
| − | ''' | + | '''Методът Монте Карло''' е метод за '''разглеждане поведението на система''', на която всеки етап от [[промени]]те се моделира по известен [[закон]] с помощта на някакъв източник на [[случайност|случайни]] числа. |
| − | + | Според тази предпоставка се определят съществените [[белег|белези]] на метода, неговото приложение и [[прогнозиране]] на [[риск]]овете, както и взаимодействието му с останалите техниики и закони в процеса на работа. | |
| − | + | ==История== | |
| − | + | Смята се че методите за [[статистически изследван]]ия - метода на изчислителни и [[приложна математика]], въз основа на [[симулация]]та на случайни величини и изграждане на статистически оценки за неизвестните величини, са същите като медота Монте Карло. През 1930 година Енрико Ферми използва методът „Монте Карло” за изследване на [[неутрон|неутронния]] поток. По-късно той разработва механично устройство, което се използва при изчисленията по ядрена физика. В момента връзката на подобни методи и началото на ерата на компютъните технологии дават възможност за извършване на редица компютърни [[експеримент]]и, включително и тези които водят до получаването на случайни числа. | |
| + | За основатели на метода „Монте Карло” се считат амрекинаските математици [[Стенли Уламовите]], [[Джон фон Нойман]] и Никола „Метрополис”. През четиридесетте години на ХХ век, Джон фон Нойман полага основите на метода - създаването на математическата основа на [[функция|функциите]], [[вероятността плътност]], интегрирани функции, обратност на разпределение и [[генератор]]и на случайни числа. Проучванията показват, че в тясно сътрудничество със Стенли Уламовите, той е първия който реализира идеята за необходимостта от [[компютър]], за да се изпълняват изчисленията на метод Монте Карло много по-лесно. | ||
| + | [[Произход]]ът на името на метода е свързан с град в Княжество Монако, където се намира и едно от най-известните казина в света – факт е, че случайните числа са в основата на „Монте Карло”, а рулетката е едно от най-лесните [[устройство|устройства]] за генериране на случайни числа. | ||
| − | + | Друг интересен [[факт]] е свързан с това, че някои случайни методи за изчисление и експерименти, са проектирани и изпълнени и в [[праисторическата ера]] на [[компютърни технологии|компютърните технологии]]. " Основната разлика на „Монте Карло” с по-ранни изследвания в [[област]]та на [[статистическо моделиране]] е:Симулацията „Монте Карло” се е превърнала в стандарт за това това как да решим проблема с помощта на инструментите от [[теорията на вероятностите]] и математическата статистика. Което значи че това е предпоставка за необходимостта да се за занимаваме с [[детерминация]]та на проблема, след което да използваме [[симулация]]та, за да проверим [[изчисления]]та, направени по-рано. | |
| + | ==„Монте Карло” – анализ, предимства и недостатъци== | ||
| − | |||
| + | За провеждане на симулация със [[стохастични модели]] най-често се използва методът „Монте Карло”. Това е [[универсален]] метод за симулация, който намира приложение в различни области на научните изследвания и в практиката | ||
| + | Обобщената дефиниция на симулацията включва: | ||
| − | |||
| + | * Разработване ([[конструиране]]) на [[модел]] на една [[система]] – обикновено математически и логически по природа; системата може да бъде действителна или теоретична (виртуална); | ||
| − | |||
| + | * Описване на реалната система с [[термин]]и, приемливи за компютърните системи; | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * Използване (обикновено) компютър за да се изпълни симулация; | |
| − | |||
| + | * [[имитация|Имитира]] се действието на реалната система/процес; | ||
| − | |||
| + | * Симулацията е експериментиране; | ||
| − | |||
| − | |||
| + | * [[Цел]]та на системата е да намерим нещо, отнасящо се до реалната система. | ||
| − | |||
| + | За да се реши проблема чрез метода, първо се изгражда възможен модел, който представлява желана [[стойност]] като [[многомерно]] неразделно под формата на очакването ( с други думи това е случаен [[процес]], който след това се симулира на компютър ). Естествено съществуват и трудности по пътя към прилагането на метода. Но не е необходима тяхната [[дефиниция]], а по скоро надеждната оценка на неизвестните величини. Постигането на това не е толкова лесно колкото изглежда и голяма роля играе изграждането на [[вероятностен модел]]. | ||
| + | Друг важен [[компонент]] това е симулацията на случайни величини с дадена [[дистрибуция]]. Обикновенно такива модели се осъществяват чрез [[конвертиране]] на една или повече независими стойности на случйни числа и равномерното им разпределние в [[интервал]]а. Последователността на случйните стойности обикновено се извършва от компютър, като се използват теоритичните [[алгоритъм|алгоритми]], сред които най-често се използва „[[Методът на остатъците]]”. Тези числа се наричат „псевдо” и се проверяват от статистически тестове. От тук идва и основната роля на качественото генериране на случайни числа. | ||
| − | + | Основната причина, поради която използваме метода „Монте Карло” е защото чрез него много по-бързо можем да получим отговор на даден въпрос, за който по принцип е необходимо доста време, за да бъде разрешен. Например метода „Монте Карло” много добре пасва за намирането на някои много сложни [[интеграл]]и, което е задача с която други методи не биха били толкова полезни. Друго предимиство на метода е лесното симулиране на сложни физически системи в областта на [[физика]]та, [[инженерство]]то и [[химия]]та. | |
| − | |||
| − | |||
| − | + | Естествено методът си има и своите недостатъци. Все още не е общоприето дали „Монте Карло” може да се използва за симулиране на системи, които не са в [[равновесие]] (т.е. преходно състояние). Друг недостатък е, че за да се използва „Монте Карло” симулация трябва да се генерират голям брои [[проба|проби]], а това може да отнеме доста време до постигане на желаните резултати, понеже не може да се генерира само един [[образец]] и веднага да се използва в симулация, а е необходимо да се направят много проби и да се получи средната им стойност. | |
| − | + | Резултатите от „Монте Карло” симулацията са само приблизителни на действителната стойност и съвсем не са толкова точни. | |
| − | + | ==Приложение== | |
| − | |||
| + | Методът Монте Карло не се използва за определяне на [[двумерни площи]]. За това се прилагат по-точни методи. Но при определяне на площи и [[обем]]и на тела в многомерното пространство Монте Карло методът се оказва единствената възможност да се реши задачата. | ||
| − | |||
| + | [[Image:snimka1.jpg|thumb|left|alt=A scheme.|Модел на Метода Монте Карло.]] | ||
| + | Монте Карло Методът има две важни особености: | ||
| − | + | 1. Проста [[структура]] на изчислителния алгоритъм; | |
| + | 2. Грешката при изчисленията се отбелязва с формулата, където D=cost, a N – броят на изпитанията. | ||
| + | [[File:dn.png]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | От тук се вижда, че за да се намали грешката с един порядък (10 пъти) трябва да се увеличи броят на опитите N – 100 пъти. Методът Монте Карло позволява да се моделира произволен процес на чието протичане влияят случайни фактори. За много задачи несвързани със случайни фактори може изкуствено да се въведат вероятностни модели, както беше направено в примера с площите. Поради това за методът Монте Карло може да се говори като за универсален метод за решаване на задачи. Методът е много подходящ при оценката и [[прогнозиране на рискове]] за [[безопасност]] и при оценка на [[надеждност]]та на сложни системи. Решаването на задачи от този тип е свързано с отчитане на множество случайни фактори. Ако анализираме основната формула за изчисляване на [[риск]]а R. | |
| − | + | ''R ''=''P''.''T'' | |
| + | където: | ||
| + | - P е вероятността да се случи [[инцидент]]; | ||
| − | + | - Т е тежестта на последиците от инцидента. | |
| + | Следва да отбележим, че и последиците от инцидентите, както и тяхната тежест, също са с вероятностен характер. Вероятността P да се случи инцидент на практика винаги е сложна вероятност, която описва възможността да се реализира [[каскада]] от събития. | ||
| + | Метода Монте Карло е изключително полезен при проектиране на [[предприятия]], [[технологии]], [[планиране на промени]] организация. Вместо скъпо струващи експерименти в [[натура]] може да се експериментира на компютър различни варианти на организационната работа и използване на [[оборудване]]то. В редица случаи компютърното моделиране е единствения начин да се получат сведения за поведението на проектираната система. Разбира се, разчетите не идват даром. Няма универсално решение, което да се избере от менюто на “магически” [[софтуер]], което да върне резултата веднага след като попълниш своето задание. Трябва да се създаде добър модел на изследваната система, за да се получат резултати с практическа [[ценност]]. Необходимо е да се изследват щателно действителните потоци от заявки, да се проведат [[хронометражни измервания]] за работата на отделните възли и т.н. Когато системата е в проектна фаза и все още не съществува в действителност се използват проектните параметри и технологичните граници. Въобще, следва да се знаят вероятностните закони на функциониране на отделните части на системата, с което се моделира начина, по който работата им се колебае около проектните стойности. Тогава методът Монте Карло позволява да се изчислят вероятностните закони на работата на цялата система, отчитайки [[взаимосвързаност]]та между отделните и части, колкото и сложна да е тя. По такъв начин се решават задачи за [[разчет]] на надеждност на изделие, [[агрегат]], система, състояща се от множество елементи. Задачи за ефективната поддръжка и др. | ||
| − | + | Ето още един пример за полезността на метода Монте Карло при една на пръв поглед проста задача за определяне на [[качество]]то и [[надеждност]]та на изделие състоящо се от даден брой елементи. | |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==Пример за определяне на качество и надеждност:== | |
| + | Дадено е изделие състоящо се от множество елементи. Да допуснем, че качеството на изделието се определя от стойността на един изходен параметър - U , който може да се изчисли, знаейки стойностите на входните параметри на изделието R,C и др. Т.е. известна е функционалната зависимост: | ||
| + | ''U = f(R1, R2...; C1, C2...;) където: U е [[напрежение]], R - [[съпротивление]], C – [[капацитет]]'' | ||
| − | + | Съществен момент при моделирането е, че параметрите не се подбират с фиксирани стойности а се третират като случайни променливи разпределени в някакъв интервал. С метода Монте Карло може да се получи разпределението на изходния параметър U при различни комбинации от стойности на входните параметри. Изходният параметър U , като функция на случайни величини също се явява случайна променлива. Търси именно вида и интервала на разпределението му. Не винаги е ясно при кои набор от параметри ще се получи най-лош резултат. Освен това е малко вероятно всички елементи да се окажат с лоши параметри. За това е [[целесъобразно]] да се отчитат всички параметри, като случайни величини. А оценката на качеството и надеждността да се оцени статистически. Така в резултат Монте Карло симулация ще се получи средната стойност на изходния параметър и отклонението от него, което при достатъчно голям брой повторения на компютърния експеримент ще представляват на практика математическото очакване MU и дисперсията DU на изходният параметър при всички възможни комбинации от стойности на входните параметри. | |
| + | Отбелязваме, че ''MU ''¹ ''f (MR1,MR2,…;MC1, MC2,…;) ''където MR и MC са математическите очаквания съответно на R и C. Аналитичното определяне на разпределението на изходният параметър U при сложна функция е на трудно и в много практически случаи – невъзможно. Използвайки метода Монте Карло можем лесно да получим търсеното разпределение чрез компютърно моделиране. | ||
| + | Ролята на случайните разпределения в метода Монте Карло: | ||
| − | + | Ето някой от най-използваните теоретични разпределения на случайни величини. | |
| − | [[ | + | [[Image:snimka2.jpg|thumb|left|alt=A scheme of some methods.|Методи на разпределение.]] |
| + | Нормалното разпределение описва много природни феномени като грешки при измервания, ръст на хората, [[коефициент]]и на [[интелигентност]], ръст на [[инфлация]] и много други. То е непрекъснато разпределение с два параметъра – средно и стандартно отклонение. Има три условия на които отговаря нормалното разпределение: | ||
| + | * От стойностите на случайната променлива най-често срещани са средните стойности; | ||
| + | * Случайната променлива дава стойности еднакво разположени около средната – разпределението е [[симетрия|симетрично]]; | ||
| + | * Случайната променлива е по-вероятно да даде стойност близо до средната отколкото далече от нея. От всички стойностите на нормалното разпределение приблизително 68% са разположени на едно стандартно отклонение от средната. | ||
| − | показва | + | Триъгълното разпределение показва броят на успехите на даден опит, когато са известни минимума, максимума и най-вероятната стойност. На пример може да опише броят коли продадени на седмица, когато се знаят трите параметъра от минали продажби. То е непрекъснато вероятностно разпределение с три параметъра - [[минимум]], [[максимум]]и най-вероятната стойност. Има три условия, на които отговаря триъгълното разпределение: |
| − | + | * Минималната стойност е фиксирана; | |
| + | * Максималната стойност е фиксирана; | ||
| + | * Най вероятната стойност лежи между минимума и максимума, показвайки че стойностите около долните ъгли на триъгълника са по-малко вероятни от тези около върха – най-вероятната стойност | ||
| + | [[разпределение на Пуасон|Разпределението на Пуасон]] описва броят пъти за които едно събитие се случва в даден [[интервал]], като брой телефонни разговори за час или брой на грешки на страница от документ или брой на пострадалите от инциденти по време на работа за месец. То е дискретно вероятностно разпределение с един параметър - честота. Има три условия на които отговаря пуасоновото разпределение: | ||
| + | * Броят на възможните случаи във всяка единица не е [[лимит|лимитиран]]; | ||
| + | * Случайте са независими. Броят на случаите в една единица от проведеното измерване не влияе върху броят на случаите в другите единици; | ||
| + | * Средният брой случай трябва да остава същият от единица към единица | ||
| − | + | [[биномно разпределение|Биномното разпределение]] описва броят на успехите при фиксиран брой опити, като броят на падания на ези при 10 хвърляния на монета или броят на дефектните изделия от 50 тествани от склада с готова продукция. То е дискретно вероятностно разпределение с два параметъра – вероятност и брой опити. Има три условия на които отговаря Биномното разпределение: | |
| − | + | * При всеки опит има два възможни изхода – успех и неуспех; | |
| + | * Опитите са независими. Това което се получава в резултат от първия опит не засяга вторият и т.н.; | ||
| + | * Вероятността за успех остава същата от опит на опит. | ||
| − | + | [[логнормално разпределение|Логнормалното разпределение]] широко се използва в ситуации, при които стойностите са положително асиметрични (когато повечето от стойностите се получават близо до минималната стойност). Ситуация забелязана при финансовите анализи при оценката за сигурност или при недвижимите имоти при оценката на собствеността. Финансовите анализатори са забелязали, че цените на фондовата борса обикновено са положително свити а не симетрично разпределени, както при нормалното разпределение. [[ценни книжа|Ценните книжа]] проявяват тази тенденция, защото цените им не могат да паднат под нулевата долна граница, но могат да нараснат произволно. Подобно на тях цените на недвижимите имоти проявяват същата тенденция, защото не могат да станат отрицателни. Логнормалното разпределение е непрекъснато разпределение с два параметъра – средно и стандартно отклонение. Има три условия, на които отговаря Логнормалното разпределение: | |
| − | + | * Случайната променлива може да нараства безгранично; | |
| + | * Стойностите на случайната променлива имат положително свито разпределение; | ||
| + | * [[натурален логаритъм|Натурален логаритъм]] от случайната променлива води до нормалната крива. | ||
| − | [[ | + | [[еднородно разпределение|Еднородно (униформено) разпределение]], всички стойности между минимума и максимума могат да се получат с еднаква вероятност. Това е непрекъснато разпределение с два параметъра – минимум и максимум. Има три условия, на които отговаря Еднородното разпределение: |
| + | * Минималната стойност е фиксирана; | ||
| + | * Максималната стойност е фиксирана; | ||
| + | * Всички стойности между минимума и максимума са еднакво вероятни. | ||
| + | [[експоненциално разпределение|Експоненциалното разпределение]] описва периода от време, което минава между събития, като времето между два отказа в електронно оборудване, или времето между посещенията на обслужващо гише. То е непрекъснато разпределение с един параметър – честота. Има две условия, на които отговаря Експоненциалното разпределение: | ||
| − | + | * Експоненциалното разпределение допълва Пуасоновото разпределение. | |
| + | * Пуасоновото разпределение описва броят на събитията за единица време, Експоненциалното – периода от време между събитията. Експоненциалното разпределение не се влияе от предишни събития | ||
| − | [[ | + | [[геометрично разпределение|Геометричното разпределение]] описва броят на опитите до първият успех, такива като броят [[сондаж]]и, които трябва да се пробият докато избие нефтения фонтан. Това е дискретно разпределение с един параметър - [[вероятност]]. Има три условия, на които отговаря Геометричното разпределение: |
| + | * Броят на опитите не е фиксиран; | ||
| + | * Опитите продължават до първи успех; | ||
| + | * Вероятността за успех остава същата от опит към опит; | ||
| + | [[разпределение на Вейбул|Разпределението на Вейбул]] е по същество семейство разпределения, което може да приеме свойствата на няколко други разпределения. Например в зависимост от дефинираната форма разпределението на Вейбул може да [[апроксимира]] Експоненциалното разпределение и това на Рейлай ([[Rayleigh]]). То е непрекъснато разпределение. С три параметъра – [[площ]], [[мащаб]] и [[форма]]. Разпределението на Вейбул намира приложение при оценката на надеждност. | ||
| − | + | [[Бета разпределение]]то е много гъвкаво разпределение подходящо за моделиране на вероятности, базирани на статистиката на [[Бейз]]. Статистиката на Бейз и бейзовата гледна точка са в основата на съвременната статистическата теория на решенията и оценката на риска. Също така се използва за описание на [[емпирични данни]] и прогнозиране на случайно поведение на количества и части от цялото чрез представянето им като проценти и дроби. То е непрекъснато вероятностно разпределение с три параметъра – алфа, бета и мащаб. Две са условията, на които отговаря Бета разпределението: | |
| − | + | * Неизвестната променлива е случайна стойност между 0 и мащаба; | |
| + | * Формата на разпределението се задава с две положителни стойности - a ,b | ||
| − | + | [[Хипергеометричното разпределение]] е подобно на Биномното; и двете описват броят на успехите при фиксиран брой опити. Обаче при Биномното разпределение опитите са независими, докато при хипергеометричното – вероятността се променя при следващ опит и са опити без заместване. Това е дискретно разпределение с три параметъра – вероятност, опити и размер. Параметъра вероятност определя началната вероятност. Три са условията, на които отговаря хипергеометричното разпределение: | |
| − | + | * Пълният брой елементи (размера) е фиксиран – крайна [[популация]]; | |
| + | * Примерния размер (броя на опитите) представя част от популацията; | ||
| + | * Известната начална вероятност за успех се променя плавно след всеки опит. | ||
| − | + | Със смесеното разпределение, може да се опише серия от индивидуални стойности, дискретни интервали или непрекъснати интервали за уникална ситуация, която не може да се опише с друг тип разпределение. Параметрите на това разпределение са начална граница, крайна граница, вероятност и стъпка. | |
| − | [[ | + | Вероятностните разпределения са изведени като теоретично описание на явления и събития наблюдавани в природата и в живота през мирно и военно време и обобщават в себе си вековен опит. [[теоретична вероятност|Теоретичните вероятностни]] разпределения със съвременните компютърни технологии могат да бъдат превърнати в генератори на данни в случаите, когато трябва да решим даден проблем, но разполагаме само с основни познания, експертни мнения и опита от аналогии с други обекти. Тяхното използване лежи в основата на съвременното компютърно моделиране и реализация на Монте Карло метода. |
| + | С посочените примери илюстрирахме метода Монте Карло и видяхме как се определят математическото очакване и [[дисперсия]]та на интересуващи ни параметри за да изследваме качеството и надеждността на системи и изделия състоящи се от множество елементи или да оценим [[риск]]а от индустриален инцидент. Приведените примери показват, че методиката за разчет е достатъчно проста по идея. На практика почти във всички случаи се знаят или могат да се определят вероятностните характеристики на отделните елементи на интересуващата ни система. Случайността на параметрите се отчита в общото цяло на системата по пътя на моделирането. Използвайки съвременните технологии за [[компютърно имитационно моделиране]] чрез симулиране на множество варианти на работа на дадена система може да се получи ценна практическа информация за нейното поведение при стотици и хиляди комбинации на входните й параметри и вътрешни състояния. | ||
| + | ==Методът „Монте Карло” и съвременните технологии== | ||
| − | |||
| − | |||
| + | Изводите от направения литературен преглед относно възможностите на компютърното симулиране са следните: | ||
| + | Компютърните симулационни модели: | ||
| − | + | * Позволяват да се извлекат изводи за нова система без да се налага да се построи реално, или да се направят промени в съществуваща без да се разстройва работата й; | |
| − | + | * Позволяват на [[ръководител]]я да визуализира операциите на нова или съществуваща система при различни условия; | |
| − | + | * Позволяват да се види начина, по който различни компоненти си взаимодействат и как това влияе върху общата системна производителност; | |
| − | + | * Позволяват общо вникване в същността на процеса; | |
| − | + | * Позволяват разпознаване на специфични проблеми и проблемни области в изследваната система; | |
| − | + | * Подпомагат разработването на специфични политики и планове за [[процес]]и; | |
| − | + | * Подобряват системната ефективност. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | [[ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | [[ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | Компютърните симулационни модели не могат: | ||
| + | * Да [[оптимизация|оптимизират]] ... те могат само да генерират резултати от “КАКВО-АКО” запитвания; | ||
| + | * Да получат коректни резултати от неточни данни; | ||
| + | * Да опишат системни характеристики, които не са били заложени в модела; | ||
| + | * Да решават проблеми ... те могат само да предоставят [[информация]], която подпомага процеса на изработване на решение; | ||
| + | * Да дават лесни отговори на комплексни проблеми. | ||
==Вижте още== | ==Вижте още== | ||
| Ред 404: | Ред 209: | ||
| − | * [[ | + | * [[Монте Карло методи в областта на финансите]] |
| − | * [[ | + | * [[Алгоритмично решение]] |
| − | * [[ | + | * [[Вероятност]] |
| − | * [[ | + | * [[Експеримент]] |
| − | * [[ | + | * [[Ефкетивност]] |
| − | * [[ | + | * [[Избор (Теория на решенията)]] |
| − | * [[ | + | * [[Задача за решаване]] |
| − | * [[ | + | * [[Информация]] |
| − | * [[ | + | * [[Модел]] |
| − | * [[ | + | * [[Неопределеност]] |
| − | * [[ | + | * [[Научен подход]] |
| − | * [[ | + | * [[Оптимизация]] |
| − | * [[ | + | * [[Предвиждане]] |
| − | * [[ | + | * [[Риск]] |
| − | * [[ | + | * [[Решение]] |
| − | * [[ | + | * [[Симулация]] |
| − | == | + | ==Книги== |
| − | * | + | * B. Kaye, Chaos & Comlexity, VCH, Weinheim, New York 1993 |
| − | * | + | * И .М. Соболь, Метод Монте Карло. Популярньiе лекции по математике вьiпуск 46, Москва “Наука”, Главная редакция физико-математической лератуьi, 1978. |
| − | + | * С.М. Ермаков, Г.А.Михайлов, Курс статистического моделирования, Москва, “Наука”, 1976. | |
| − | * | + | * С. М. Ермаков, Метод Монте Карло и смежньiе вопросьi, Москва, “Наука” 1971. |
| − | * | + | * Н. П. Бусленко и др. (по редакцией Ю. А. Шрейдера), Метод статистических изпитаний (метод Монте Карло), СМБ, Москва, Физматгиз, 1962. |
| − | * | + | * D. D. McCracken, “The Monte Carlo Method”, Scientific American, May 1955, pp. 162-165, reprinted in Computers and Computations, W. H. Freeman, San Farncisco 1971. |
| − | + | * G. Gamow, “One, Two, Three … Infinity, Viking Press, New York, 1974. | |
| − | * | + | * Sturgul J.R. Mine Design - Examples Using Simulation, SME Inc., 2000 |
| − | + | * Russell A.C. Sizing Up Simulation, Jurnal of Mining Engineering, No:26, August 2001. | |
| − | * | + | * Smith R.D. Enciclopedia Article. Simulation Article, 4th Edition, N.Y. July 2000 |
| − | * | + | * MINExpo 2000 – Web Site. |
| − | * | + | * Стефанов Т.П., В.Т. Томов, И.С. Велчев. Анализ Вениляционньiх систем с помощью ЭБМ 16. Международная конференция НИИ по безопасности в горной промишлености, Вашингтон, США, 1975. |
| − | * | + | * Власева Е., Т. Стефанов. Изграждане на умение за анализ на поведението на рудничната вентилационна система чрез компютърно симулиране. Научно-техническа конференция по охрана на труда в подземните и откритите рудници и кариерите, Варна, 8-11 юни, 1998. |
| − | + | * Elena Vlaseva. Control volumes technique applied to gas dynamical problems in underground mines. Proceeding of Finite Volumes for Complex Applications II. Hermes Science Publications, Paris, 1999 | |
| − | * | ||
| − | * | ||
| − | |||
| − | * | ||
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
==Външни препратки== | ==Външни препратки== | ||
| Ред 451: | Ред 249: | ||
| − | * [http:// | + | * [http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=bg&langpair=en|bg&u=http://www.puc-rio.br/marco.ind/monte-carlo.html&rurl=translate.google.bg&usg=ALkJrhjNWRXn6HoxFL0zvPbmzylJtzVUHg Реални модели и опции за прилагането на метода Монте Карло] |
| − | * [http:// | + | * [http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=bg&langpair=en|bg&u=http://www.palisade.com/risk/monte_carlo_simulation.asp&rurl=translate.google.bg&usg=ALkJrhgXqOfUOQgD6QY1IFhOAl6yT68w8w Монте Карло симулация] |
| − | + | * [http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=bg&langpair=en|bg&u=http://www.global-derivatives.com/index.php?option=com_content&task=view&id=21&rurl=translate.google.bg&usg=ALkJrhjJmrfNpnLo1NgA05R2uE2A33lTrQ Финансова математика (речник)] | |
| − | * [http:// | + | * [http://www1.ecs.uni-ruse.bg/fbm/bsa/bsa-L4.pdf Бизнес симулация] |
| − | + | * [http://www.kaminata.net/excel-t45794.html Имитационно моделиране] | |
| − | * [http:// | + | * [http://parallel.bas.bg/CE_SuperCA/REP_Dec09_WP4_F.pdf Монте Карло методи за анализ на чувствителността на големи математически модели] |
| − | * [http:// | ||
| − | * [http:// | ||
| − | |||
[[category:Управленски решения и риск]] | [[category:Управленски решения и риск]] | ||
Версия от 16:56, 24 януари 2011
Методът Монте Карло е метод за разглеждане поведението на система, на която всеки етап от промените се моделира по известен закон с помощта на някакъв източник на случайни числа.
Според тази предпоставка се определят съществените белези на метода, неговото приложение и прогнозиране на рисковете, както и взаимодействието му с останалите техниики и закони в процеса на работа.
История
Смята се че методите за статистически изследвания - метода на изчислителни и приложна математика, въз основа на симулацията на случайни величини и изграждане на статистически оценки за неизвестните величини, са същите като медота Монте Карло. През 1930 година Енрико Ферми използва методът „Монте Карло” за изследване на неутронния поток. По-късно той разработва механично устройство, което се използва при изчисленията по ядрена физика. В момента връзката на подобни методи и началото на ерата на компютъните технологии дават възможност за извършване на редица компютърни експерименти, включително и тези които водят до получаването на случайни числа.
За основатели на метода „Монте Карло” се считат амрекинаските математици Стенли Уламовите, Джон фон Нойман и Никола „Метрополис”. През четиридесетте години на ХХ век, Джон фон Нойман полага основите на метода - създаването на математическата основа на функциите, вероятността плътност, интегрирани функции, обратност на разпределение и генератори на случайни числа. Проучванията показват, че в тясно сътрудничество със Стенли Уламовите, той е първия който реализира идеята за необходимостта от компютър, за да се изпълняват изчисленията на метод Монте Карло много по-лесно.
Произходът на името на метода е свързан с град в Княжество Монако, където се намира и едно от най-известните казина в света – факт е, че случайните числа са в основата на „Монте Карло”, а рулетката е едно от най-лесните устройства за генериране на случайни числа.
Друг интересен факт е свързан с това, че някои случайни методи за изчисление и експерименти, са проектирани и изпълнени и в праисторическата ера на компютърните технологии. " Основната разлика на „Монте Карло” с по-ранни изследвания в областта на статистическо моделиране е:Симулацията „Монте Карло” се е превърнала в стандарт за това това как да решим проблема с помощта на инструментите от теорията на вероятностите и математическата статистика. Което значи че това е предпоставка за необходимостта да се за занимаваме с детерминацията на проблема, след което да използваме симулацията, за да проверим изчисленията, направени по-рано.
„Монте Карло” – анализ, предимства и недостатъци
За провеждане на симулация със стохастични модели най-често се използва методът „Монте Карло”. Това е универсален метод за симулация, който намира приложение в различни области на научните изследвания и в практиката
Обобщената дефиниция на симулацията включва:
- Разработване (конструиране) на модел на една система – обикновено математически и логически по природа; системата може да бъде действителна или теоретична (виртуална);
- Описване на реалната система с термини, приемливи за компютърните системи;
- Използване (обикновено) компютър за да се изпълни симулация;
- Имитира се действието на реалната система/процес;
- Симулацията е експериментиране;
- Целта на системата е да намерим нещо, отнасящо се до реалната система.
За да се реши проблема чрез метода, първо се изгражда възможен модел, който представлява желана стойност като многомерно неразделно под формата на очакването ( с други думи това е случаен процес, който след това се симулира на компютър ). Естествено съществуват и трудности по пътя към прилагането на метода. Но не е необходима тяхната дефиниция, а по скоро надеждната оценка на неизвестните величини. Постигането на това не е толкова лесно колкото изглежда и голяма роля играе изграждането на вероятностен модел.
Друг важен компонент това е симулацията на случайни величини с дадена дистрибуция. Обикновенно такива модели се осъществяват чрез конвертиране на една или повече независими стойности на случйни числа и равномерното им разпределние в интервала. Последователността на случйните стойности обикновено се извършва от компютър, като се използват теоритичните алгоритми, сред които най-често се използва „Методът на остатъците”. Тези числа се наричат „псевдо” и се проверяват от статистически тестове. От тук идва и основната роля на качественото генериране на случайни числа.
Основната причина, поради която използваме метода „Монте Карло” е защото чрез него много по-бързо можем да получим отговор на даден въпрос, за който по принцип е необходимо доста време, за да бъде разрешен. Например метода „Монте Карло” много добре пасва за намирането на някои много сложни интеграли, което е задача с която други методи не биха били толкова полезни. Друго предимиство на метода е лесното симулиране на сложни физически системи в областта на физиката, инженерството и химията.
Естествено методът си има и своите недостатъци. Все още не е общоприето дали „Монте Карло” може да се използва за симулиране на системи, които не са в равновесие (т.е. преходно състояние). Друг недостатък е, че за да се използва „Монте Карло” симулация трябва да се генерират голям брои проби, а това може да отнеме доста време до постигане на желаните резултати, понеже не може да се генерира само един образец и веднага да се използва в симулация, а е необходимо да се направят много проби и да се получи средната им стойност.
Резултатите от „Монте Карло” симулацията са само приблизителни на действителната стойност и съвсем не са толкова точни.
Приложение
Методът Монте Карло не се използва за определяне на двумерни площи. За това се прилагат по-точни методи. Но при определяне на площи и обеми на тела в многомерното пространство Монте Карло методът се оказва единствената възможност да се реши задачата.
Монте Карло Методът има две важни особености:
1. Проста структура на изчислителния алгоритъм;
2. Грешката при изчисленията се отбелязва с формулата, където D=cost, a N – броят на изпитанията.
От тук се вижда, че за да се намали грешката с един порядък (10 пъти) трябва да се увеличи броят на опитите N – 100 пъти. Методът Монте Карло позволява да се моделира произволен процес на чието протичане влияят случайни фактори. За много задачи несвързани със случайни фактори може изкуствено да се въведат вероятностни модели, както беше направено в примера с площите. Поради това за методът Монте Карло може да се говори като за универсален метод за решаване на задачи. Методът е много подходящ при оценката и прогнозиране на рискове за безопасност и при оценка на надеждността на сложни системи. Решаването на задачи от този тип е свързано с отчитане на множество случайни фактори. Ако анализираме основната формула за изчисляване на риска R.
R =P.T
където:
- P е вероятността да се случи инцидент;
- Т е тежестта на последиците от инцидента.
Следва да отбележим, че и последиците от инцидентите, както и тяхната тежест, също са с вероятностен характер. Вероятността P да се случи инцидент на практика винаги е сложна вероятност, която описва възможността да се реализира каскада от събития.
Метода Монте Карло е изключително полезен при проектиране на предприятия, технологии, планиране на промени организация. Вместо скъпо струващи експерименти в натура може да се експериментира на компютър различни варианти на организационната работа и използване на оборудването. В редица случаи компютърното моделиране е единствения начин да се получат сведения за поведението на проектираната система. Разбира се, разчетите не идват даром. Няма универсално решение, което да се избере от менюто на “магически” софтуер, което да върне резултата веднага след като попълниш своето задание. Трябва да се създаде добър модел на изследваната система, за да се получат резултати с практическа ценност. Необходимо е да се изследват щателно действителните потоци от заявки, да се проведат хронометражни измервания за работата на отделните възли и т.н. Когато системата е в проектна фаза и все още не съществува в действителност се използват проектните параметри и технологичните граници. Въобще, следва да се знаят вероятностните закони на функциониране на отделните части на системата, с което се моделира начина, по който работата им се колебае около проектните стойности. Тогава методът Монте Карло позволява да се изчислят вероятностните закони на работата на цялата система, отчитайки взаимосвързаността между отделните и части, колкото и сложна да е тя. По такъв начин се решават задачи за разчет на надеждност на изделие, агрегат, система, състояща се от множество елементи. Задачи за ефективната поддръжка и др.
Ето още един пример за полезността на метода Монте Карло при една на пръв поглед проста задача за определяне на качеството и надеждността на изделие състоящо се от даден брой елементи.
Пример за определяне на качество и надеждност:
Дадено е изделие състоящо се от множество елементи. Да допуснем, че качеството на изделието се определя от стойността на един изходен параметър - U , който може да се изчисли, знаейки стойностите на входните параметри на изделието R,C и др. Т.е. известна е функционалната зависимост:
U = f(R1, R2...; C1, C2...;) където: U е напрежение, R - съпротивление, C – капацитет
Съществен момент при моделирането е, че параметрите не се подбират с фиксирани стойности а се третират като случайни променливи разпределени в някакъв интервал. С метода Монте Карло може да се получи разпределението на изходния параметър U при различни комбинации от стойности на входните параметри. Изходният параметър U , като функция на случайни величини също се явява случайна променлива. Търси именно вида и интервала на разпределението му. Не винаги е ясно при кои набор от параметри ще се получи най-лош резултат. Освен това е малко вероятно всички елементи да се окажат с лоши параметри. За това е целесъобразно да се отчитат всички параметри, като случайни величини. А оценката на качеството и надеждността да се оцени статистически. Така в резултат Монте Карло симулация ще се получи средната стойност на изходния параметър и отклонението от него, което при достатъчно голям брой повторения на компютърния експеримент ще представляват на практика математическото очакване MU и дисперсията DU на изходният параметър при всички възможни комбинации от стойности на входните параметри.
Отбелязваме, че MU ¹ f (MR1,MR2,…;MC1, MC2,…;) където MR и MC са математическите очаквания съответно на R и C. Аналитичното определяне на разпределението на изходният параметър U при сложна функция е на трудно и в много практически случаи – невъзможно. Използвайки метода Монте Карло можем лесно да получим търсеното разпределение чрез компютърно моделиране.
Ролята на случайните разпределения в метода Монте Карло:
Ето някой от най-използваните теоретични разпределения на случайни величини.
Нормалното разпределение описва много природни феномени като грешки при измервания, ръст на хората, коефициенти на интелигентност, ръст на инфлация и много други. То е непрекъснато разпределение с два параметъра – средно и стандартно отклонение. Има три условия на които отговаря нормалното разпределение:
- От стойностите на случайната променлива най-често срещани са средните стойности;
- Случайната променлива дава стойности еднакво разположени около средната – разпределението е симетрично;
- Случайната променлива е по-вероятно да даде стойност близо до средната отколкото далече от нея. От всички стойностите на нормалното разпределение приблизително 68% са разположени на едно стандартно отклонение от средната.
Триъгълното разпределение показва броят на успехите на даден опит, когато са известни минимума, максимума и най-вероятната стойност. На пример може да опише броят коли продадени на седмица, когато се знаят трите параметъра от минали продажби. То е непрекъснато вероятностно разпределение с три параметъра - минимум, максимуми най-вероятната стойност. Има три условия, на които отговаря триъгълното разпределение:
- Минималната стойност е фиксирана;
- Максималната стойност е фиксирана;
- Най вероятната стойност лежи между минимума и максимума, показвайки че стойностите около долните ъгли на триъгълника са по-малко вероятни от тези около върха – най-вероятната стойност
Разпределението на Пуасон описва броят пъти за които едно събитие се случва в даден интервал, като брой телефонни разговори за час или брой на грешки на страница от документ или брой на пострадалите от инциденти по време на работа за месец. То е дискретно вероятностно разпределение с един параметър - честота. Има три условия на които отговаря пуасоновото разпределение:
- Броят на възможните случаи във всяка единица не е лимитиран;
- Случайте са независими. Броят на случаите в една единица от проведеното измерване не влияе върху броят на случаите в другите единици;
- Средният брой случай трябва да остава същият от единица към единица
Биномното разпределение описва броят на успехите при фиксиран брой опити, като броят на падания на ези при 10 хвърляния на монета или броят на дефектните изделия от 50 тествани от склада с готова продукция. То е дискретно вероятностно разпределение с два параметъра – вероятност и брой опити. Има три условия на които отговаря Биномното разпределение:
- При всеки опит има два възможни изхода – успех и неуспех;
- Опитите са независими. Това което се получава в резултат от първия опит не засяга вторият и т.н.;
- Вероятността за успех остава същата от опит на опит.
Логнормалното разпределение широко се използва в ситуации, при които стойностите са положително асиметрични (когато повечето от стойностите се получават близо до минималната стойност). Ситуация забелязана при финансовите анализи при оценката за сигурност или при недвижимите имоти при оценката на собствеността. Финансовите анализатори са забелязали, че цените на фондовата борса обикновено са положително свити а не симетрично разпределени, както при нормалното разпределение. Ценните книжа проявяват тази тенденция, защото цените им не могат да паднат под нулевата долна граница, но могат да нараснат произволно. Подобно на тях цените на недвижимите имоти проявяват същата тенденция, защото не могат да станат отрицателни. Логнормалното разпределение е непрекъснато разпределение с два параметъра – средно и стандартно отклонение. Има три условия, на които отговаря Логнормалното разпределение:
- Случайната променлива може да нараства безгранично;
- Стойностите на случайната променлива имат положително свито разпределение;
- Натурален логаритъм от случайната променлива води до нормалната крива.
Еднородно (униформено) разпределение, всички стойности между минимума и максимума могат да се получат с еднаква вероятност. Това е непрекъснато разпределение с два параметъра – минимум и максимум. Има три условия, на които отговаря Еднородното разпределение:
- Минималната стойност е фиксирана;
- Максималната стойност е фиксирана;
- Всички стойности между минимума и максимума са еднакво вероятни.
Експоненциалното разпределение описва периода от време, което минава между събития, като времето между два отказа в електронно оборудване, или времето между посещенията на обслужващо гише. То е непрекъснато разпределение с един параметър – честота. Има две условия, на които отговаря Експоненциалното разпределение:
- Експоненциалното разпределение допълва Пуасоновото разпределение.
- Пуасоновото разпределение описва броят на събитията за единица време, Експоненциалното – периода от време между събитията. Експоненциалното разпределение не се влияе от предишни събития
Геометричното разпределение описва броят на опитите до първият успех, такива като броят сондажи, които трябва да се пробият докато избие нефтения фонтан. Това е дискретно разпределение с един параметър - вероятност. Има три условия, на които отговаря Геометричното разпределение:
- Броят на опитите не е фиксиран;
- Опитите продължават до първи успех;
- Вероятността за успех остава същата от опит към опит;
Разпределението на Вейбул е по същество семейство разпределения, което може да приеме свойствата на няколко други разпределения. Например в зависимост от дефинираната форма разпределението на Вейбул може да апроксимира Експоненциалното разпределение и това на Рейлай (Rayleigh). То е непрекъснато разпределение. С три параметъра – площ, мащаб и форма. Разпределението на Вейбул намира приложение при оценката на надеждност.
Бета разпределението е много гъвкаво разпределение подходящо за моделиране на вероятности, базирани на статистиката на Бейз. Статистиката на Бейз и бейзовата гледна точка са в основата на съвременната статистическата теория на решенията и оценката на риска. Също така се използва за описание на емпирични данни и прогнозиране на случайно поведение на количества и части от цялото чрез представянето им като проценти и дроби. То е непрекъснато вероятностно разпределение с три параметъра – алфа, бета и мащаб. Две са условията, на които отговаря Бета разпределението:
- Неизвестната променлива е случайна стойност между 0 и мащаба;
- Формата на разпределението се задава с две положителни стойности - a ,b
Хипергеометричното разпределение е подобно на Биномното; и двете описват броят на успехите при фиксиран брой опити. Обаче при Биномното разпределение опитите са независими, докато при хипергеометричното – вероятността се променя при следващ опит и са опити без заместване. Това е дискретно разпределение с три параметъра – вероятност, опити и размер. Параметъра вероятност определя началната вероятност. Три са условията, на които отговаря хипергеометричното разпределение:
- Пълният брой елементи (размера) е фиксиран – крайна популация;
- Примерния размер (броя на опитите) представя част от популацията;
- Известната начална вероятност за успех се променя плавно след всеки опит.
Със смесеното разпределение, може да се опише серия от индивидуални стойности, дискретни интервали или непрекъснати интервали за уникална ситуация, която не може да се опише с друг тип разпределение. Параметрите на това разпределение са начална граница, крайна граница, вероятност и стъпка.
Вероятностните разпределения са изведени като теоретично описание на явления и събития наблюдавани в природата и в живота през мирно и военно време и обобщават в себе си вековен опит. Теоретичните вероятностни разпределения със съвременните компютърни технологии могат да бъдат превърнати в генератори на данни в случаите, когато трябва да решим даден проблем, но разполагаме само с основни познания, експертни мнения и опита от аналогии с други обекти. Тяхното използване лежи в основата на съвременното компютърно моделиране и реализация на Монте Карло метода.
С посочените примери илюстрирахме метода Монте Карло и видяхме как се определят математическото очакване и дисперсията на интересуващи ни параметри за да изследваме качеството и надеждността на системи и изделия състоящи се от множество елементи или да оценим риска от индустриален инцидент. Приведените примери показват, че методиката за разчет е достатъчно проста по идея. На практика почти във всички случаи се знаят или могат да се определят вероятностните характеристики на отделните елементи на интересуващата ни система. Случайността на параметрите се отчита в общото цяло на системата по пътя на моделирането. Използвайки съвременните технологии за компютърно имитационно моделиране чрез симулиране на множество варианти на работа на дадена система може да се получи ценна практическа информация за нейното поведение при стотици и хиляди комбинации на входните й параметри и вътрешни състояния.
Методът „Монте Карло” и съвременните технологии
Изводите от направения литературен преглед относно възможностите на компютърното симулиране са следните:
Компютърните симулационни модели:
- Позволяват да се извлекат изводи за нова система без да се налага да се построи реално, или да се направят промени в съществуваща без да се разстройва работата й;
- Позволяват на ръководителя да визуализира операциите на нова или съществуваща система при различни условия;
- Позволяват да се види начина, по който различни компоненти си взаимодействат и как това влияе върху общата системна производителност;
- Позволяват общо вникване в същността на процеса;
- Позволяват разпознаване на специфични проблеми и проблемни области в изследваната система;
- Подпомагат разработването на специфични политики и планове за процеси;
- Подобряват системната ефективност.
Компютърните симулационни модели не могат:
- Да оптимизират ... те могат само да генерират резултати от “КАКВО-АКО” запитвания;
- Да получат коректни резултати от неточни данни;
- Да опишат системни характеристики, които не са били заложени в модела;
- Да решават проблеми ... те могат само да предоставят информация, която подпомага процеса на изработване на решение;
- Да дават лесни отговори на комплексни проблеми.
Вижте още
- Монте Карло методи в областта на финансите
- Алгоритмично решение
- Вероятност
- Експеримент
- Ефкетивност
- Избор (Теория на решенията)
- Задача за решаване
- Информация
- Модел
- Неопределеност
- Научен подход
- Оптимизация
- Предвиждане
- Риск
- Решение
- Симулация
Книги
- B. Kaye, Chaos & Comlexity, VCH, Weinheim, New York 1993
- И .М. Соболь, Метод Монте Карло. Популярньiе лекции по математике вьiпуск 46, Москва “Наука”, Главная редакция физико-математической лератуьi, 1978.
- С.М. Ермаков, Г.А.Михайлов, Курс статистического моделирования, Москва, “Наука”, 1976.
- С. М. Ермаков, Метод Монте Карло и смежньiе вопросьi, Москва, “Наука” 1971.
- Н. П. Бусленко и др. (по редакцией Ю. А. Шрейдера), Метод статистических изпитаний (метод Монте Карло), СМБ, Москва, Физматгиз, 1962.
- D. D. McCracken, “The Monte Carlo Method”, Scientific American, May 1955, pp. 162-165, reprinted in Computers and Computations, W. H. Freeman, San Farncisco 1971.
- G. Gamow, “One, Two, Three … Infinity, Viking Press, New York, 1974.
- Sturgul J.R. Mine Design - Examples Using Simulation, SME Inc., 2000
- Russell A.C. Sizing Up Simulation, Jurnal of Mining Engineering, No:26, August 2001.
- Smith R.D. Enciclopedia Article. Simulation Article, 4th Edition, N.Y. July 2000
- MINExpo 2000 – Web Site.
- Стефанов Т.П., В.Т. Томов, И.С. Велчев. Анализ Вениляционньiх систем с помощью ЭБМ 16. Международная конференция НИИ по безопасности в горной промишлености, Вашингтон, США, 1975.
- Власева Е., Т. Стефанов. Изграждане на умение за анализ на поведението на рудничната вентилационна система чрез компютърно симулиране. Научно-техническа конференция по охрана на труда в подземните и откритите рудници и кариерите, Варна, 8-11 юни, 1998.
- Elena Vlaseva. Control volumes technique applied to gas dynamical problems in underground mines. Proceeding of Finite Volumes for Complex Applications II. Hermes Science Publications, Paris, 1999