Нормално разпределение - Редакционна история

Detelina Staneva: /* Същност */

2014-02-03T08:49:01Z

Същност

Detelina Staneva: /* Същност */

2014-02-03T08:48:42Z

Същност

Detelina Staneva: /* Същност */

2014-02-03T08:48:25Z

Същност

Detelina Staneva: /* Същност */

2014-02-03T08:47:56Z

Същност

Detelina Staneva в 08:47, 3 февруари 2014

2014-02-03T08:47:30Z

Detelina Staneva: /* Нормално разпределение */

2014-02-03T08:45:26Z

Нормално разпределение

Detelina Staneva: /* Свойства */

2014-02-03T08:45:16Z

Свойства

Detelina Staneva в 08:43, 3 февруари 2014

2014-02-03T08:43:49Z

Detelina Staneva в 08:43, 3 февруари 2014

2014-02-03T08:43:31Z

Detelina Staneva: /* Вижте още */

2014-02-03T08:43:00Z

Вижте още

@@ Ред 19: / Ред 19: @@
 [[Константа]]та  в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в [[експонента]] прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между [[точка на прегъване|точките на прегъване]] на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p.
 В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както [[експонентно разпределение|експонентното разпределение]] се образува вдигането на [[линейна функция]] в експонента):
@@ Ред 24: / Ред 26: @@
 [[file:formula2.png]]
 Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a &lt; 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) &gt; 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на [[плътност на вероятността]] в R, трябва да изберем c така, че  (което е възможно само когато a &lt; 0).

@@ Ред 11: / Ред 11: @@
 Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
 ===Дефиниция===
@@ Ред 25: / Ред 24: @@
 [[file:formula2.png]]
 Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че a &lt; 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете, че f(x) &gt; 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на [[плътност на вероятността]] в R, трябва да изберем c така, че  (което е възможно само когато a &lt; 0).

@@ Ред 6: / Ред 6: @@
 [[Image:demoivre.png|thumb|right|alt= Абрахам де Моавър /1667-1754г./|''[[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre) /1667-1754г./''.]]
 Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
@@ Ред 12: / Ред 11: @@
 Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham&nbsp;de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
 ===Дефиниция===

← По-стара версия		Версия от 08:47, 3 февруари 2014
Ред 12:		Ред 12:

	Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.		Първата идея за нормалното разпределение принадлежи на английския математик от френски произход [[Абрахам де Моавър]] (Abraham de Moivre)/1667-1754г./ и е определено от него като непрекъсната форма на биномно разпределение. В началото на XIX в. независимо от Моавър, нормалното разпределение е било открито и описано от видния немски математик [[Карл Фридрих Гаус]] (на немски: Carl Friedrich Gauß) /1777-1855г./ и френския математик, физик и астроном [[Пиер Симон Лаплас]] (на френски: Pierre-Simon Laplace) /1749-1827г./ , които са го приложили в [[теорията на случайните грешки]]. Затова често нормалното разпределение се нарича Гаус-Лапласово разпределение.
−
−

	===Дефиниция===		===Дефиниция===

@@ Ред 3: / Ред 3: @@
 ==Същност==
 Може да се счита, че когато една сличайна величина има множество стойности и те са резултат на много и независими помежду си фактори, действащи еднакво и независимо един от друг, тя има нормално разпределение. Кривата, която описва нормалното разпределение, която е идеално симетрична, се нарича нормална крива или [[крива на Гаус-Лаплас]].
 ===История===
 ===Дефиниция===

← По-стара версия		Версия от 08:45, 3 февруари 2014
Ред 33:		Ред 33:

	При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.		При стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1.
−
−	~~==Нормално разпределение==~~
−
−	Tерминът “разпределение на признака” се използва за означаване на съответствието между значенията на случайната величина и техните абсолютни или относителни честоти. Тъй като статистическите проучвания се основават на изследването на извадки, това разпределение се нарича [[Емпирично разпределение\|емпирично]]. Ако то се онагледи графично, по [[конфигурация]]та на графичния образ може да се съди за закономерността, на която е подчинено изучаваното масово явление, и да се търси аналог сред т.нар. теоретични разпределения.
−
−	Изключително важно място в теорията на статистиката заема [[Гаус-Лапласово разпределение\|нормалното разпределение]]. То носи наименованието Гаус-Лапласово по имената на немския математик [[Карл Фридрих Гаус]] (1777 – 1855) и френския математик [[Пиер Симон Лаплас]] (1739 – 1827), които са го изследвали и описали теоретично. Нормалното разпределение стои в основата на изясняване на важни положения от репрезентативните статистически проучвания, интервалното оценяване, проверката на хипотези, методите за изготвяне на нормативи и др.
−	~~Ще се спрем накратко на някои негови особености:~~
−	Характерна за него е камбановидната крива на разпределение. Закономерно стойностите около средното равнище на признака имат най-голяма честота. Колкото повече се отдалечават от центъра на разпределението – толкова по- рядко се срещат.
−
−	~~[[File:variacionenanaliz6.png]]~~
−
−
−
−	~~[[File:variacionenanaliz7.png]]~~
−
−
−
−	Средната аритметична величина , модата и медианата съвпадат по стойност и определят центъра на разпределението.
−
−	Стандартното отклонение (S) определя заостреността на кривата на разпределение. Колкото отклоненията от средното равнище са по-големи, толкова кривата е по-изострена и обратно. На фигурата са представени две емпирични разпределения с еднаква форма и център, но с различно разсейване.
−
−	~~[[File:variacionenanaliz8.png]]~~
−
−
−
−	Кривата на нормалното разпределение е симетрична по отношение на перпендикуляра, спуснат от нейния връх към абсцисата, където се намира средната аритметична величина. На фигурата са представени три разпределения, едното от които е симетрично (b), а другите - несиметрични. Разпределение (а) е с дясно изтеглено, а (с) - с ляво изтеглено рамо.
−
−	~~[[File:variacionenanaliz9.png]]~~
−
−
−	Симетричността на разпределението се описва с показателя за [[асиметрия]] (Аs), който при нормално разпределение е равен на нула (As=0). Когато коефициентът на асиметрия е с положителен знак, кривата на разпределение е с дясно изтеглено рамо (а), средната аритметична е по-голяма от модата и медианата. При разпределение с ляво изтеглено рамо (b) стойността на коефициента на асиметрия е с отрицателен знак, а средната аритметична е по-малка от модата и медианата. За симетричността на емпиричното разпределение се съди по изчисления от извадката по формула 3.5 емпиричен коефициент на асиметрия (Asemp).
−
−	~~[[File:variacionenanaliz10.png]]~~
−
−
−	~~Където:~~
−
−	~~m3 – трети централен момент~~
−
−	~~S – стандартно отклонение~~
−
−	~~Третият централен момент се изчислява по формула:~~
−
−	~~[[File:variacionenanaliz11.png]]~~
−
−	~~Където:~~
−
−	~~Xi – всяка една стойност на променливата в извадката~~
−
−	~~п – обем на извадката~~
−
−
−
−	Дадени са табличните стойности на критерия (Asa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
−
−	~~Asemp < Asa се приема, че разпределението на емпиричните данни е симетрично.~~
−
−	~~Asemp=>Asa се счита, че разпределението е несиметрично.~~
−
−
−	Височината на върха на нормалното разпределение се описва с показателя [[ексцес]] (Ех), който при нормално разпределение е равен на нула. На фигура 3.4 са представени примерни разпределения с нормален (b), висок - положителен (а), и нисък - отрицателен ексцес (с).
−
−	~~[[File:variacionenanaliz12.png]]~~
−
−
−	Информация за степента на съвпадение на височината на върха на емпиричното разпределение с приетия за [[еталон]] връх на нормалното разпределение (Ex=0) дава изчисленият по формулата емпиричен коефициент на ексцес (Exemp).
−
−
−
−	Табличните стойности на коефициента на ексцес (Exa) в зависимост от обема на извадката (n) и равнището на значимост (a). В случай че:
−
−	~~Exemp< Exa се приема, че разпределението на емпиричните данни има нормален ексцес.~~
−
−	~~Exemp=>Exa се счита, че разпределението има ненормален ексцес.~~
−
−
−
−	~~Площта, заключена между нормалната крива, абсцисата и перпендикулярите, спуснати към тази ос в точки~~
−	~~[[File:variacionenanaliz13.png]]~~
−
−
−
−	~~и [[File:variacionenanaliz14.png]]~~
−
−
−
−	представлява вероятността (Р%), дадена стойност на случайната величина да се намира в интервала от Х1 до Х2 . Вероятността не зависи от стойността на средната аритметична и стандартното отклонение, а само от множителя Z, който се нарича нормирано отклонение и се изчислява по формула:
−
−	~~[[File:variacionenanaliz15.png]]~~
−
−
−
−	~~Дадени са стойностите на Z и процентът от случаите (P%), който попада в съответния интервал.~~
−
−	~~[[File:variacionenanaliz16.png]]~~
−
−	~~Това важно свойство на нормалното разпределение намира израз в т.нар. “правило на трите сигми”.~~
−
−	~~[[File:variacionenanaliz17.png]]~~
−
−
−
−	~~[[File:variacionenanaliz16.png]]~~
−
−
−
−	~~От фигурата се вижда, че в интервала:~~
−
−	* От –1.S до +1.S попадат централните 38.23% от случаите (Z=1).
−	* От –2.S до +2.S попадат централните 95.44% от случаите (Z=2).
−	* От –3.S до +3.S попадат централните 99.74% от случаите (Z=3). Вероятността дадена стойност на променливата величина да е извън този интервал е 0,25%, което от практическа гледна точка означава, че ако даден признак има нормално разпределение, всички значения на променливата попадат в границите на Х ± 3.S.
−
−
−	Свойствата на нормалното разпределение имат голямо приложение в научно-изследователската дейност в спорта и физическото възпитание. Те дават възможност:
−
−	1. Да се изграждат нормативи по [[Сигмален метод\|сигмалния метод]]. В таблицата са дадени границите и словесните оценки на норматив по пет степенната скала на Щефко:
−
−	~~[[File:variacionenanaliz18.png]]~~
−
−
−	2. Да се оценява всяко едно значение на променливата величина. За целта се ползва т.нар. Z-оценка, която представлява нормираната стойност на оценяваното значение. Очевидно е, че ако стойността на оценяваната величина е под средното равнище, нейната Z–оценка е отрицателна. Ако съвпада с центъра на разпределението, Z е 0, а ако е по-голяма от него - положително число.

	==Вижте още==		==Вижте още==

← По-стара версия		Версия от 08:43, 3 февруари 2014
Ред 1:		Ред 1:
−	[[Image:norm_razpr.png\|thumb\|right\|~~500px~~\|alt=Нормално разпределение.\|~~Нормално~~ разпределение]]	+	[[Image:norm_razpr.png\|thumb\|right\|700px\|alt=Нормално разпределение.\|Графика на нормално разпределение]]
	'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е '''модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини.'''		'''Нормалното разпределение''' или '''разпределението на Гаус''' е '''едно от най-важните непрекъснати разпределения и има изключително значние за [[статистика]]та'''. То е '''модел, който отразява закономерностите в [[масови явления]], които се намират под въздействието на множество случайни причини.'''

@@ Ред 175: / Ред 175: @@
 ==Вижте още==
+*[[Свойства на нормалното разпределение]]
 *[[Франсис Галтон]]
 *[[Бейсова вероятност]]