Преглед на кода на Вероятностно разпределение

'''Вероятностното разпределение''' се определя като '''пълното описание на всички възможни [[стойност]]и, които приема дадена [[случайна променлива]]''' и свързаните с тях [[вероятност]]и. Това е възможността за случване на даден изход, а не на друг.

==Въведение==

Предварителната оценка на ползи и разходи, които произтичат от дадено [[регулиране]], не може да е напълно сигурна. Тя съдържа в себе си несигурността за бъдещето. Понякога е възможно предварително да различим възможните развития на бъдещето. Някои възможни развития изглеждат по-вероятни от други, което е част от нашето очакване и то такова, което може да бъде околичествено. Това наричаме [[риск]] – вероятността от случването на различни изходи, които са предварително известни. В тези случаи оценката на разходите и ползите изисква изследване на тяхното вероятностно разпределение, т.е. възможността за случване на даден изход, а не на друг. В случаите, когато не са налице необходимите данни от миналото, е трудно да се определи каква е вероятността (възможността) от настъпване на определено събитие. В тези случаи е възможно да се използват отделни примери и [[Симулация|симулации]] при задаване на различни условия, като по този начин се определи диапазона от възможностите за случването на това събитие. Следващата стъпка е да се анализира разпределението на данните в този диапазон, тоест дали и доколко са концентрирани в даден участък. В повечето случаи в крайна сметка се избират няколко сценария (примерно три), които отразяват отделни точки от вероятностното разпределение. Обикновено се наричат оптимистичен, реалистичен и песимистичен сценарии. Оценката на приходите и разходите се прави и по трите сценария, като по този начин се получават три варианта на възможни ползи и разходи. 

Пример: Например нормативен акт въвежда ограничение на скоростта на движение на автомобили в даден град от 40 км/ч; досега това ограничение е било 50 км/ч. Целта е намаляване на катастрофите и на пострадалите пешеходци. В случая вероятностното разпределение ни е необходимо, за да оценим колко по-малко катастрофи и пострадали пешеходци ще има при това положение. За това можем да използваме данни от миналото и/или примери от други градове където това се е случило. Удачно би било да има няколко сценария.

==Вероятност и вероятностно разпределение==


Преди да продължим с горния пример ще разгледаме едно понятие, което е основополагащо както за теорията на вероятностите така и за статистиката.

Да разгледаме следния [[експеримент]]. Хвърляме две правилни зарчета и отбелязваме сумата от точките, които се падат. Можем да получим 11 различни числа: от 2 до 12. Да построим таблица, в която ще отбележим всички възможности и вероятностите, свързани с появата на всяка една от тях. Първо ще отбележим, че всички възможни изходи от този експеримент са точно 36. Сума от 2 точки може да се падне само ако и двете зарчета показват 1, т.е. ще имаме един благоприятен случай. Неговата вероятност ще е 1/36. Сумата от 3 точки може да се появи в два от 36-те случая: едното зарче показва 1, а другото 2 или обратно. Вероятността ще е 2/36 или 1/18 и т.н. както е дадено в таблицата.



[[File:veroqtnostno_razpredelenie1.jpg|500px]]

Графично разпределението на възможните суми е показано на Фигура 2.

Последната колона в Таблица 2 показва как се разпределят вероятностите за всяка една сума. Може да разглеждаме сумата от точките като една променлива случайна величина, която може да приема стойности от известно множество. В нашия случай това ще е множеството на всички цели числа от 2 до 12. При това всяка една стойност от това множество е свързана с определена [[вероятност]]. Знанието на всички вероятности за появата на всички възможни стойности на случайната променлива задава нейното ''вероятностно разпределение''. Очевидно сумата от вероятностите за всички възможни стойности на една случайна променлива е по по-горното определение. Обикновено [[извод]]ите за параметри на популацията се извършват въз основа на формален модел за дадена ситуация. Този модел съдържа информация за възможните изходи, свързани със ситуацията и предположения относно вероятностите за появата на един или друг изход. Моделът, съдържащ пълното описание на всички възможни изходи и свързаните с тях вероятности се нарича ''вероятностно разпределение''.

Формално: [[случайна променлива]] е такава величина, която може да приеме всяка една стойност от определено [[Множество|множества]] с определена вероятност. Вероятностното разпределение (или разпределението на вероятностите) на случайната променлива е таблица, графика или математически израз, който дава вероятностите, с които случайната променлива може да приема всяка една от различните [[стойност]]и. В зависимост от това дали случайната променлива е дискретна или непрекъсната, [[разпределение]]то на нейните вероятности може да бъде съответно дискретно или непрекъснато.



[[File:veroqtnostno_razpredelenie2.jpg|500px]]

Веднъж зададено вероятностното разпределение позволява да се определи [[вероятност]]та за поява на всяка комбинация от възможни изходи. Например, нека при хвърляне на две зарчета искаме да знаем каква е вероятността да получим 3 или по-малко от 3 точки или да получим 10 или повече точки. От Таблица 1 се вижда, че тази вероятност е сума от няколко вероятности, които са известни:



[[File:veroqtnostno_razpredelenie3.jpg|600px]]





Случайната променлива, която може да приема стойности от едно изброимо [[множество]], крайно или безкрайно, се нарича [[дискретна случайна величина]]. Ако случайната променлива приема стойности върху едно неизброимо множество, тя се нарича непрекъсната. На практика обикновено се работи с известен [[вероятностен модел]], т.е. предполага се, че е известен аналитичният вид на вероятностното разпределение и сме в състояние да изчислим вероятността за появата на всяка стойност на [[Случайна променлива|случайната променлива]]. В Допълнение А се описват най-често срещаните дискретни и непрекъснати [[разпределениe|разпределения]]. Безспорен факт е, че най-често използваното разпределение е ''нормалното''. По-подробно описание на това разпределение, както и на ''стандартното'' ''нормално разпределние ''е дадено в Допълнение А. Тук ще се спрем по-скоро на използването на това разпределние за изчисляване на нужните вероятности.

==Нормална крива при базово вероятностсно разпредeление==



Нормалната крива (или, което е същото, [[Нормално разпределение|нормалното рапределение]]) най-често се използва като вероятностен модел, който облекчава изчисляването на вероятността за поява на интересуващото ни събитие. Нормалното разпределение е свързано със закона за големите числа чрез централната пределна теорема и е [[модел]], който отразява [[закономерност]]ите на масовите явления. Една нормална величина е нормално разпределена, когато има множество стойности, които са породени от множество независими помежду си фактори, причиняващи случайни колебания. Графичния образ на нормалното разпределение има формата на камбана. Следователно нормална крива е онази идеална симетрична крива, която описва и нормалното разпределение. Съвкупността, въз основа на която е построена нормалната крива се нарича [[нормална съвкупност]].  За по-нататъшна илюстрация на концепцията за вероятност и връзката й с вероятностното разпределение ще разгледаме разпределнието на резултатите от измерването на дължината на 5000 артефакта, датирани към една фаза. Известно е, че разпределението на тези резултати е нормално и има средна 60 и [[стандартно отклонение]] 10. Кривата на нормалното разпределение с тези параметри е показана на Фигура 3.



[[File:veroqtnostno_razpredelenie4.jpg|500px]]

Да предположим, че всички 5000 резултата са записани на отделни листчета хартия и са поставени в урна. Тъй като резултатите са нормално разпределени можем да използваме нормалната крива за изчисляване на вероятностите, свързани с определени резултати. Например, можем да определим вероятността да изтеглим от урната листче с резултат, който лежи между 20 и 30. От Глава 4 е известно, че 34.13% от всички резултати лежат в границите 20-30 мм (едно сигмално отклонение) и, следователно, вероятността да изтеглим резултат в този интервал е 0.3413. От таблицата за [[нормално разпределение]] можем да определим, че тази вероятност е 0.3413 и по следния начин:



1. Намираме стандартизираните стойности, които съответстват на интервала. В случая,

[[File:veroqtnostno_razpredelenie5.jpg|150px]]

и

[[File:veroqtnostno_razpredelenie6.jpg|150px]]


2. По Таблица В1 определяме лицето 3 на повърхнината под кривата, което съответства на дадения аргумент: за '''''z'''''1 това е 0.500 и за '''''z'''''2 0.8413

3. Разликата 0.8413-0.5000 = 0.3413 ни дава необходимата вероятност.

 
Каква е вероятността да изтеглим резултат, който е по-голям от 50 мм или по- малък от 10 мм? Тази вероятност ще се получи като сума от вероятностите за двете отделни събития:

1. Намираме стандартизираните стойности:

[[File:veroqtnostno_razpredelenie7.jpg|150px]]

и

[[File:veroqtnostno_razpredelenie8.jpg|150px]]


2. Определяме от таблицата съответните лица на повърхнината под кривата:

0.0228 и 0.9772. Последното число изрязава вероятността резултатът да е по- малък от 50 точки. Следователно, вероятността да е по-голям ще е 1.0 – 0.9772 = 0.0228. Вижда се, че двете търсени вероятности са равни, както и трябва да се очаква при [[Симетрично разпределение|симетричните разпределения]], каквото е нормалното.

3. Търсената вероятност ще е 0.0228 + 0.0228 =0.0456.

С други думи, малко вероятно е [[резултат]]ът да е по-голям от 50мм или по-малък от 10мм. От друга страна, е твърде вероятно, т.е. налице е голяма вероятност, резултатът да лежи в интервала 10-50. Както лесно може да се види, тази вероятност е 0.6826. Отново ще отбележим, че сумата от всички вероятности е единица и е равна на лицето на повърхнината, ограничена от кривата и абсцисната ос. Независимо, че горният пример е изкуствено конструиран, използването на нормалното разпределение за определяне на вероятности за настъпване на дадено [[събитие]] е твърде важно. В този смисъл, нормалната крива служи като базово вероятностно разпределение. В действителност нормалното разпределение е един от най-често използваните модели за описание на поведението на случайните променливи.

Изводите се опират на формалното проектиране (индуциране) на знания от [[извадка]]та към популацията. Това проектиране се основава на предположението, че извадката е ''представителна ''(репрезентативна) за [[популация]]та, от която е извлечена по отношение на променливата, която представлява интерес за изследването. Представителността се осигурява чрез случайното получаване на извадката така, че всеки елемент на популацията да може да бъде избран случайно и всяка [[комбинация от случаи]] (извадка) да има равен шанс да бъде извлечена от популацията. Обикновено за тази цел се използват таблици на случайните числа или генератор на псевдослучайни числа.

==Равномерно вероятностно разпределение==

Най-простото вероятностно разпределение се получава, когато всички стойности на случайната величина се наблюдават при еднаква вероятност. Това вероятностно разпределение се нарича - равномерно разпределение'''.''' 

[[File:veroqtnostno_razpredelenie9.jpg]]


==Практическо приложение на вероятностното разпределение==

* За да се изчисляват [[Доверителен интервал|доверителни интервали]] за [[Параметър|параметрите]] и за изчисляване на критичните райони за [[проверка на хипотези]].
* Често е полезно да се определи разумното разпределение за [[модел]]а на данните. 
* Статистическите интервали и проверката на хипотези, често се основават на конкретни разпределителни предположения.  Преди провеждането на компютърни тестове, основаващи се на вероятностното разпределение, трябва да се провери дали е обосновано предположението за дадения набор от данни.  В този случай, разпределението не е необходимо да бъде най-голямото разпространение на данните, достатъчен е [[адекватен модел]], така че статистическите извадки да доведат до правилни решения и избор на подходящи методи.
* Симулационни проучвания с произволни числа, получени от използването на специфични методи за вероятностно разпределение.



===[[Закон за вероятностно разпределение на случайната величина]]===

Всяка случайна величина се подчинява на определен закон на разпределението. Това е съотношението, което установява връзката между възможните стойности на случайната променлива и съответната [[вероятност]] за тяхното появяване. Този закон се основава на връзката между възможните стойности на случайната променлива и вероятността за появяването им. Всяко теоретично разпределение има свой [[закон за разпределение]]. Законът за разпределение на дадена случайна величина може да се представи по 3 начина - таблично, графично и чрез функция (аналитично). Таблично представяне - ползва се, когато обемът на извадката е малък. Той дава представа за стойностите на случайната променлива величина и вероятността за нейното появяване.


[[Image:veroqtnostno_razpredelenie10.jpg|500px]]


Графично представяне - чрез правоъгълна [[координатна система]], чрез [[хистограма]] или полигон. На абсцисната ос се представят стойностите на случайната величина, а на ординатната - честотите им. Хистограмата се получава при извадки с голям обем и групирани данни. При [[негрупирани данни]] и по-малки извадки се ползва полигон на разпределение. Представяне на разпределението чрез функция - тя е аналитичен израз на зависимостта между вероятността и стойностите на случайната величина. В случая вероятностите са зависимата променлива (функцията), а стойностите - независима променлива. [[Вероятност]] - тя е числена мярка за обективната възможност за появяването на наблюдавано случайно събитие. Отбелязва се с Р(А).

==Видове вероятности - статистическа и априорна==

[[Статистическа вроятност]] - сбъдването на всяко събитие е в пряка връзка с определена вероятност. Например извадка от п изделия от всяка партида, и се установява броя на дефектните - т, ще получим резултат, който предварително не е известен. Когато броя на дефектните се раздели на общия брой, ще получим относителната честота - т/п, където т са случаите когато се появява събитието А - благоприятен случай, п - общия брой.

[[Априорна вероятност]] - при нея са известни всички възможни изходи, т.е. когато можем да установим верността след [[опит]]а (експеримента). В повечето случаи обаче, верността се определя след извършването на опита (експеримента), след провеждане на наблюдение. Характерът на [[Емпирично разпределение|емпиричното разпределение]] се определя след сравнение с възможното теоретично разпределение на случайната величина. Тясната връзка между относителните честоти и вероятностите се изразява в това, че когато наблюдението достигне голям брой статистически единици, тогава по силата на [[Закон за големите числа|закона за големите числа]], относителните честоти се доближават до съответните вероятности. Теоретичните разпределения, също както и емпиричните биват едномерни, двумерни, многомерни.

==Вижте още==

* [[Теория на вероятностите]]
* [[Задача за решаване]]
* [[Научен подход]]
* [[Променлива]]
* [[Рационално решение]]
* [[Прогноза]]
* [[Случайно число]]
* [[Теория на решенията]]
* [[Функция на полезност]]
* [[Следствие]]
* [[Цел]]
* [[Решаващ субект]]



==Източници==

* Ramsey, F.P. Truth and Probability, in The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays, by F.P. Ramsey. Harcourt Brace, Co, New York, 1931.
* Savage, L.J. The Foundations of Statistics. Wiley, New York, 1954.
* Von Newman, J., O. Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior. University Press, New Jersey, 1944.
* Wald, A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950. Fan, Jianqing (1991). "On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems". The Annals of Statistics 19 (3): 
* Gavss, Carolo Friderico (1809) (in Latin). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the Sun in conic sections] .
* Gould, Stephen Jay (1981). The mismeasure of man (first ed.)
* Halperin, Max; Hartley, HO; Hoel, PG (1965). "Recommended standards for statistical symbols and notation. COPSS committee on symbols and notation" . The American Statistician
* Hart, John F.; et al (1968). Computer approximations . New York: John Wiley & Sons, Inc. 
* Herrnstein, C. ; Murray (1994). The bell curve : intelligence and class structure in American life . Free Press 
* Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth . London. 
* Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 1 . 
* Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 2 . 
* Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Normative terminology: 'normal' in statistics and elsewhere . Statistics and public policy, edited by Bruce D. Spencer. Oxford University Press. Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution 
* Pearson, Karl (1905). "'Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson'. A rejoinder". 
* Pearson, Karl (1920). "Notes on the history of correlation". Biometrika 13
* Stigler, Stephen M. (1978). "Mathematical statistics in the early states". The Annals of Statistics 



==Външни препратки==

* [http://www.math.bas.bg/ml/iad/course/ex7_slides/sld004.htm Съвместно вероятностно  разпределение]
* [http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:gF_FHTRaz5QJ:78.90.51.94/home/materiali/KHEA/referati/Reliability/REL-15-PBM.ppt+%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5&cd=5&hl=bg&ct=clnk&gl=bg Разпределение на параметрите]
* [http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:SKONOFG8bdQJ:elearning-phys.uni-sofia.bg/~vgi/Lecture9.ppt+%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5&cd=6&hl=bg&ct=clnk&gl=bg Двумерни и многомерни вероятностни разпределения]
* [http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:vfKpgzMk5D0J:elearning-phys.uni-sofia.bg/~vgi/Lecture7_binom.ppt+%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5&cd=15&hl=bg&ct=clnk&gl=bg Основни вероятностни разпределения.Функции]
* [http://finansi-gr17.blogspot.com/2009/11/1311_29.html Статистика и хипотези]
* [http://www.nbu.bg/PUBLIC/IMAGES/File/departamenti/arheologiq/ch7_n.pdf Въведение в статистическия извод: оценяване]
* [http://www.sai.infotel.bg/hsi/Staff/T.Stoilov/papers/Stoilov_Vladimirov_TARNOVO.pdf Оценка на корелация]
* [http://svyat.com/%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B5%D0%BF-%D0%BD%D0%B0-%D0%BD%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%82%D0%B0/ Принцип на неопределеността]

[[category:Управленски решения и риск]]