Функция (математика) - Редакционна история

Detelina Staneva: /* Вижте още */

2014-04-08T11:27:36Z

Вижте още

Detelina Staneva в 11:27, 8 април 2014

2014-04-08T11:27:07Z

Detelina Staneva: /* Графика на функция */

2014-04-08T11:26:42Z

Графика на функция

Detelina Staneva в 22:16, 8 юли 2013

2013-07-08T22:16:51Z

Detelina Staneva в 22:08, 8 юли 2013

2013-07-08T22:08:53Z

Detelina Staneva в 21:58, 8 юли 2013

2013-07-08T21:58:21Z

Показване на промените

Detelina Staneva в 21:56, 8 юли 2013

2013-07-08T21:56:37Z

Detelina Staneva: Нова страница: '''Функция в математиката''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на др...

2013-07-08T21:39:18Z

Нова страница: '''Функция в математиката''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на др...

Нова страница

'''Функция в [[математика]]та''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност,''' като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.

==[[Графика на функция]]==
[[ Image: function3.jpg |left |thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. | Графики на различни функции.]]
Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсцисна ос]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията:
y = ax + b (a, b – константи) е права линия.

==Видове функции==

===Явни, неявни функции===
Явна (експлицитна), когато се дефинира чрез равенство от вида: y = f(x), т.e. равенство, което е решено спрямо у. Например явни са следните функции:
y = sinx, y = x - 3vx, y = lnx + 5
Aкo дефиниционното равенство на функцията у не е решено спрямо у , а именно y = f(x,у) = 0 то функцията е неявна (имплицитна).
Например: 3у2 - 2x + x3 = 0 ; y4 - sinx = 0 са неявни. Една неявна функция може да се обърне в явна, когато можем да превърнем дефинационното равенство от нерешено спрямо у в решено спрямо у.

===Прави и обратни функции===

Ако приемем, че функцията f(x) е права, то за да получим обратната функция на f(x), постъпваме така: в равенството y = f(x), заменяме х с у и у с х и получаваме х = f(у), след това решаваме това равенство спрямо у: у = g(x). Така получената функция g(x) се нарича обратна на правата функция f(x), обаче може да се каже и обратното, т.е. че g(x) е права, а f(x) обратна функция.
Например, ако ex е правата функция, то обратната й ще бъде ln x, защото имаме последователно
у = ex; х = eу; ln eу = ln x или y ln e = ln x; т.е. у = ln x

===Еднозначни и многозначни функции===

Една функция f(x), наричаме еднозначна, когато на всяка допустима стойност на х отговаря една и само една реална стойност на у.
Например функциите у = cos x, y = ln x, y = 5x2 - 3sin x са еднозначни.
Ако на една допустима стойност на х отговарят две или повече реални стойности на една функция, то функцията е многозначна.
Пример за многозначни функции:
у2 = 5х4 + 2
(у2 - 6х4)(у2 - sin2x) = 0
Първото от тези равенства ни дефинира двузначна функция, второто четеризначна.

===Ограничени, неограничени функции===

Функциите на един аргумент (от друга гледна точка) се делят на ограничени и неограничен и в даден [[интервал]] (а, b).
Функцията f(x), казваме че е ограничена в [[интервал]]а (а, b), ако съществуват две числа А, В такива, че А ≤ f(x) ≤ В за всяко х ε( а, b).
С други думи, функцията f(x) е ограничена в интервала (а, b), ако съществуват две [[успоредност|успоредни]] на абсцисната ос прави у = А и у = В такива, че частта от графиката на f(x), лежаща над (или под) интервала (а, b), е заключена между тях. В противен случай, функцията f(x),се смята за неограничена в интервала (а, b).
Така например следните функции са ограничени в посочените интервали:
y = sin x в интервала (-∞, +∞)
у = cos x (-∞, +∞)
y = 5x2 +x (A, В), където А и В са две дадени реални числа (В > А)
у = 5/х (1/2, 10)
у = ln (1 + x) (0, B), където В > 0
Следните функции са неограничени:
у = 5/х в интервала (0, 10)
у = ln (1 + x) (-1, B), където В дадено число > -1
у = 2/(3 – х) (-∞, 3)

===Четни, нечетни и функции===

Функциите се делят още на четни, нечетни и функции, които са нито четни нито нечетни. Функцията f(x), дефинирана в интервала (-а, +а) където а е дадена положителна [[константа]], се нарича четна, ако за всяко хот този интервал е в сила равенството:
f(- x) = f(x)
Така например функцията cos x е четна, защото е дефинирана в интервала
(-∞, +∞) и за всяко х от този интервал е в сила равенството cos(-x) = cos x
Eто още няколко примера за четни функции
y = |х| с дефиниционен интервал (-∞, +∞)
y = х2 + 3cos(x) където x ε (-∞, +∞)
y = x.sin(x) където x ε (-∞, +∞)
y = √(9 - x) където x ε (-3, +3)
y = ln (a 4 - x 4 където x ε (-a, +a) където а е дадено положително число.
Известни е, че графиката на една четна функция е симетрично разположена спрямо ординатната ос. Функцията f(x), която е дефинирана в интервала (-а, +а), където а(a > 0) е дадена константа, се нарича нечетна, когато за всяко х ε(-а, + а) е в сила равенството f(-x) = - f(x).
Така например нечетни са следните функции:
sin(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), x3, x.cos(x), 2x3 + cotg x
Графиката на една нечетна функция е симетрично разположена спрямо началото О (0, 0) на координатната система.

===Периодични функции===
[[ Image: function4.jpg | thumb | right | alt=Grafiki na funkciite y = log3 x и y = log1/3 . | Графики на функциите y = log3 x и y = log1/3 .]]
[[ Image: function2.jpg | thumb | right | alt=Grafika na kvadratna funkciq. | Графика на квадратна функция.]]
[[ Image: function1.jpg | thumb | right | alt=Grafika na lineina funkciq.| Графика на линейна функция.]]
[[ Image: function5.jpg | thumb | right | alt=Trigonometrichni funkcii sinus, cosines, tanger, kotanges, sekans, kosekans . |
Тригонометрични функции: [[синус]], [[косинус]], [[тангенс]], котангес, секанс, косеканс.]]
Функцията f(x), наричаме периодична с [[период]] w (w е дадено положително число), ако за всяка допустима стойност на х е в сила равенството f(x) = f(x + w).
Така например функциите sin x, cos x са периодични с период 2π, защото за всяко реално х са в сила равенствата:
sin (x + 2π) = sin x
cos (x + 2π) = cos x
Равенствата, показват, че tg x и cotg x са периодични с период π.
tg (x + π) = tg x
cotg (x + π) = cotg (x)

===Прости и съставни функции===

Функциите се разделят още на прости и съставни. Ако f(u) e проста функция на променливата u, a и u e функция на х, т.е. u = u(x), то тогава функцията у = f[u(x)] e сложна(съставна) функция на х (или функция от функция).
За сложната функция у = f[u(x)], функцията u(x) се нарича неин междинен аргумент. Една съставна функция може да има не само един, а няколко междинни аргумента.
Например: f1{u[v(x)]} За една функция у на х се казва, че е параметрично зададена ако е дефинирана с две равенства от вида:
|х = f(t)
|y = z(t)
kъдето f и z са познати функции на една независима променлива t, която се нарича параметър и която се мени в даден интервал (а, b) Интервалът може да бъде затворен, отворен или полузатворен.

===Линейна функция===

Линейната функция е математическа функция от вида y = ax + b, където a и b са константи. Графиката на такава функция представлява права линия. В една линейна функция от вида y = ax + b a се нарича ъглов коефициент и от него зависи ъгълът, който графиката на функцията ще сключи с оста Ox на координатната [[система]], а b представлява ординатните координати на пресечната точка на графиката с оста Oy.

===Квадратна функция===

Квадратна функция в математиката е функция от вида f(x) = ax2 + bx + c, където a ≠ 0, b, c са произволни реални числа.
Квадратната функция е цяла рационална функция.

===Логаритмична функция===

y = logax - функцията е дефинирана за х Є (0;∞), при а>0, а≠1, при а>1 логаритмичната функция е растяща, а при 0<а<1 е намаляваща.

===Тригонометрични функции===

y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx - функциите y = sinx, y = cosx са дефинирани за всяко х Є (-∞;∞) те са периодични с период 2π. функцията y = tgx не е дефинирана за х = ±(2k + 1)π/2 т.е.дефиниционната й област се състои от интервалите (-π/2 + kπ ; π/2 + kπ), k=0, ±1, ±2,…,.Функциите y = tgx, y = cotgx се периодични с период 2π.

===Растенe, намаляване на функция===

Ако f(x) е една функция, дефинирана в D, то:
f(x) е растяща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме
f(х1) < f(x2)
f(x) е намаляваща в D, ако за х1, x2 от D и х1 < x2 имаме
f(х1) > f(x2)

==История на понятието==

Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. [[Птолемей]] е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]]. Идеята за понятието обаче започва да се оформя през 14 век. Самото понятие функция се използва за първи път от [[Готфрид Лайбниц]] около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат[диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията [[граница]] и [[производна]].
По-късно през 1755 г.[[Леонард Ойлер]] дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. [[Фурие]] започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез [[ред на Фурие]]. [[Дирихле]] за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.

==Вижте още==

*[[Производна]]
*[[Монотонност]]
*[[Хомогенност]]
*[[Непрекъсната функция]]
*[[Интеграл]]
*[[Логаритъм]]
*[[Четна функция]]
*[[Критична точка]]

==Източници ==

*[http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F История на понятието]
*[http://www.math10.com/bg/algebra/functions.html Видове функции]
*[http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Линейна функция]
*[http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Квадратна функция]
*[http://format.netne.net/algebra-10-klas.html#1 Графики на функции]
==Външни препратки==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_approximation Стохастична оптимизация]
*[http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/csa/node52.html Стохастична оптимизация - ключови понятия]
*[http://www.socr.ucla.edu/ Онлайн ресурс за статистически пресмятания (УКЛА)]
*[http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook Статистическа електронна книга (Ebook)]
*[http://stats.oecd.org/Index.aspx Статистика (OECD)]
*[http://www.statsci.org/ Сайт за Статистическа наука (Мелбълнски университет)]
[[category:Математика]]

← По-стара версия		Версия от 11:26, 8 април 2014
Ред 7:		Ред 7:
	По-късно през 1755 г.[[Леонард Ойлер]] дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. [[Фурие]] започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез [[ред на Фурие]]. [[Дирихле]] за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.		По-късно през 1755 г.[[Леонард Ойлер]] дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. [[Фурие]] започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез [[ред на Фурие]]. [[Дирихле]] за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.

−	~~==[[Графика на функция]]==~~
−
−	Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия\|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсцисна ос]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията:
−	~~y = ax + b (a, b – константи) е права линия.~~
	==Вижте още==		==Вижте още==

← По-стара версия		Версия от 22:16, 8 юли 2013
Ред 1:		Ред 1:
−	[[ Image: function3.jpg \|right\|thumb\| alt=Grafiki na razlichni funkcii. \|~~400px~~\| Графики на различни функции.]]	+	[[ Image: function3.jpg \|right\|thumb\| alt=Grafiki na razlichni funkcii. \|600px\| Графики на различни функции.]]
	'''Функция в [[математика]]та''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност,''' като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число\|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.		'''Функция в [[математика]]та''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност,''' като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число\|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.

@@ Ред 9: / Ред 9: @@
 [[ Image: function3.jpg |center|thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. |600px| Графики на различни функции.]]
 ==Вижте още==
 *[[Критична точка]]
 *[[Видове функции (математика)]]
 ==Източници ==

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
-[[ Image: function3.jpg |right|thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. |600px| Графики на различни функции.]]
 '''Функция в [[математика]]та''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност,''' като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.
-==История на понятието==
+==Същност==
 Обекти, които според съвременните разбирания се считат за функции, са били разглеждани още в дълбока древност. В древен Вавилон например са открити таблици на квадратите и кубовете на естествените числа. [[Птолемей]] е изчислявал дължини на хорди в окръжност, което по същество означава, че е използвал [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]]. Идеята за понятието обаче започва да се оформя през 14 век. Самото понятие функция се използва за първи път от [[Готфрид Лайбниц]] около 1670 г. Функциите, които той е разглеждал, днес се наричат[диференцируеми функции и са най-често срещаният вид функции от нематематици. За тях имат смисъл понятията [[граница]] и [[производна]].
 По-късно през 1755 г.[[Леонард Ойлер]] дава в книгата си Institutiones calculi differentialis съвременното разбиране за функция, а именно зависимост между две величини, при което промяната на едната величина (аргументът на функцията) води до промяната на другата (стойността на функцията). Въпреки това определение обаче Ойлер разглежда само непрекъснати функции, които могат да се изразят с формула, състояща се от крайно или безкрайно много алгебрични операции. [[Фурие]] започва да раглежда и някои прекъснати функции, но той смята, че всяка функция може да се изрази чрез [[ред на Фурие]]. [[Дирихле]] за пръв път разглежда числовите функции в пълната им общност. Той дава съвременната дефиниция на непрекъсната функция и дава пример за навсякъде прекъсната функция. Също така изяснява разликата между функцията и нейното представяне чрез формули.
+==Графично представяне==
 ==Вижте още==

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
 '''Функция в [[математика]]та''' е '''съпоставяне на определена величина, наричана аргумент, на друга величина, наричана стойност,''' като на всеки аргумент се съпоставя точно една стойност. Аргументът и стойността могат да бъдат [[реално число|реални числа]], но също и елементи на всяко друго [[множество]]. Пример за функция еf(x) = 2x - функция, която съпоставя на всяко число числото, два пъти по-голямо от него. Така на 5 се съпотавя 10, което се изписва като f(5) = 10.
@@ Ред 7: / Ред 8: @@
 ==[[Графика на функция]]==
-[[ Image: function3.jpg |right|thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. | Графики на различни функции.]]
 Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсцисна ос]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията:
 y = ax + b (a, b – константи) е права линия.

@@ Ред 2: / Ред 2: @@
 ==[[Графика на функция]]==
-[[ Image: function3.jpg |left |thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. | Графики на различни функции.]]
+[[ Image: function3.jpg |right|thumb| alt=Grafiki na razlichni funkcii. | Графики на различни функции.]]
 Под [[графика]] на една функция f(x) се разбира [[геометрия|геометричното]] място на точки, всяка една от които има за f(x)се разбира геометричното място на точки, всяка една от които има за [[абсцисна ос]] една допустима стойност х1 на [[аргумент]]а, а за ордината съответната стойност на функцията f(х1). Обикновенно една функция има за графика някаква линия (права, крива или начупена). Графиката на функцията:
 y = ax + b (a, b – константи) е права линия.
@@ Ред 120: / Ред 120: @@
 *[[Производна]]
 *[[Монотонност]]
 *[[Четна функция]]
 *[[Критична точка]]
+*[[Видове функции (математика)]]
 ==Източници ==
 *[http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F История на понятието]
 *[http://www.math10.com/bg/algebra/functions.html Видове функции]
-*[http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Линейна функция]
 ==Външни препратки==
 *[http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_approximation Стохастична оптимизация]
 *[http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/csa/node52.html Стохастична оптимизация - ключови понятия]
 *[http://www.socr.ucla.edu/ Онлайн ресурс за статистически пресмятания (УКЛА)]
-*[http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook Статистическа електронна книга (Ebook)]
 [[category:Математика]]